Абсолютная непрерывность

В исчислении и реальном анализе , абсолютная непрерывность — это гладкости свойство функций более сильное, чем непрерывность и равномерная непрерывность . Понятие абсолютной непрерывности позволяет получить обобщения связи между двумя центральными операциями исчисления — дифференцированием и интегрированием . Эта связь обычно характеризуется ( основной теоремой исчисления ) в рамках интегрирования Римана , но с абсолютной непрерывностью может быть сформулирована в терминах интегрирования Лебега . Для вещественных функций на вещественной прямой возникают два взаимосвязанных понятия: абсолютная непрерывность функций и абсолютная непрерывность меры . Эти два понятия обобщаются в разных направлениях. Обычная производная функции связана с производной Радона – Никодима или плотностью меры. Имеются следующие цепочки включений для функций над компактным подмножеством вещественной прямой:

абсолютно непрерывен ⊆ равномерно непрерывен $=$ непрерывный

и для компактного интервала

непрерывно дифференцируемая ⊆ липшицева непрерывная ⊆ абсолютно непрерывная ⊆ ограниченная вариация ⊆ дифференцируемая почти всюду .

Абсолютная непрерывность функций

Непрерывная функция не может быть абсолютно непрерывной, если она не является равномерно непрерывной , что может произойти, если область определения функции не компактна – примерами являются tan( x ) над [0, π /2) , x ² по всей вещественной прямой и sin(1/ x ) по (0, 1]. Но непрерывная функция f может не быть абсолютно непрерывной даже на компактном интервале. Она не может быть «дифференцируемой почти всюду» (как функция Вейерштрасса функция , которая нигде не дифференцируема). Или она может быть дифференцируема почти всюду и ее производная f ′ может быть интегрируемой по Лебегу , но интеграл от f ′ отличается от приращения f (насколько f меняется на интервале). например, с функцией Кантора .

Определение

Позволять $I$ быть интервалом на действительной линии $\mathbb {R}$. Функция $f\colon I\to \mathbb {R}$ непрерывен абсолютно ​ $I$ если для каждого положительного числа $\varepsilon$, есть положительное число $\delta$ такая, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов $(x_{k},y_{k})$ из $I$ с $x_{k}<y_{k}\in I$ удовлетворяет

$\sum _{k=1}^{N}(y_{k}-x_{k})<\delta$

затем

$\sum _{k=1}^{N}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .$

Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на $I$ обозначается $\operatorname {AC} (I)$.

определения

Следующие условия на вещественную функцию f на компактном интервале [ a , b ] эквивалентны:

1. f абсолютно непрерывен;
2. f имеет производную f ′ почти всюду , производная интегрируема по Лебегу и
   $$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt$$
   для всех x на [ a , b ];
3. существует интегрируемая по Лебегу функция g на [ a , b ] такая, что
   $$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt$$
   для всех x в [ a , b ].

Если эти эквивалентные условия выполнены, то обязательно любая функция g из условия 3. удовлетворяет g = f ′ почти всюду.

Эквивалентность между (1) и (3) известна как фундаментальная теорема интегрального исчисления Лебега , принадлежащая Лебегу .

Эквивалентное определение в терминах мер см. в разделе « Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности» .

Свойства

• Сумма и разность двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывны. Если две функции определены на ограниченном отрезке, то их произведение также абсолютно непрерывно.
• Если абсолютно непрерывная функция определена на ограниченном отрезке и нигде не равна нулю, то ее обратная функция абсолютно непрерывна.
• Всякая абсолютно непрерывная функция (на компактном интервале) равномерно непрерывна и, следовательно, непрерывна . Любая (глобально) липшиц-непрерывная функция абсолютно непрерывна.
• Если f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывен, то он имеет ограниченную вариацию на [ a , b ].
• Если f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывна, то ее можно записать как разность двух монотонных неубывающих абсолютно непрерывных функций на [ a , b ].
• Если f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывна, то она обладает Лузина N свойством (т. е. для любого $N\subseteq [a,b]$ такой, что $\lambda (N)=0$, он утверждает, что $\lambda (f(N))=0$, где $\lambda$ обозначает меру Лебега на R ).
• f : I → R абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна, имеет ограниченную вариацию и обладает N- свойством Лузина. Это утверждение также известно как теорема Банаха-Зарецкого.
• Если f : I → R абсолютно непрерывна и g : R → R глобально липшиц-непрерывна , то композиция g ∘ f абсолютно непрерывна. И наоборот, для каждой функции g , которая не является глобально липшицевой, существует абсолютно непрерывная функция f такая, что g ∘ f не является абсолютно непрерывной.

