Сокращение (теория операторов)

В теории операторов ограниченный оператор T : X → Y между нормированными векторными пространствами X и Y называется стягивающим, если его операторная норма || Т || ≤ 1. Это понятие является частным случаем понятия сжимающего отображения , но каждый ограниченный оператор становится сжимающим после подходящего масштабирования. Анализ сокращений дает представление о структуре операторов или семейства операторов. Теория сокращений в гильбертовом пространстве во многом принадлежит Беле Сёкефальви-Надь и Чиприану Фояшу .

Сжатия в гильбертовом пространстве [ править ]

Если T — сжатие, действующее в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ следующие базовые объекты, связанные с T. , можно определить

Операторами дефекта T T являются операторы D ₎ = (1 − *T T ^½ и D _T* = (1 - TT* ) ^½. Квадратный корень — это положительно полуопределенный корень, заданный спектральной теоремой . Дефектные пространства ${\mathcal {D}}_{T}$ и ${\mathcal {D}}_{T*}$ являются замыканием диапазонов Ran( DT ₎ и Ran( DT _* ) соответственно. Положительный оператор D _T индуцирует скалярное произведение на ${\mathcal {H}}$ . Пространство внутреннего продукта естественным образом можно отождествить с Ran( ) _DT . Аналогичное утверждение справедливо и для ${\mathcal {D}}_{T*}$ .

Дефектными индексами T являются пары

(\dim {\mathcal {D}}_{T},\dim {\mathcal {D}}_{T^{*}}).

Операторы дефекта и индексы дефекта являются мерой неунитарности T .

Сжатие T в гильбертовом пространстве канонически разлагается в ортогональную прямую сумму

T=\Gamma \oplus U

где U — унитарный оператор, а Γ совершенно неунитарен в том смысле, что не имеет ненулевых приводящих подпространств , на которых его ограничение унитарно. Если U = 0, T называется полностью неунитарным сжатием . Частным случаем этого разложения является разложение Вольда для изометрии , где Γ — собственная изометрия.

называют операторными углами Сжатия в гильбертовых пространствах можно рассматривать как операторные аналоги cos θ и в некоторых контекстах . Явное описание сокращений приводит к (операторно) параметризации положительных и унитарных матриц.

для сокращений о расширении Теорема

Теорема С.-Надя о расширении , доказанная в 1953 году, утверждает, что для любого сжатия T в гильбертовом пространстве H существует унитарный оператор U в большем гильбертовом пространстве K ⊇ H такой, что если P — ортогональный проектор K на H , то Т ^н = П У ^н P для всех n > 0. Оператор U называется расширением T U и определяется однозначно, если U минимально, т. е. K — наименьшее замкнутое подпространство, инвариантное относительно и U * , содержащее H .

На самом деле определить ^[1]

\displaystyle {{\mathcal {H}}=H\oplus H\oplus H\oplus \cdots ,}

ортогональная прямая сумма счетного числа копий H .

Пусть V — изометрия на ${\mathcal {H}}$ определяется

\displaystyle {V(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots )=(T\xi _{1},{\sqrt {I-T^{*}T}}\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots ).}

Позволять

\displaystyle {{\mathcal {K}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}.}

Определим унитарную W на ${\mathcal {K}}$ к

\displaystyle {W(x,y)=(Vx+(I-VV^{*})y,-V^{*}y).}

Тогда W является унитарным расширением T, где H рассматривается как первый компонент ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {K}}$ .

Минимальное расширение U получается путем ограничения W на замкнутое подпространство, порожденное степенями W, примененными к H .

