Метрическая производная

В математике метрическая производная — это понятие производной, соответствующее параметризованным путям в метрических пространствах . Он обобщает понятие «скорости» или «абсолютной скорости» на пространства, в которых есть понятие расстояния (т. е. метрические пространства), но не направление (например, векторные пространства ).

Определение

Позволять $(M,d)$ быть метрическим пространством. Позволять $E\subseteq \mathbb {R}$ иметь предельную точку в $t\in \mathbb {R}$. Позволять $\gamma :E\to M$ быть путем. Тогда метрическая производная $\gamma$ в $t$, обозначенный $|\gamma '|(t)$, определяется

$|\gamma '|(t):=\lim _{s\to 0}{\frac {d(\gamma (t+s),\gamma (t))}{|s|}},$

если этот предел существует.

Характеристики

Напомним, что АС ^п ( I ; X ) — пространство кривых γ : I → X таких, что

$d\left(\gamma (s),\gamma (t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau {\mbox{ for all }}[s,t]\subseteq I$

для некоторых m в L ^п пространство L ^п ( Я ; Р ). Для γ ∈ AC ^п ( I ; X ), метрическая производная γ существует для Лебега - почти все времена в I , и метрическая производная - это наименьшее m ∈ L ^п ( I ; R ) такой, что выполнено указанное выше неравенство.

Если евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ оснащен своей обычной евклидовой нормой $\|-\|$, и ${\dot {\gamma }}:E\to V^{*}$ — обычная производная Фреше по времени, то

$|\gamma '|(t)=\|{\dot {\gamma }}(t)\|,$

где $d(x,y):=\|x-y\|$ является евклидовой метрикой.

Ссылки

• Амбросио Л., Джильи Н. и Саваре Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. п. 24. ISBN  3-7643-2428-7 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )