Производная Фреше

Не путать с дифференцированием в пространствах Фреше .

В математике — производная Фреше это производная, определенная в нормированных пространствах . Названный в честь Мориса Фреше , он обычно используется для обобщения производной вещественной функции одной действительной переменной на случай векторной функции нескольких действительных переменных, а также для определения функциональной производной, широко используемой в исчислении вариации .

Как правило, он расширяет идею производной от вещественных функций одной действительной переменной до функций в нормированных пространствах. Производную Фреше следует противопоставлять более общей производной Гато , которая является обобщением классической производной по направлению .

Производная Фреше находит применение в нелинейных задачах математического анализа и физических наук, особенно в вариационном исчислении, а также в большей части нелинейного анализа и нелинейного функционального анализа .

Определение

Позволять $V$ и $W$ быть нормированными векторными пространствами и $U\subseteq V$ быть открытым подмножеством $V.$ Функция $f:U\to W$ называется дифференцируемым по Фреше в $x\in U$ если существует ограниченный линейный оператор $A:V\to W$ такой, что $$\lim _{\|h\|_{V}\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.$$

Под пределом здесь понимается в обычном смысле предел функции, определенной на метрическом пространстве (см. Функции на метрических пространствах ), используя $V$ и $W$ как два метрических пространства, а приведенное выше выражение как функцию аргумента $h$ в $V.$ Как следствие, он должен существовать для всех последовательностей $\langle h_{n}\rangle _{n=1}^{\infty }$ ненулевых элементов $V$ которые сходятся к нулевому вектору $h_{n}\to 0.$ Эквивалентно, разложение первого порядка имеет место в обозначениях Ландау $$f(x+h)=f(x)+Ah+o(h).$$

Если существует такой оператор $A,$ оно уникально, поэтому пишем $Df(x)=A$ и назовем ее Фреше производной $f$ в $x.$ Функция $f$ дифференцируемый по Фреше для любой точки $U$ говорят, что это С ¹ если функция $$Df:U\to B(V,W);x\mapsto Df(x)$$ является непрерывным ( $B(V,W)$ обозначает пространство всех ограниченных линейных операторов из $V$ к $W$). Обратите внимание, что это не то же самое, что требование, чтобы карта $Df(x):V\to W$ быть непрерывным для каждого значения $x$ (что предполагается; ограниченное и непрерывное эквивалентны).

Это понятие производной является обобщением обычной производной функции на действительные числа. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ поскольку линейные отображения из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ это просто умножение на действительное число. В этом случае, $Df(x)$ это функция $t\mapsto f'(x)t.$

Характеристики

Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Дифференцирование является линейной операцией в следующем смысле: если $f$ и $g$ это две карты $V\to W$ которые дифференцируемы по $x,$ и $c$ является скаляром (действительным или комплексным числом ), то производная Фреше подчиняется следующим свойствам: $$D(cf)(x)=cDf(x)$$ $$D(f+g)(x)=Df(x)+Dg(x).$$

Цепное правило справедливо и в этом контексте: если $f:U\to Y$ дифференцируема в $x\in U,$ и $g:Y\to W$ дифференцируема в $y=f(x),$ тогда состав $g\circ f$ дифференцируема по $x$ а производная – это композиция производных: $$D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x).$$

Конечные размеры

Производная Фреше в конечномерных пространствах — это обычная производная. В частности, в координатах она представлена ​​матрицей Якоби .

Предположим, что $f$ это карта, $f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ с $U$ открытый набор. Если $f$ дифференцируема ли Фреше в точке $a\in U,$ тогда его производная $${\begin{cases}Df(a):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}\\Df(a)(v)=J_{f}(a)v\end{cases}}$$ где $J_{f}(a)$обозначает матрицу Якобиана $f$ в $a.$

Кроме того, частные производные $f$ даны $${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=Df(a)(e_{i})=J_{f}(a)e_{i},$$ где $\left\{e_{i}\right\}$ является канонической основой $\mathbb {R} ^{n}.$ Поскольку производная является линейной функцией, для всех векторов имеем $h\in \mathbb {R} ^{n}$ что производная по направлению $f$ вдоль $h$ дается $$Df(a)(h)=\sum _{i=1}^{n}h_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a).$$

Если все частные производные $f$ существуют и непрерывны, то $f$ дифференцируема по Фреше (и, фактически, C ¹ ). Обратное неверно; функция $$f(x,y)={\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin \left((x^{2}+y^{2})^{-1/2}\right)&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$$ дифференцируема по Фреше, но не имеет непрерывных частных производных при $(0,0).$

Пример в бесконечных измерениях

Одним из простейших (нетривиальных) примеров в бесконечных измерениях является тот, где областью определения является гильбертово пространство ( $H$) и функция процентов - норма. Итак, рассмотрим $\|\,\cdot \,\|:H\to \mathbb {R} .$

