Расширения симметричных операторов

В функциональном анализе интересуются расширениями симметричных операторов, действующих в гильбертовом пространстве . Особое значение имеет существование, а иногда и явные конструкции, самосопряженных расширений. Эта проблема возникает, например, когда необходимо указать области самосопряжения для формальных выражений наблюдаемых в квантовой механике . Другие приложения решения этой проблемы можно увидеть в различных моментных задачах .

В этой статье обсуждаются несколько связанных проблем этого типа. Объединяющей темой является то, что каждая проблема имеет теоретико-операторную характеристику, которая дает соответствующую параметризацию решений. Более конкретно, нахождение самосопряженных расширений симметричных операторов с различными требованиями эквивалентно нахождению унитарных расширений подходящих частичных изометрий .

Симметричные операторы

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством. Линейный оператор $A$ действуя на $H$ с плотным доменом $\operatorname {dom} (A)$ симметричен , если

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {dom} (A).$

Если $\operatorname {dom} (A)=H$, теорема Хеллингера-Теплица гласит, что $A$ является ограниченным оператором , и в этом случае $A$ является самосопряженным , и проблема продолжения тривиальна. В общем случае симметричный оператор является самосопряженным, если область определения его сопряженного $\operatorname {dom} (A^{*})$, лежит в $\operatorname {dom} (A)$.

Имея дело с неограниченными операторами , часто желательно иметь возможность предположить, что рассматриваемый оператор замкнут . В данном контексте удобным является тот факт, что каждый симметричный оператор $A$ является закрывающийся . То есть, $A$ имеет наименьшее закрытое расширение, замыканием называемое $A$. Это можетможно показать, прибегнув к предположению о симметричности и теореме о представлении Рисса . С $A$ и его замыкание имеют одни и те же закрытые расширения, всегда можно предположить, что интересующий симметричный оператор замкнут.

В следующем разделе предполагается, что симметричный оператор плотно определен и замкнут.

Самосопряженные расширения симметричных операторов

Если оператор $A$ в гильбертовом пространстве $H$ симметричен, когда он имеет самосопряженные расширения? Оператор, имеющий единственное самосопряженное расширение, называется существенно самосопряженным ; эквивалентно, оператор по существу самосопряжен, если его замыкание (оператор, график которого является графика замыканием $A$) является самосопряженным. В общем случае симметричный оператор может иметь множество самосопряженных расширений или вообще не иметь их. Таким образом, нам хотелось бы классифицировать его самосопряженные расширения.

Первый основной критерий существенной самосопряженности состоит в следующем:

Теорема — Если $A$ является симметричным оператором на $H$, затем $A$ по существу самосопряжен тогда и только тогда, когда диапазон операторов $A-i$ и $A+i$ плотны в $H$.

Эквивалентно, $A$ существенно самосопряжен тогда и только тогда, когда операторы $A^{*}\pm i$ имеют тривиальные ядра . То есть, $A$ не является самосопряженным тогда и только тогда, когда $A^{*}$ имеет собственный вектор с комплексными собственными значениями $\pm i$.

Другой взгляд на проблему дает преобразование Кэли самосопряженного оператора и индексы дефектности.

Теорема . Предположим , $A$ является симметричным оператором. Тогда существует единственный плотно определенный линейный оператор $$W(A):\operatorname {ran} (A+i)\to \operatorname {ran} (A-i)$$такой, что $$W(A)(Ax+ix)=Ax-ix,\quad x\in \operatorname {dom} (A).$$

$W(A)$ изометрична в своей области определения . Более того, $\operatorname {ran} (1-W(A))$ плотный в $A$.

Обратно, для любого плотно определенного оператора $U$ который изометричен в своей (не обязательно замкнутой) области и такой, что $1-U$ плотен, то существует (единственный) плотно определенный симметричный оператор

$S(U):\operatorname {ran} (1-U)\to \operatorname {ran} (1+U)$

такой, что

$S(U)(x-Ux)=i(x+Ux),\quad x\in \operatorname {dom} (U).$

Отображения $W$ и $S$ являются обратными друг другу, т.е. $S(W(A))=A$.

Отображение $A\mapsto W(A)$ называется преобразованием Кэли . Он связывает частично определенную изометрию с любым симметричным плотно определенным оператором. Заметим, что отображения $W$ и $S$ монотонны : это означает , что если $B$ — симметричный оператор, расширяющий плотно определенный симметричный оператор $A$, затем $W(B)$ простирается $W(A)$, и аналогично для $S$.

