Прямой интеграл

В математике и функциональном анализе прямой интеграл или интеграл Гильберта является обобщением понятия прямой суммы . Наиболее развита теория для прямых интегралов гильбертовых пространств и прямых интегралов алгебр фон Неймана . Концепция была введена в 1949 году Джоном фон Нейманом в одной из статей серии « О кольцах операторов» . Одной из целей фон Неймана в этой статье было свести классификацию (так называемых) алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах к классификации так называемых факторов. Факторы аналогичны полным матричным алгебрам над полем, и фон Нейман хотел доказать непрерывный аналог теоремы Артина – Веддерберна, классифицирующей полупростые кольца.

Результаты о прямых интегралах можно рассматривать как обобщения результатов о конечномерных С*-алгебрах матриц; в этом случае результаты легко доказать непосредственно. Бесконечномерный случай осложняется техническими особенностями теории меры.

Теория прямого интеграла также использовалась Джорджем Макки в его анализе систем импримитивности и в его общей теории индуцированных представлений локально компактных сепарабельных групп .

гильбертовых

Простейшим примером прямого интеграла является L ² пространства, ассоциированные с (σ-конечной) счетно-аддитивной мерой µ на ​​измеримом пространстве X . В несколько более общем смысле можно рассмотреть сепарабельное гильбертово пространство H и пространство интегрируемых с квадратом H -значных функций.

$L_{\mu }^{2}(X,H).$

Терминологическое примечание : Здесь соблюдена терминология, принятая в литературе по теме, согласно которой измеримое пространство X называется борелевским пространством , а элементы выделенной σ-алгебры — X борелевскими множествами , независимо от того, являются ли они лежащая в основе σ-алгебра происходит из топологического пространства (в большинстве примеров это так). Борелевское пространство является стандартным тогда и только тогда, когда оно изоморфно базовому борелевскому пространству польского пространства ; все польские пространства данной мощности изоморфны друг другу (как пространства Бореля). Учитывая счетно-аддитивную меру µ на ​​X , измеримым называется такое множество, которое отличается от борелевского множества на нулевое множество . Мера µ на ​​X является стандартной мерой тогда и только тогда, когда существует нулевое множество E такое, что его дополнение X − E является стандартным борелевским пространством . Все рассматриваемые здесь меры являются σ-конечными .

Определение . Пусть X — борелевское пространство, снабженное счетно-аддитивной мерой µ. Измеримое семейство гильбертовых пространств на ( X , µ) — это семейство { H _x } _{x ∈ X} , которое локально эквивалентно тривиальному семейству в следующем смысле: существует счетное разбиение

$\{X_{n}\}_{1\leq n\leq \omega }$

измеримыми подмножествами X такими, что

$H_{x}=\mathbf {H} _{n}\quad x\in X_{n}$

где H _n — каноническое n -мерное гильбертово пространство, т.е.

$\mathbf {H} _{n}=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {C} ^{n}&{\mbox{ if }}n<\omega \\\ell ^{2}&{\mbox{ if }}n=\omega \end{matrix}}\right.$

В приведенном выше $\ell ^{2}$ – пространство суммируемых с квадратом последовательностей ; все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны $\ell ^{2}.$

Сечение что { H _x } _{x ∈ X} — это семейство { s _x } _{x ∈ X} такое, s _x ∈ H _x для x ∈ X. всех Сечение измеримо тогда и только тогда, когда его ограничение на каждый элемент разбиения X _n измеримо. Определим измеримые сечения s , t равны , которые почти всюду . Для измеримого семейства гильбертовых пространств прямой интеграл

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)$

состоит из классов эквивалентности (относительно почти всюду равенства) измеримых интегрируемых с квадратом сечений { H _x } _{x ∈ X} . Это гильбертово пространство относительно скалярного произведения

$\langle s|t\rangle =\int _{X}\langle s(x)|t(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)$

Учитывая локальный характер нашего определения, многие определения, применимые к одиночным гильбертовым пространствам, применимы и к измеримым семействам гильбертовых пространств.

Замечание . Это определение, очевидно, более ограничительное, чем определение, данное фон Нейманом и обсуждаемое в классическом трактате Диксмье об алгебрах фон Неймана. В более общем определении слоям гильбертова пространства H _x разрешено изменяться от точки к точке без требования локальной тривиальности (локальной в смысле теории меры). Одна из основных теорем теории фон Неймана состоит в том, чтобы показать, что на самом деле более общее определение эквивалентно более простому, данному здесь.