Сначала предположим, что $x\neq 0.$ Тогда мы утверждаем, что производная Фреше $\|\cdot \|$ в $x$ – линейный функционал $D,$ определяется $$Dv:=\left\langle v,{\frac {x}{\|x\|}}\right\rangle .$$

Действительно, $${\begin{aligned}{\frac {|\|x+h\|-\|x\|-Dh|}{\|h\|}}&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x\rangle -\langle x,h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x+h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\langle x,x\rangle \langle x+h,x+h\rangle -\langle x,x+h\rangle ^{2}|}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\&{}\end{aligned}}$$

Используя непрерывность нормы и внутреннего продукта, получаем: $${\begin{aligned}\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {|\|x+h\|-\|x\|-Dh|}{\|h\|}}&=\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{\|h\|\to 0}\left(\langle x,x\rangle \|h\|-\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,x\rangle \|h\|-\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(0-\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&=-{\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]\end{aligned}}$$

Как $\|h\|\to 0,\langle x,h\rangle \to 0$ и ввиду Коши-Шварца неравенства $$\left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle$$ ограничен $\|x\|$ таким образом, весь предел исчезает.

Теперь мы покажем это в $x=0$ норма не дифференцируема, т. е. не существует ограниченного линейного функционала $D$ такой, что рассматриваемый предел будет $0.$ Позволять $D$ быть любым линейным функционалом. Теорема о представлении Рисса говорит нам, что $D$ может быть определен $Dv=\langle a,v\rangle$ для некоторых $a\in H.$ Учитывать $$A(h)={\frac {|\|0+h\|-\|0\|-Dh|}{\|h\|}}=\left|1-\left\langle a,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right|.$$

Чтобы норма была дифференцируемой при $0$ мы должны иметь $$\lim _{\|h\|\to 0}A(h)=0.$$

Мы покажем, что это неверно ни для одного $a.$ Если $a=0$ очевидно $A(h)=1$ независимо от $h,$ следовательно, это не производная. Предполагать $a\neq 0.$ Если мы возьмем $h$ стремится к нулю в направлении $-a$ (то есть, $h=t\cdot (-a),$ где $t\to 0^{+}$) затем $A(h)=|1+\|a\||>1>0,$ следовательно $$\lim _{\|h\|\to 0}A(h)\neq 0$$

(Если мы возьмем $h$ стремится к нулю в направлении $a$ мы бы даже увидели, что этот предел не существует, поскольку в этом случае мы получим $|1-\|a\||$).

Только что полученный результат согласуется с результатами в конечных размерностях.

Связь с производной Гато

Функция $f:U\subseteq V\to W$ называется дифференцируемым по Гато в $x\in U$ если $f$ имеет производную по направлению по всем направлениям при $x.$ Это означает, что существует функция $g:V\to W$ такой, что $$g(v)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}$$ для любого выбранного вектора $v\in V,$ и где $t$ из скалярного поля, связанного с $V$ (обычно, $t$ это реально ).

Если $f$ дифференцируема ли Фреше в $x,$ там оно также дифференцируемо по Гато, и $g$ это просто линейный оператор $A=Df(x).$

Однако не каждая дифференцируемая функция Гато является дифференцируемой по Фреше. Это аналогично тому факту, что существование всех производных по направлению в точке не гарантирует полную дифференцируемость (или даже непрерывность) в этой точке. Например, вещественная функция $f$ двух действительных переменных, определяемых формулой $$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$$ непрерывен и дифференцируем по Гато в начале координат $(0,0)$, где его производная в начале координат равна $$g(a,b)={\begin{cases}{\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0)\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}$$

Функция $g$ не является линейным оператором, поэтому эта функция не дифференцируема по Фреше.

В более общем смысле любая функция вида $f(x,y)=g(r)h(\phi ),$ где $r$ и $\phi$ являются координатами полярными $(x,y),$ непрерывен и дифференцируем по Гато при $(0,0)$ если $g$ дифференцируема в $0$ и $h(\phi +\pi )=-h(\phi ),$ но производная Гато линейна, а производная Фреше существует только в том случае, если $h$ является синусоидальным .

В другой ситуации функция $f$ предоставлено $$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$$ дифференцируемо ли Гато в $(0,0),$ с его производной существует $g(a,b)=0$ для всех $(a,b),$ который является линейным оператором. Однако, $f$ не является непрерывным в $(0,0)$ (можно увидеть, подойдя к началу координат по кривой $\left(t,t^{3}\right)$) и поэтому $f$ не может быть дифференцируемой по Фреше в начале координат.