Теорема . Необходимое и достаточное условие $A$ самосопряженным является то, что его преобразование Кэли $W(A)$ быть единым в $H$.

Это сразу дает нам необходимое и достаточное условие для $A$ иметь самосопряженное расширение следующим образом:

Теорема . Необходимое и достаточное условие $A$ иметь самосопряженное расширение - это то, что $W(A)$ иметь унитарное расширение $H$.

Частично определенный изометрический оператор $V$ в гильбертовом пространстве $H$ имеет уникальное изометрическое расширение до замыкания нормы $\operatorname {dom} (V)$. Частично определенный изометрический оператор с замкнутой областью определения называется частичной изометрией .

Определите дефектные подпространства A помощью с

${\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {ran} (A+i)^{\perp }\\K_{-}&=\operatorname {ran} (A-i)^{\perp }\end{aligned}}$

На этом языке описание самосопряженной задачи расширения, данное теоремой, можно переформулировать следующим образом: симметричный оператор $A$ имеет самосопряженные расширения тогда и только тогда, когда дефектные подпространства $K_{+}$ и $K_{-}$ иметь одинаковую размерность.

Показатели дефектов частичной изометрии $V$ определяются как размерность ортогональных дополнений области и диапазона:

${\begin{aligned}n_{+}(V)&=\dim \operatorname {dom} (V)^{\perp }\\n_{-}(V)&=\dim \operatorname {ran} (V)^{\perp }\end{aligned}}$

Теорема . Частичная изометрия. $V$ имеет унитарное расширение тогда и только тогда, когда индексы дефицита идентичны. Более того, $V$ имеет единственное унитарное расширение тогда и только тогда, когда оба индекса дефицита равны нулю.

Мы видим, что существует биекция между симметричными расширениями оператора и изометрическими расширениями его преобразования Кэли. Симметричное расширение самосопряжено тогда и только тогда, когда соответствующее изометрическое расширение унитарно.

Симметричный оператор имеет единственное самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда оба его индекса дефекта равны нулю. Такой оператор называется существенно самосопряженным . Симметричные операторы, которые по существу не являются самосопряженными, все же могут иметь каноническое самосопряженное расширение. Так обстоит дело с неотрицательными симметричными операторами (или, в более общем смысле, с операторами, ограниченными снизу). Эти операторы всегда имеют канонически определенное расширение Фридрихса , и для этих операторов мы можем определить каноническое функциональное исчисление. Многие операторы, встречающиеся в анализе, ограничены снизу (например, отрицательный оператор Лапласа ), поэтому вопрос существенной сопряженности для этих операторов менее важен.

Предполагать $A$ является симметричным плотно определенным. Тогда любое симметричное расширение $A$ является ограничением $A^{*}$. Действительно, $A\subseteq B$ и $B$ симметричная доходность $B\subseteq A^{*}$ применяя определение $\operatorname {dom} (A^{*})$. Это понятие приводит к формулам фон Неймана :

Теорема . Предположим , $A$ — плотно определенный симметричный оператор с областью определения $\operatorname {dom} (A)$. Позволять $$N_{\pm }=\operatorname {ran} (A\pm i)^{\perp },$$— любая пара его дефектных подпространств. Затем $$N_{\pm }=\operatorname {ker} (A^{*}\mp i),$$и $$\operatorname {dom} \left(A^{*}\right)=\operatorname {dom} \left({\overline {A}}\right)\oplus N_{+}\oplus N_{-},$$где разложение ортогонально относительно внутреннего произведения графа $\operatorname {dom} (A^{*})$: $$\langle \xi \mid \eta \rangle _{\text{graph}}=\langle \xi \mid \eta \rangle +\left\langle A^{*}\xi \mid A^{*}\eta \right\rangle .$$

Пример

Рассмотрим гильбертово пространство $L^{2}([0,1])$. На подпространстве абсолютно непрерывной функции, обращающейся в нуль на границе, определим оператор $A$ к

$Af=i{\frac {d}{dx}}f.$

Интегрирование по частям показывает $A$ является симметричным. Его сопряженный $A^{*}$ это тот же оператор с $\operatorname {dom} (A^{*})$ являются абсолютно непрерывными функциями без граничных условий. Мы увидим, что расширение A равнозначно изменению граничных условий, тем самым увеличивая $\operatorname {dom} (A)$ и сокращение $\operatorname {dom} (A^{*})$, пока они не совпадут.