Заметим, что прямой интеграл измеримого семейства гильбертовых пространств зависит только от класса меры меры µ; точнее:

Теорема . Предположим, что µ, ν — σ-конечные счетно-аддитивные меры на X , имеющие одинаковые множества меры 0. Тогда отображение

$s\mapsto \left({\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \nu }}\right)^{1/2}s$

является унитарным оператором

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \nu (x).$

Пример

Самый простой пример имеет место, когда X — счетное множество , а µ — дискретная мера . Таким образом, когда X = N и µ является считающей мерой на N , то любую последовательность { H _k } сепарабельных гильбертовых пространств можно рассматривать как измеримое семейство. Более того,

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\cong \bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}$

Разложимые операторы

На примере дискретной меры на счетном множестве любой ограниченный линейный оператор T на

$H=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}$

задается бесконечной матрицей

${\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}&\cdots \\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.$

В этом примере дискретной меры на счетном множестве разложимые операторы определяются как блочно -диагональные операторы , имеющие ноль для всех недиагональных элементов. Разложимые операторы можно охарактеризовать как операторы, коммутирующие с диагональными матрицами:

${\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.$

Приведенный выше пример мотивирует общее определение: семейство ограниченных операторов { T _x } _{x ∈ X} с T _x ∈ L( H _x ) называется сильно измеримым тогда и только тогда, когда его ограничение на каждое X _n сильно измеримо. Это имеет смысл, поскольку H _x является постоянным на X _n .

Измеримые семейства операторов с существенно ограниченной нормой , т.е.

$\operatorname {ess-sup} _{x\in X}\|T_{x}\|<\infty$

определить ограниченные линейные операторы

$\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x)\in \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}$

действуя точечно, т.

${\bigg [}\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x){\bigg ]}{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\ s_{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}(s_{x})d\mu (x).$

Такие операторы называются разложимыми .

Примерами разложимых операторов являются те, которые определяются скалярнозначными (т.е. C -значными) измеримыми функциями λ на X . Фактически,

Теорема . Отображение

$\phi :L_{\mu }^{\infty }(X)\rightarrow \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}$

данный

$\lambda \mapsto \int _{X}^{\oplus }\ \lambda _{x}d\mu (x)$

является инволютивным алгебраическим изоморфизмом на свой образ.

Это позволяет Л ^∞ _µ ( X ) отождествляется с образом φ.

Теорема Разложимыми операторами являются именно те операторы, которые входят в операторный коммутант абелевой алгебры L ^∞ _м ( Х ).

абелевых алгебр

Спектральная теорема имеет множество вариантов. Особенно мощная версия выглядит следующим образом:

Теорема . Для любой абелевой алгебры фон Неймана A на сепарабельном гильбертовом пространстве H существует стандартное борелевское пространство X и мера µ на ​​X такие, что она как операторная алгебра унитарно эквивалентна L ^∞ _µ ( X ), действующий на прямой интеграл гильбертовых пространств

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x).\quad$

Утверждение A унитарно эквивалентно L ^∞ _µ ( X ) как операторная алгебра означает, что существует унитарная

$U:H\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)$

такая, что U A U * — алгебра диагональных операторов L ^∞ _мкм ( Икс ). Заметим, что это утверждает не только алгебраическую эквивалентность A алгебре диагональных операторов.

В этой версии спектральной теоремы явно не указано, как базовое стандартное борелевское пространство X. получается Для приведенного выше разложения существует результат единственности.

Теорема . Если абелева алгебра фон Неймана A унитарно эквивалентна обеим L ^∞ _μ ( X ) и L ^∞ _ν ( Y ), действующий на пространствах прямого целого

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad \int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)$

и µ, ν — стандартные меры, то существует борелевский изоморфизм

$\varphi :X-E\rightarrow Y-F$

где E , F — нулевые множества такие, что

$K_{\phi (x)}=H_{x}\quad {\mbox{almost everywhere}}$

Изоморфизм φ является изоморфизмом класса меры в том смысле, что φ и его инверсия сохраняют множества меры 0.

Две предыдущие теоремы дают полную классификацию абелевых алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах. Эта классификация учитывает реализацию алгебры фон Неймана как алгебры операторов. Если рассматривать основную алгебру фон Неймана независимо от ее реализации (как алгебру фон Неймана), то ее структура определяется очень простыми теоретико-мерными инвариантами.

алгебр

Пусть { H _x } _{x ∈ X} — измеримое семейство гильбертовых пространств. Семейство алгебр фон Неймана { A _x } _{x ∈ X} с

$A_{x}\subseteq \operatorname {L} (H_{x})$

измеримо тогда и только тогда, когда существует счетное множество D измеримых семейств операторов, которые поточечно порождают { x _} x _{∈ X как} алгебру фон Неймана в следующем смысле: для почти всех x ∈ X A

$\operatorname {W^{*}} (\{S_{x}:S\in D\})=A_{x}$

где W*( S ) обозначает алгебру фон Неймана, порожденную множеством S . Если { A _x } _{x ∈ X} — измеримое семейство алгебр фон Неймана, прямой интеграл алгебр фон Неймана

$\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)$

состоит из всех операторов вида

$\int _{X}^{\oplus }T_{x}d\mu (x)$

для Т _Икс € А _Икс .