Более тонкий пример: $$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$$ которая представляет собой непрерывную функцию, дифференцируемую по Гато в точке $(0,0),$ с его производной в этот момент $g(a,b)=0$ там, что снова линейно. Однако, $f$ не является дифференцируемым по Фреше. Если бы это было так, его производная Фреше совпадала бы с производной Гато и, следовательно, была бы нулевым оператором. $A=0$; отсюда и предел $$\lim _{\|h\|_{2}\to 0}{\frac {|f((0,0)+h)-f(0,0)-Ah|}{\|h\|_{2}}}=\lim _{h=(x,y)\to (0,0)}\left|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right|$$ должно было бы быть равно нулю, тогда как при приближении к началу координат по кривой $\left(t,t^{2}\right)$ показывает, что этот предел не существует.

Эти случаи могут возникнуть, потому что определение производной Гато требует, чтобы разностные коэффициенты сходились только вдоль каждого направления индивидуально, без требований к скорости сходимости для разных направлений. Таким образом, для данного ε, хотя для каждого направления коэффициент разности находится в пределах ε от своего предела в некоторой окрестности данной точки, эти окрестности могут быть разными для разных направлений, и может существовать последовательность направлений, для которой эти окрестности становятся сколь угодно мал. Если по этим направлениям выбрана последовательность точек, частное в определении производной Фреше, учитывающем все направления сразу, может не сходиться. Таким образом, чтобы линейная производная Гато подразумевала существование производной Фреше, разностные коэффициенты должны сходиться равномерно для всех направлений.

Следующий пример работает только в бесконечных измерениях. Позволять $X$ быть банаховым пространством и $\varphi$ линейный функционал от $X$ который является прерывистым в $x=0$ ( разрывный линейный функционал ). Позволять $$f(x)=\|x\|\varphi (x).$$

Затем $f(x)$ дифференцируемо ли Гато в $x=0$ с производной $0.$ Однако, $f(x)$ не является дифференцируемым по Фреше, поскольку предел $$\lim _{x\to 0}\varphi (x)$$ не существует.

Высшие производные

Если $f:U\to W$ является дифференцируемой функцией во всех точках открытого подмножества $U$ из $V,$ отсюда следует, что его производная $$Df:U\to L(V,W)$$ это функция от $U$ в космос $L(V,W)$ всех ограниченных линейных операторов из $V$ к $W.$ Эта функция также может иметь производную, производную второго порядка от $f,$ которое по определению производной будет отображением $$D^{2}f:U\to L(V,L(V,W)).$$

Чтобы облегчить работу с производными второго порядка, пространство в правой части отождествляется с банаховым пространством. $L^{2}(V\times V,W)$ всех непрерывных билинейных отображений из $V$ к $W.$ Элемент $\varphi$ в $L(V,L(V,W))$ таким образом отождествляется с $\psi$ в $L^{2}(V\times V,W)$ такой, что для всех $x,y\in V,$ $$\varphi (x)(y)=\psi (x,y).$$

(Интуитивно: функция $\varphi$ линейный по $x$ с $\varphi (x)$ линейный по $y$ то же самое, что билинейная функция $\psi$ в $x$ и $y$).

Можно дифференцировать $$D^{2}f:U\to L^{2}(V\times V,W)$$ опять же, чтобы получить производную третьего порядка , которая в каждой точке будет трилинейным отображением и так далее. $n$-я производная будет функцией $$D^{n}f:U\to L^{n}(V\times V\times \cdots \times V,W),$$ принимающие значения в банаховом пространстве непрерывных полилинейных отображений в $n$ аргументы от $V$ к $W.$ Рекурсивно функция $f$ является $n+1$ раз дифференцируемо по $U$ если это так $n$ раз дифференцируемо по $U$ и для каждого $x\in U$ существует непрерывное полилинейное отображение $A$ из $n+1$ аргументы такие, что предел $$\lim _{h_{n+1}\to 0}{\frac {\left\|D^{n}f\left(x+h_{n+1}\right)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-D^{n}f(x)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-A\left(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n},h_{n+1}\right)\right\|}{\left\|h_{n+1}\right\|}}=0$$ существует равномерно для $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n}$ в ограниченных множествах в $V.$ В этом случае $A$ это $(n+1)$производная от $f$ в $x.$

Более того, мы, очевидно, можем идентифицировать член пространства $L^{n}\left(V\times V\times \cdots \times V,W\right)$ с линейной картой $L\left(\bigotimes _{j=1}^{n}V_{j},W\right)$ посредством идентификации $f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=f\left(x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n}\right),$ таким образом рассматривая производную как линейную карту.