Непосредственный расчет показывает, что $K_{+}$ и $K_{-}$ являются одномерными подпространствами, заданными формулой

${\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {span} \{\phi _{+}=c\cdot e^{x}\}\\K_{-}&=\operatorname {span} \{\phi _{-}=c\cdot e^{-x}\}\end{aligned}}$

где $c$ является нормирующей константой. Самосопряженные расширения $A_{\alpha }$ из $A$ параметризуются группой окружностей $\mathbb {T} =\{\alpha \in \mathbb {C} :|\alpha |=1\}$. Для каждого унитарного преобразования $U_{\alpha }:K_{-}\to K_{+}$ определяется

$U_{\alpha }(\phi _{-})=\alpha \phi _{+}$

соответствует расширение $A_{\alpha }$ с доменом

$\operatorname {dom} (A_{\alpha })=\{f+\beta (\alpha \phi _{-}-\phi _{+})|f\in \operatorname {dom} (A),\;\beta \in \mathbb {C} \}.$

Если $f\in \operatorname {dom} (A_{\alpha })$, затем $f$ абсолютно непрерывен и

$\left|{\frac {f(0)}{f(1)}}\right|=\left|{\frac {e\alpha -1}{\alpha -e}}\right|=1.$

И наоборот, если $f$ абсолютно непрерывен и $f(0)=\gamma f(1)$ для некоторых $\gamma \in \mathbb {T}$, затем $f$ лежит в указанной выше области.

Самосопряженные операторы $A_{\alpha }$ являются примерами оператора импульса в квантовой механике.

Самосопряженное расширение на большую площадь

Любую частичную изометрию можно расширить, возможно, на большем пространстве, до унитарного оператора. Следовательно, каждый симметричный оператор имеет самосопряженное расширение на, возможно, большем пространстве.

Положительные симметричные операторы

Симметричный оператор $A$ называется положительным, если

$\langle Ax,x\rangle \geq 0,\quad \forall x\in \operatorname {dom} (A).$

Известно, что для каждого такого $A$, у одного есть $\operatorname {dim} K_{+}=\operatorname {dim} K_{-}$. Следовательно, каждый положительный симметрический оператор имеет самосопряженные расширения. Более интересный вопрос в этом направлении заключается в том, $A$ имеет положительные самосопряженные расширения.

Для двух положительных операторов $A$ и $B$, мы ставим $A\leq B$ если

$(A+1)^{-1}\geq (B+1)^{-1}$

в смысле ограниченных операторов.

Структура матричных сокращений 2 × 2

В то время как проблема расширения общих симметричных операторов по существу заключается в расширении частичных изометрий до унитарных, для положительных симметричных операторов вопрос становится проблемой расширения сокращений : «заполняя» некоторые неизвестные элементы самосопряженного сжатия 2 × 2, мы получаем положительные самосопряженные расширения положительного симметрического оператора.

Прежде чем сформулировать соответствующий результат, сначала зафиксируем некоторую терминологию. Для сокращения $\Gamma$, действуя на $H$, мы определяем его операторы дефекта как

${\begin{aligned}&D_{\Gamma }\;=(1-\Gamma ^{*}\Gamma )^{\frac {1}{2}}\\&D_{\Gamma ^{*}}=(1-\Gamma \Gamma ^{*})^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Дефектные пространства ​ $\Gamma$ являются

${\begin{aligned}&{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;=\operatorname {ran} (D_{\Gamma })\\&{\mathcal {D}}_{\Gamma ^{*}}=\operatorname {ran} (D_{\Gamma ^{*}})\end{aligned}}$

Операторы дефекта указывают на неунитарность $\Gamma$, а пространства дефектов обеспечивают уникальность в некоторых параметризациях.Используя этот механизм, можно явно описать структуру общих матричных сокращений. Нам понадобится только случай 2×2. Каждое сокращение 2 × 2 $\Gamma$ может быть однозначно выражено как

$\Gamma ={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}^{*}}\Gamma _{2}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}^{*}\Gamma _{2}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{2}}\end{bmatrix}}$

где каждый $\Gamma _{i}$ является сокращением.