Примеры

Следующие функции равномерно непрерывны, но не абсолютно непрерывны:

• на Функция Кантора [0, 1] (имеет ограниченную вариацию, но не абсолютно непрерывна);
• Функция:
  $$f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}$$
  на конечном интервале, содержащем начало координат.

Следующие функции абсолютно непрерывны, но не являются α-гельдеровскими:

• Функция f ( x ) = x ^б на [0, c ], для любого 0 < β < α < 1

Следующие функции абсолютно непрерывны и α-гельдеровы , но не липшицевы :

• Функция f ( x ) = √ x на [0, c ] для α ≤ 1/2.

Обобщения

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство а I — интервал вещественной прямой R. , Функция f : I → X на абсолютно непрерывна I , если для любого положительного числа $\epsilon$, есть положительное число $\delta$ такой, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов [ x _k , y _k ] I удовлетворяет:

$\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta$

затем:

$\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .$

Совокупность всех абсолютно непрерывных функций из I в X обозначается AC( I ; X ).

Дальнейшим обобщением является пространство AC ^п ( I ; X ) кривых f : I → X таких, что:

$d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I$

для некоторых m в L ^п пространство L ^п (Я).

этих

• Всякая абсолютно непрерывная функция (на компактном интервале) равномерно непрерывна и, следовательно, непрерывна . Любая липшицево-непрерывная функция абсолютно непрерывна.
• Если f : [ a , b ] → X абсолютно непрерывно, то оно имеет ограниченную вариацию на [ a , b ].
• Для f ∈ AC ^п ( I ; X ), метрическая производная f λ существует для , а - почти всегда в I метрическая производная - это наименьшее m ∈ L ^п ( I ; R ) такой, что:
  $$d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.$$

Абсолютная преемственность мер

Определение

Мера ​ $\mu$ на борелевских подмножествах вещественной прямой абсолютно непрерывна относительно меры Лебега $\lambda$ если для каждого $\lambda$-измеримый набор $A,$ $\lambda (A)=0$ подразумевает $\mu (A)=0$. Эквивалентно, $\mu (A)>0$ подразумевает $\lambda (A)>0$. Это условие записывается как $\mu \ll \lambda .$ Мы говорим $\mu$ преобладает ​ ​ $\lambda .$

В большинстве приложений, если просто сказать, что мера на действительной прямой абсолютно непрерывна (без указания, относительно какой другой меры она абсолютно непрерывна), то имеется в виду абсолютная непрерывность относительно меры Лебега.

Тот же принцип справедлив и для мер на борелевских подмножествах $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2.$

определения

Следующие условия на конечную меру $\mu$ на борелевских подмножествах вещественной прямой эквивалентны:

1. $\mu$ абсолютно непрерывен;
2. Для каждого положительного числа $\varepsilon$ есть положительное число $\delta >0$ такой, что $\mu (A)<\varepsilon$ для всех наборов Бореля $A$ меры Лебега меньше, чем $\delta ;$
3. Существует интегрируемая по Лебегу функция $g$ на реальной линии так, что:
   $$\mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda$$
   для всех подмножеств Бореля $A$ реальной линии.

Эквивалентное определение в терминах функций см. в разделе « Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности» .

Любая другая функция, удовлетворяющая (3), равна $g$ почти везде. Такая функция называется производной Радона–Никодима или плотностью абсолютно непрерывной меры. $\mu .$

Эквивалентность между (1), (2) и (3) имеет место и в $\mathbb {R} ^{n}$ для всех $n=1,2,3,\ldots .$

Таким образом, абсолютно непрерывные меры по $\mathbb {R} ^{n}$ являются именно теми, которые имеют плотности; В частном случае абсолютно непрерывные вероятностные меры — это именно те, которые имеют функции плотности вероятности .