Частные производные Фреше

В этом разделе мы расширяем обычное понятие частных производных , определенное для функций вида $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ к функциям, чьи области определения и целевые пространства являются произвольными (вещественными или комплексными) банаховыми пространствами . Для этого позвольте $V_{1},\ldots ,V_{n}$ и $W$ — банаховы пространства (над тем же полем скаляров), и пусть ${\textstyle f:\prod _{i=1}^{n}V_{i}\to W}$ быть заданной функцией и зафиксировать точку ${\textstyle a=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}V_{i}.}$ Мы говорим, что $f$ имеет i-й частный дифференциал в точке $a$ если функция $\varphi _{i}:V_{i}\to W$ определяется

$$\varphi _{i}(x)=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots a_{n})$$ дифференцируема ли Фреше в точке $a_{i}$ (в том смысле, который описан выше). В этом случае мы определяем $\partial _{i}f(a):=D\varphi _{i}(a_{i}),$ и мы позвоним $\partial _{i}f(a)$ i-я частная производная от $f$ в точку $a.$ Важно отметить, что $\partial _{i}f(a)$ представляет собой линейное преобразование из $V_{i}$ в $W.$ Эвристически, если $f$ имеет i-й частный дифференциал в $a,$ затем $\partial _{i}f(a)$ линейно аппроксимирует изменение функции $f$ когда мы исправим все его записи как $a_{j}$ для $j\neq i,$ и мы меняем только i-ю запись. Мы можем выразить это в обозначениях Ландау как $$f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\partial _{i}f(a)(h)+o(h).$$

Обобщение на топологические векторные пространства

Понятие производной Фреше можно обобщить на произвольные топологические векторные пространства (ТВП). $X$ и $Y.$ Сдача в аренду $U$ быть открытым подмножеством $X$ который содержит начало координат и заданную функцию $f:U\to Y$ такой, что $f(0)=0,$ сначала мы определим, что означает, что эта функция имеет 0 в качестве производной. Мы говорим, что эта функция $f$ касается 0, если для каждой открытой окрестности 0 $W\subseteq Y$ существует открытая окрестность 0, $V\subseteq X$ и функция $o:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ такой, что $$\lim _{t\to 0}{\frac {o(t)}{t}}=0,$$ и для всех $t$ в некоторой окрестности начала координат, $f(tV)\subseteq o(t)W.$

Теперь мы можем удалить ограничение, которое $f(0)=0$ определяя $f$ быть дифференцируемым по Фреше в точке $x_{0}\in U$ если существует непрерывный линейный оператор $\lambda :X\to Y$ такой, что $f(x_{0}+h)-f(x_{0})-\lambda h,$ рассматривать как функцию $h,$ касается 0. (Ланг стр. 6)

Если производная Фреше существует, то она единственна. Кроме того, производная Гато также должна существовать и быть равна производной Фреше в том смысле, что для всех $v\in X,$ $$\lim _{\tau \to 0}{\frac {f(x_{0}+\tau v)-f(x_{0})}{\tau }}=f'(x_{0})v,$$ где $f'(x_{0})$ является производной Фреше. Функция, дифференцируемая по Фреше в точке, обязательно непрерывна там, а суммы и скалярные кратные дифференцируемых по Фреше функций дифференцируемы, так что пространство функций, дифференцируемых по Фреше в точке, образует подпространство функций, непрерывных в этой точке. Цепное правило также справедливо, как и правило Лейбница, когда $Y$ — алгебра и ТВС, в которых умножение непрерывно.

См. также

• Производная по направлению – мгновенная скорость изменения функции.
• Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Производная градиента # Фреше - Многомерная производная (математика)
• Бесконечномерная голоморфия
• Бесконечномерная векторная функция - функция, значения которой лежат в бесконечномерном векторном пространстве. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Полная производная - Тип производной в математике.

Ссылки

• Картан, Анри (1967), Дифференциальное исчисление , Париж: Hermann, MR   0223194 .
• Дьедонне, Жан (1969), Основы современного анализа , Бостон, Массачусетс: Academic Press , MR   0349288 .
• Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Springer , ISBN  0-387-94338-2 .
• Манкрес, Джеймс Р. (1991), Анализ многообразий , Аддисон-Уэсли , ISBN  978-0-201-51035-5 , МР   1079066 .
• Превиато, Эмма , изд. (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых , Полный математический словарь, Лондон: CRC Press , ISBN  978-1-58488-053-0 , МР   1966695 .
• Коулман, Родни, изд. (2012), Исчисление в нормированных векторных пространствах , Universitext, Springer , ISBN  978-1-4614-3894-6 .

Внешние ссылки

• Б. А. Фриджик, С. Шривастава и М. Р. Гупта, Введение в функциональные производные , Технический отчет UWEE 2008-0001.
• http://www.probability.net . Эта веб-страница в основном посвящена основам теории вероятностей и теории меры, но есть хорошая глава о производной Фреше в банаховых пространствах (глава о формуле Якобиана). Все результаты приведены с доказательством.