Расширения положительных симметричных операторов

Преобразование Кэли для общих симметричных операторов можно адаптировать к этому частному случаю. Для каждого неотрицательного числа $a$,

$\left|{\frac {a-1}{a+1}}\right|\leq 1.$

Это предполагает, что мы присваиваем каждому положительному симметричному оператору $A$ сокращение

$C_{A}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow \operatorname {ran} (A-1)\subset H$

определяется

$C_{A}(A+1)x=(A-1)x.\quad {\mbox{i.e.}}\quad C_{A}=(A-1)(A+1)^{-1}.\,$

которые имеют матричное представление

$C_{A}={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}\end{bmatrix}}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {ran} (A+1)\\\oplus \\\operatorname {ran} (A+1)^{\perp }\end{matrix}}.$

Легко проверить, что $\Gamma _{1}$ вход, $C_{A}$ проецируется на $\operatorname {ran} (A+1)=\operatorname {dom} (C_{A})$, является самосопряженным. Оператор $A$ можно записать как

$A=(1+C_{A})(1-C_{A})^{-1}\,$

с $\operatorname {dom} (A)=\operatorname {ran} (C_{A}-1)$. Если ${\tilde {C}}$ представляет собой сокращение, которое расширяется $C_{A}$ и его проекция на свою область определения самосопряжена, то ясно, что его обратное преобразование Кэли

${\tilde {A}}=(1+{\tilde {C}})(1-{\tilde {C}})^{-1}$

определено на $\operatorname {ran} (1-{\tilde {C}})$ является положительным симметричным расширением $A$. Свойство симметричности следует из самосопряженности его проекции на собственную область, а положительность следует из сжимаемости. Обратное также верно: при положительном симметричном расширении $A$, его преобразование Кэли является сжатием, удовлетворяющим указанному свойству «частичной» самосопряжённости.

Теорема . Положительные симметричные расширения $A$ находятся во взаимно однозначном соответствии с расширениями его преобразования Кэли, где, если $C$ такое расширение, нам требуется $C$ проецируется на $\operatorname {dom} (C)$ быть самосопряженным.

Критерий унитарности преобразования Кэли заменяется самосопряженным для положительных операторов.

Теорема . Симметричный положительный оператор $A$ является самосопряженным тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли является самосопряженным сжатием, определенным на всех $H$, то есть когда $\operatorname {ran} (A+1)=H$.

Следовательно, нахождение самосопряженного расширения для положительного симметричного оператора становится « проблемой пополнения матрицы ». В частности, нам нужно встроить сокращение столбца $C_{A}$ в самосопряженное сокращение 2×2. Это всегда можно сделать, и структура таких сокращений дает параметризацию всех возможных расширений.

Согласно предыдущему подразделу все самосопряженные расширения $C_{A}$ принимает форму

${\tilde {C}}(\Gamma _{4})={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}}\Gamma _{3}^{*}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}\Gamma _{3}^{*}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{3}^{*}}\end{bmatrix}}.$

Таким образом, самосопряженные положительные расширения $A$ находятся в биективном соответствии с самосопряженными сокращениями $\Gamma _{4}$ на дефектном пространстве ${\mathcal {D}}_{\Gamma _{3}^{*}}$ из $\Gamma _{3}$. Схватки ${\tilde {C}}(-1)$ и ${\tilde {C}}(1)$ вызывать позитивные расширения $A_{0}$ и $A_{\infty }$ соответственно. Это наименьшее и самое большое положительное продолжение $A$ в том смысле, что

$A_{0}\leq B\leq A_{\infty }$

для любого положительного самосопряженного расширения $B$ из $A$. Оператор $A_{\infty }$ является Фридрихса расширением $A$ и $A_{0}$ является фон Неймана-Крейна расширением $A$.

Аналогичные результаты можно получить и для аккретивных операторов .

Ссылки

• Ахиезер, Наум Ильич (1981). Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве . Бостон: Питман. ISBN  0-273-08496-8 .
• А. Алонсо и Б. Саймон, Теория Бирмана-Крейна-Вишика самосопряженных расширений полуограниченных операторов. Дж. Теория операторов 4 (1980), 251–270.
• гр. Арсен и А. Геондеа, Завершение матричных сокращений, J. Теория операторов 7 (1982), 179–189.
• Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц, Линейные операторы , Часть II, Interscience, 1958.
• Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN  978-1461471158
• Йоргенсен, Палле ET; Корнельсон, Кери А.; Шуман, Карен Л. (2011). Итерированные системы функций, моменты и преобразования бесконечных матриц . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-5248-4 .
• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Рид, М .; Саймон, Б. (1972), Методы математической физики: Том 2: Анализ Фурье, самосопряженность , Academic Press
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN  978-0-07-054236-5 .