Обобщения

Если $\mu$ и $\nu$ две меры одного и того же измеримого пространства $(X,{\mathcal {A}}),$ $\mu$ Говорят, что это абсолютно непрерывен по отношению к $\nu$ если $\mu (A)=0$ для каждого набора $A$ для чего $\nu (A)=0.$ Это написано как " $\mu \ll \nu$". То есть:

$$\mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).$$

Когда $\mu \ll \nu ,$ затем $\nu$ Говорят, что это доминирующий $\mu .$

Абсолютная непрерывность мер рефлексивна и транзитивна , но не антисимметрична , так что это предварительный порядок , а не частичный порядок . Вместо этого, если $\mu \ll \nu$ и $\nu \ll \mu ,$ меры $\mu$ и $\nu$ называются эквивалентными . Таким образом, абсолютная непрерывность индуцирует частичное упорядочение таких классов эквивалентности .

Если $\mu$ является знаковой или комплексной мерой , говорят, что $\mu$ абсолютно непрерывен относительно $\nu$ если его вариация $|\mu |$ удовлетворяет $|\mu |\ll \nu ;$ эквивалентно, если каждое множество $A$ для чего $\nu (A)=0$ является $\mu$- нулевой .

Теорема Радона –Никодима. утверждает, что если $\mu$ абсолютно непрерывен относительно $\nu ,$ и обе меры σ-конечны , то $\mu$ имеет плотность или «производную Радона-Никодима» по отношению к $\nu ,$ это означает, что существует $\nu$-измеримая функция $f$ принимая значения в $[0,+\infty ),$ обозначается $f=d\mu /d\nu ,$ такой, что для любого $\nu$-измеримый набор $A$ у нас есть:

$$\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .$$

Сингулярные меры

По теореме Лебега о разложении любую σ-конечную меру можно разложить в сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярной меры относительно другой σ-конечной меры. См. сингулярную меру , где приведены примеры мер, которые не являются абсолютно непрерывными.

Связь между двумя

Конечная мера µ на ​​борелевских подмножествах вещественной прямой абсолютно непрерывна относительно меры Лебега тогда и только тогда, когда точечная функция:

$F(x)=\mu ((-\infty ,x])$

является абсолютно непрерывной вещественной функцией. В более общем смысле, функция локально (то есть на каждом ограниченном интервале) абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда ее распределительная производная является мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.

Если имеет место абсолютная непрерывность, то производная Радона–Никодима функции µ почти всюду равна производной функции F .

, что мера µ В более общем смысле предполагается локально конечная (а не конечная), а F ( x ) определяется как µ ((0, x ]) для x > 0 , 0 для x = 0 и − µ (( x ,0]) для x < 0. В этом случае µ — мера Лебега–Стилтьеса, порожденная F . Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности сохраняется до сих пор.

Ссылки

• Амбросио, Луиджи; Джильи, Никола; Савари, Джузеппе (2005), Градиентные потоки в метрических пространствах и пространстве вероятностных мер , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель, ISBN  3-7643-2428-7
• Атрея, Кришна Б.; Лахири, Сумендра Н. (2006), Теория меры и теория вероятностей , Springer, ISBN  0-387-32903-Х
• Брукнер, AM; Брукнер, Дж.Б.; Томсон, бакалавр наук (1997), реальный анализ , Прентис Холл, ISBN  0-134-58886-Х
• Фихтенгольц, Григорий (1923). «Замечание об абсолютно непрерывных функциях» . Математический сборник . 31 (2): 286–295.
• Леони, Джованни (2009), Первый курс по пространствам Соболева , Аспирантура по математике, Американское математическое общество, стр. xvi+607 ISBN   978-0-8218-4768-8 , МР 2527916 , Збл   1180.46001 , ЗЕМЛЯ
• Нильсен, Оле А. (1997), Введение в интеграцию и теорию меры , Wiley-Interscience, ISBN  0-471-59518-7
• Ройден, HL (1988), Real Analysis (третье изд.), Collier Macmillan, ISBN  0-02-404151-3

Внешние ссылки

• Абсолютная преемственность в Математической энциклопедии
• Темы реального и функционального анализа Джеральда Тешля