Расширение Фридриха

В функциональном анализе является расширение Фридрихса каноническим самосопряженным расширением неотрицательного плотно определенного симметричного оператора . Он назван в честь математика Курта Фридрихса . Это расширение особенно полезно в ситуациях, когда оператор может не быть по существу самосопряженным или существенную самосопряженность которого трудно показать.

Оператор T неотрицательен, если

\langle \xi \mid T\xi \rangle \geq 0\quad \xi \in \operatorname {dom} \ T

Примеры [ править ]

Пример . Умножение на неотрицательную функцию на L ² пространство — неотрицательный самосопряженный оператор.

Пример . Пусть U — открытое множество в R ^н. Где Л ²( U ) рассмотрим дифференциальные операторы вида

[T\phi ](x)=-\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}\{a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}\phi (x)\}\quad x\in U,\phi \in \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U),

где функции a _{i j} являются бесконечно дифференцируемыми вещественными функциями на U . Мы рассматриваем T, действующий на плотном подпространстве бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций с компактным носителем, в символах

\operatorname {C} _{c}^{\infty }(U)\subseteq L^{2}(U).

Если для каждого x ∈ U матрица n × n размера

{\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}

неотрицательный полуопределенный, то T неотрицательный оператор. Это означает: а) что матрица эрмитова и

\sum _{i,j}a_{ij}(x)c_{i}{\overline {c_{j}}}\geq 0

для каждого выбора комплексных чисел c ₁ , ..., c _n . Это доказывается с помощью интегрирования по частям .

Эти операторы являются эллиптическими , хотя в общем случае эллиптические операторы не могут быть неотрицательными. Однако они ограничены снизу.

Фридриха расширения Определение

Определение расширения Фридрихса основано на теории замкнутых положительных форм в гильбертовых пространствах. Если Т неотрицательно, то

\operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle \xi \mid T\eta \rangle +\langle \xi \mid \eta \rangle

является полуторалинейной формой на dom T и

\operatorname {Q} (\xi ,\xi )=\langle \xi \mid T\xi \rangle +\langle \xi \mid \xi \rangle \geq \|\xi \|^{2}.

Таким образом, Q определяет скалярное произведение на dom T . Пусть H ₁ — пополнение dom T относительно Q. H ₁ — абстрактно определенное пространство; например, его элементы могут быть представлены как классы эквивалентности последовательностей Коши элементов dom T . Неочевидно, что все элементы из H ₁ можно отождествить с элементами из H . Однако можно доказать следующее:

Каноническое включение

\operatorname {dom} T\rightarrow H

продолжается до инъективного непрерывного отображения H ₁ → H . Мы рассматриваем H ₁ как подпространство H .

Определите оператор A с помощью

\operatorname {dom} \ A=\{\xi \in H_{1}:\phi _{\xi }:\eta \mapsto \operatorname {Q} (\xi ,\eta ){\mbox{ is bounded linear.}}\}

В приведенной выше формуле ограничено относительно топологии на H _1, унаследованной от H . По теореме о представлении Рисса, примененной к линейному функционалу φ _ξ, расширенному на H , существует единственный A ξ ∈ H такой, что

\operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle A\xi \mid \eta \rangle \quad \eta \in H_{1}

Теорема . A — неотрицательный самосопряженный оператор такой, что T ₁ = A - I расширяет T .

T ₁ является расширением Фридрихса T .

Другой способ получить это расширение заключается в следующем. Позволять : $L:H_{1}\rightarrow H$ — ограниченный оператор включения. Включение является ограниченной инъективной с плотным образом. Следовательно $LL^{*}:H\rightarrow H$ — ограниченный инъективный оператор с плотным образом, где $L^{*}$ является сопряжением $L$ как оператор между абстрактными гильбертовыми пространствами. Поэтому оператор $A:=(LL^{*})^{-1}$ — неотрицательный самосопряженный оператор, областью определения которого является образ $LL^{*}$ . Затем $A-I$ расширяет Т.

самосопряженных Крейна о неотрицательных Теорема расширениях

М. Г. Крейн дал изящную характеристику всех неотрицательных самосопряженных расширений неотрицательного симметрического Т. оператора

Если T , S — неотрицательные самосопряженные операторы, запишите

T\leq S

тогда и только тогда, когда

$\operatorname {dom} (S^{1/2})\subseteq \operatorname {dom} (T^{1/2})$
$\langle T^{1/2}\xi \mid T^{1/2}\xi \rangle \leq \langle S^{1/2}\xi \mid S^{1/2}\xi \rangle \quad \forall \xi \in \operatorname {dom} (S^{1/2})$

Теорема . Существуют единственные самосопряженные расширения T _min и T _max любого неотрицательного симметрического оператора T такие, что

T_{\mathrm {min} }\leq T_{\mathrm {max} },

и каждое неотрицательное самосопряженное расширение T находится и между T _min S T _max , т.е.

T_{\mathrm {min} }\leq S\leq T_{\mathrm {max} }.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Н. И. Ахиезер , И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве , Питман, 1981.