Одна из основных теорем фон Неймана и Мюррея в их оригинальной серии статей является доказательством теоремы о разложении: любая алгебра фон Неймана является прямым интегралом факторов. Точно сказано,

Теорема . Если { A _x } _{x ∈ X} — измеримое семейство алгебр фон Неймана и µ стандартно, то семейство операторных коммутантов также измеримо и

${\bigg [}\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x){\bigg ]}'=\int _{X}^{\oplus }A'_{x}d\mu (x).$

Центральное разложение

Предположим, что A — алгебра фон Неймана. Пусть Z ( A ) центр A. ​ — Центром является множество операторов из A , которые коммутируют со всеми операторами A :

$\mathbf {Z} (A)=A\cap A'$

Тогда Z ( A ) — абелева алгебра фон Неймана.

Пример . Центр L( H ) одномерен. В общем, если A — алгебра фон Неймана, если центр одномерный, мы говорим, что A — фактор .

Когда A — алгебра фон Неймана, центр которой содержит последовательность минимальных попарно ортогональных ненулевых проекций { E _i } _{i ∈ N} таких, что

$1=\sum _{i\in \mathbb {N} }E_{i}$

тогда A E _i является алгеброй фон Неймана в области значений H _i алгебры E _i . Легко видеть, что A E _i является фактором. Таким образом, в этом частном случае

$A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }AE_{i}$

представляет A как прямую сумму факторов. Это частный случай центральной теоремы фон Неймана о разложении.

В общем, структурная теорема абелевых алгебр фон Неймана представляет Z( A ) как алгебру скалярных диагональных операторов. В любом таком представлении все операторы из A являются разложимыми операторами. Это можно использовать для доказательства основного результата фон Неймана: любая алгебра фон Неймана допускает разложение на факторы.

Теорема . Предполагать

$H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)$

является разложением H в прямой интеграл, а A является алгеброй фон Неймана на H, так что Z( A ) представляется алгеброй скалярных диагональных операторов L ^∞ _µ ( X ), где X — стандартное борелевское пространство. Затем

$\mathbf {A} =\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)$

где для почти всех ∈ X A x x _— алгебра фон Неймана, являющаяся фактором .

семейства

Если A — сепарабельная C*-алгебра выше результаты применимы к измеримым семействам невырожденных *-представлений A. , то приведенные В случае, когда A имеет единицу, невырожденность эквивалентна сохранению единицы. В силу общего соответствия, существующего между сильно непрерывными унитарными представлениями G локально компактной группы и невырожденными *-представлениями групп С*-алгебры С*( G ), теория С*-алгебр немедленно дает теорию разложения для представления сепарабельных локально компактных групп.

Теорема . Пусть А невырожденное инволютивное представление А в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. — сепарабельная С*-алгебра и я — порожденная операторами π( a ) для a ∈ A. Пусть W*(π) — алгебра фон Неймана , Тогда любому центральному разложению W*(π) по стандартному пространству с мерой ( X , µ) (которое, как утверждалось, уникально в теоретико-мерном смысле), существует измеримое семейство фактор-представлений

$\{\pi _{x}\}_{x\in X}$

из А такой, что

$\pi (a)=\int _{X}^{\oplus }\pi _{x}(a)d\mu (x),\quad \forall a\in A.$

Более того, существует подмножество N из X с нулевой мерой µ, такое, что π _x , π _y не пересекаются всякий раз, когда x , y ∈ X − N , где представления называются непересекающимися нет переплетающих операторов. тогда и только тогда, когда между ними .

Можно показать, что прямой интеграл можно проиндексировать на так называемом квазиспектре Q оператора A , состоящем из классов квазиэквивалентности фактор-представлений A . Таким образом, существует стандартная мера µ на ​​Q и измеримое семейство фактор-представлений, индексированных на Q, такие, что π _x принадлежит классу x . Это разложение по существу уникально. Этот результат является фундаментальным в теории представлений групп .

Ссылки

• Дж. Диксмье , Алгебры фон Неймана , ISBN   0-444-86308-7
• Дж. Диксмье, C*-алгебры ISBN   0-7204-0762-1
• Г.В. Макки , Теория представлений унитарных групп , Издательство Чикагского университета, 1976.
• И. фон Нейман , О кольцах операторов. Теория редукции Анналы математики 2-я сер., Том. 50, № 2 (апрель 1949 г.), стр. 401–485.
• Теория операторных алгебр I, II, III Масамичи Такесаки », энциклопедия математических наук, Springer-Verlag, 2001–2003 (первый том был опубликован в 1979 году в 1-м издании) ISBN   3-540-42248-X