Унитарный элемент

В математике элемент если называется *-алгебры унитарным , он обратим и его обратный элемент совпадает с присоединенным к нему элементом. ^[1]

Определение

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй с единицей $e$ . Элемент $a\in {\mathcal {A}}$ называется унитарным, если $aa^{*}=a^{*}a=e$ . Другими словами, если $a$ является обратимым и $a^{-1}=a^{*}$ держится, тогда $a$ является унитарным. ^[1]

Множество унитарных элементов обозначается ${\mathcal {A}}_{U}$ или $U({\mathcal {A}})$ .

Особым случаем, имеющим особое значение, является случай, когда ${\mathcal {A}}$ является полной нормированной *-алгеброй . Эта алгебра удовлетворяет C*-тождеству ( $\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$ ) и называется C*-алгеброй .

Критерии

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть единичной C*-алгеброй и $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ элемент нормальный . Затем, $a$ унитарен, если спектр $\sigma (a)$ состоит только из элементов группы круга $\mathbb {T}$ , то есть $\sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid |\lambda |=1\}$ . ^[2]

Примеры

Единица $e$ является унитарным. ^[3]

Позволять ${\mathcal {A}}$ если C*-алгебра с единицей, то:

Каждая проекция , т.е. каждый элемент $a\in {\mathcal {A}}$ с $a=a^{*}=a^{2}$ , является унитарным. Ведь спектр проекции состоит не более чем из $0$ и $1$ , как следует из непрерывного функционального исчисления . ^[4]
Если $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ является нормальным элементом C*-алгебры ${\mathcal {A}}$ , то для каждой непрерывной функции $f$ на спектре $\sigma (a)$ непрерывное функциональное исчисление определяет унитарный элемент $f(a)$ , если $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T}$ . ^[2]

Характеристики

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть единичной *-алгеброй и $a,b\in {\mathcal {A}}_{U}$ . Затем:

Элемент $ab$ унитарна, поскольку ${\textstyle ((ab)^{*})^{-1}=(b^{*}a^{*})^{-1}=(a^{*})^{-1}(b^{*})^{-1}=ab}$ . В частности, ${\mathcal {A}}_{U}$ образует мультипликативную группу . ^[1]
Элемент $a$ это нормально. ^[3]
Сопряженный элемент $a^{*}$ также унитарна, поскольку $a=(a^{*})^{*}$ справедливо для инволюции *. ^[1]
Если ${\mathcal {A}}$ является C*-алгеброй, $a$ имеет норму 1, т.е. $\left\|a\right\|=1$ . ^[5]

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Диксмье 1977 , с. 5.
^ Jump up to: ^а ^б Кэдисон и Рингроуз 1983 , с. 271.
^ Jump up to: ^а ^б Диксмье, 1977 , стр. 4–5.
^ Блэкадар 2006 , стр. 57, 63.
^ Диксмье 1977 , с. 9.

Ссылки

Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры. Теория С*-алгебр и алгебры фон Неймана . Берлин/Гейдельберг: Springer. стр. 57, 63. ISBN. 3-540-28486-9 .
Диксмье, Жак (1977). С*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0-7204-0762-1 . английский перевод C*-алгебры и их представления (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983). Основы теории операторных алгебр . Том 1. Элементарная теория . Нью-Йорк/Лондон: Академическая пресса. ISBN 0-12-393301-3 .

[FOOTNOTEDixmier19775-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Диксмье 1977 , с. 5.

[FOOTNOTEKadisonRingrose1983271-2] Jump up to: ^а ^б Кэдисон и Рингроуз 1983 , с. 271.

[FOOTNOTEDixmier19774–5-3] Jump up to: ^а ^б Диксмье, 1977 , стр. 4–5.

[FOOTNOTEBlackadar200657,_63-4] Блэкадар 2006 , стр. 57, 63.

[FOOTNOTEDixmier19779-5] Диксмье 1977 , с. 9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Основные понятия	Инволюция/-алгебра Банахова алгебра B-алгебра C-алгебра Некоммутативная топология Проекционная мера Спектр Спектр C-алгебры Спектральный радиус Место оператора
Основные результаты	Теорема Гельфанда–Мазура. Теорема Гельфанда–Наймарка. Представительство Гельфанда Полярное разложение Разложение по сингулярным значениям Спектральная теорема Спектральная теория нормальных C*-алгебр
Специальные элементы/операторы	изоспектральный Обычный оператор Эрмитов/самосопряженный оператор Унитарный оператор Единица
Спектр	Теорема Крейна–Рутмана Нормальное собственное значение Спектр C*-алгебры Спектральный радиус Спектральная асимметрия Спектральный разрыв
Разложение	Разложение спектра Непрерывный Точка Остаточный Приблизительная точка Сжатие Прямой интеграл Дискретный Спектральная абсцисса
Спектральная теорема	Борелевское функциональное исчисление Теорема Мин-Макса Положительная операторная мера Проекционная мера Рисс-проектор Оснащенное гильбертово пространство Спектральная теорема Спектральная теория компактных операторов Спектральная теория нормальных C*-алгебр
Специальные алгебры	Аменабельная банахова алгебра С примерной личностью Банахова функциональная алгебра Дисковая алгебра Ядерная C*-алгебра Равномерная алгебра Алгебра фон Неймана Теория Томиты-Такесаки
Конечномерный	Граница Алона – Боппаны Теорема Бауэра – Фике Числовой диапазон Теорема Шура – Хорна
Обобщения	Спектр Дирака Основной спектр Псевдоспектр Структурное пространство ( граница Шилова )
Разнообразный	Абстрактная индексная группа Когомологии банаховой алгебры Теорема факторизации Коэна – Хьюитта Расширения симметричных операторов Теория Фредгольма Принцип предельного поглощения Теоремы Шредера–Бернштейна для операторных алгебр Теорема Шермана – Такеды Неограниченный оператор
Примеры	Венская алгебра
Приложения	Почти оператор Матье Теорема о короне Слышание формы барабана ( собственное значение Дирихле ) Тепловое ядро Формула следа Кузнецова Слабая пара Функция протозначения Граф Рамануджана Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. Спектральная геометрия Спектральный метод Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений Теория Штурма – Лиувилля Сверхсильное приближение Оператор трансфера Теория преобразования Закон Вейля Теорема Винера – Хинчина