Теорема о расширении для сжимающих полугрупп [ править ]

Существует альтернативное доказательство теоремы С.-Надя о растяжении, допускающее существенное обобщение. ^[2]

Пусть G — группа, U ( g ) — унитарное представление G в гильбертовом пространстве K , а P — проектор на замкнутое подпространство H = PK пространства K. ортогональный

Операторная функция

\displaystyle {\Phi (g)=PU(g)P,}

со значениями в операторах на K удовлетворяет условию положительной определенности

\sum \lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\Phi (g_{j}^{-1}g_{i})=PT^{*}TP\geq 0,

где

\displaystyle {T=\sum \lambda _{i}U(g_{i}).}

Более того,

\displaystyle {\Phi (1)=P.}

И наоборот, всякая операторнозначная положительно определенная функция возникает таким образом. Напомним, что каждая (непрерывная) скалярная положительно определенная функция на топологической группе индуцирует скалярное произведение и представление группы φ( g ) = 〈 U _g v , v 〉 где U _g — (сильно непрерывное) унитарное представление (см . теорема ). Замена v , проекции ранга 1, на общую проекцию дает операторнозначное утверждение. Фактически конструкция идентична; это показано ниже.

Позволять ${\mathcal {H}}$ — пространство функций на G конечного носителя со значениями в H со скалярным произведением

\displaystyle {(f_{1},f_{2})=\sum _{g,h}(\Phi (h^{-1}g)f_{1}(g),f_{2}(h)).}

G действует унитарно на ${\mathcal {H}}$ к

\displaystyle {U(g)f(x)=f(g^{-1}x).}

Более того, H можно отождествить с замкнутым подпространством ${\mathcal {H}}$ используя изометрическое вложениеотправка v в H в f _v с

f_{v}(g)=\delta _{g,1}v.\,

Если P — проекция ${\mathcal {H}}$ на H , затем

\displaystyle {PU(g)P=\Phi (g),}

используя вышеуказанную идентификацию.

Когда G — сепарабельная топологическая группа, Φ непрерывна в сильной (или слабой) операторной топологии тогда и только тогда, когда U непрерывна.

В этом случае функции, носители которых принадлежат счетной плотной подгруппе группы G, плотны в ${\mathcal {H}}$ , так что ${\mathcal {H}}$ является разделимым.

Когда G = Z любой оператор сжатия T определяет такую функцию Φ через

\displaystyle \Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (n)=T^{n},\,\,\,\Phi (-n)=(T^{*})^{n},

для n > 0. Тогда приведенная выше конструкция дает минимальное унитарное расширение.

Тот же метод можно применить для доказательства второй теоремы о растяжении С._Надя для однопараметрической сильно непрерывной полугруппы сжатия T ( t ) ( t ≥ 0) в гильбертовом пространстве H . Купер (1947) ранее доказал результат для однопараметрических полугрупп изометрий: ^[3]

Теорема утверждает, что существует большее гильбертово пространство K, содержащее H и унитарное представление U ( t ) R такое, что

\displaystyle {T(t)=PU(t)P}

переводы U ( t ) H генерируют K. и

Фактически T ( t ) определяет непрерывную операторнозначную положительно определенную функцию Φ на R через

\displaystyle {\Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (t)=T(t),\,\,\,\Phi (-t)=T(t)^{*},}

при t > 0. Φ положительно определена на циклических подгруппах R по аргументу для Z и, следовательно, на самом R по непрерывности.

Предыдущая конструкция дает минимальное унитарное представление U ( t ) и P. проекцию

Теорема Хилле-Йосиды сопоставляет замкнутый неограниченный оператор A каждой сжимающей однопараметрической полугруппе T' ( t ) через

\displaystyle {A\xi =\lim _{t\downarrow 0}{1 \over t}(T(t)-I)\xi ,}

где область определения A состоит из всех ξ, для которых существует этот предел.

A называется генератором полугруппы и удовлетворяет условию

\displaystyle {-\Re (A\xi ,\xi )\geq 0}

на своем домене. Когда A — самосопряженный оператор

\displaystyle {T(t)=e^{At},}

в смысле спектральной теоремы , и эти обозначения в более общем смысле используются в теории полугрупп.

Когенератор формулой полугруппы — это сжатие, определяемое

\displaystyle {T=(A+I)(A-I)^{-1}.}

A можно восстановить из T по формуле

\displaystyle {A=(T+I)(T-I)^{-1}.}

В частности, расширение T на K ⊃ H немедленно дает расширение полугруппы. ^[4]

Функциональное исчисление [ править ]

Пусть T — вполне неунитарное сжатие на H . Тогда минимальное унитарное расширение U оператора T на K ⊃ H унитарно эквивалентно прямой сумме копий оператора двустороннего сдвига, т.е. умножению на z на L ²( С ¹). ^[5]

Если P — ортогональный проектор на H, то для f в L ^∞ = Л ^∞( С ¹) то оператор f ( T ) можно определитьк

\displaystyle {f(T)\xi =Pf(U)\xi .}

Пусть Н ^∞ — пространство ограниченных голоморфных функций на единичном круге D . Любая такая функция имеет граничные значения в L ^∞ и определяется ими однозначно, так что существует вложение H ^∞ ⊂ Л ^∞.

Для f в H ^∞, f ( T ) можно определитьбезотносительно унитарного расширения.

На самом деле, если

\displaystyle {f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}

для | г | < 1, то при r < 1

\displaystyle {f_{r}(z))=\sum _{n\geq 0}r^{n}a_{n}z^{n}}

голоморфен на | г | < 1/ р .

В этом случае f _r ( T ) определяется голоморфным функциональным исчислением, а f ( T ) может быть определено как

\displaystyle {f(T)\xi =\lim _{r\rightarrow 1}f_{r}(T)\xi .}

Отображение, переводящее f в f ( T ), определяет гомоморфизм алгебры H ^∞ на ограниченные операторы на H . Более того, если

\displaystyle {f^{\sim }(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}{\overline {z}}^{n},}

затем

\displaystyle {f^{\sim }(T)=f(T^{*})^{*}.}

отображение обладает следующим свойством непрерывности: если равномерно ограниченная последовательность fn _T почти всюду стремится к f , то ( _fn T ) стремится к f ( Это ) в сильной операторной топологии.

Для t ≥ 0 пусть e _t — внутренняя функция

\displaystyle {e_{t}(z)=\exp t{z+1 \over z-1}.}

Если T — когенератор однопараметрической полугруппы вполне неунитарных сжатий T ( t ), то

\displaystyle {T(t)=e_{t}(T)}

и

\displaystyle {T={1 \over 2}I-{1 \over 2}\int _{0}^{\infty }e^{-t}T(t)\,dt.}

C ₀ сокращений [ править ]

Говорят, что вполне неунитарное сжатие T принадлежит классу C ₀ тогда и только тогда, когда f ( T ) = 0 для некоторого ненулевого f в H ^∞. В этом случае множество таких f образует идеал в H ^∞. Он имеет вид φ ⋅ H ^∞ где г является внутренней функцией , т.е. такой, что |φ| = 1 на S ¹: φ однозначно определяется с точностью до умножения на комплексное число модуля 1 и называется минимальной функцией от T . Он обладает свойствами, аналогичными минимальному многочлену матрицы.

Минимальная функция φ допускает каноническую факторизацию

\displaystyle {\varphi (z)=cB(z)e^{-P(z)},}

где | c |=1, B ( z ) — произведение Бляшке

\displaystyle {B(z)=\prod \left[{|\lambda _{i}| \over \lambda _{i}}{\lambda _{i}-z \over 1-{\overline {\lambda }}_{i}}\right]^{m_{i}},}

с

\displaystyle {\sum m_{i}(1-|\lambda _{i}|)<\infty ,}

и P ( z ) голоморфен с неотрицательной вещественной частью D. в По теореме о представлении Герглотца

\displaystyle {P(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta )}

для некоторой неотрицательной конечной меры µ на окружности: в этом случае, если она не равна нулю, µ должна быть сингулярной относительно меры Лебега. В приведенном выше разложении φ любой из двух факторов может отсутствовать.

Минимальная функция φ спектр T определяет . Внутри единичного круга спектральные значения являются нулями φ. ) не более счетного числа _{Таких λ i} , всех собственных значений T , нулей B ( z . Точка единичной окружности не лежит в спектре T тогда и только тогда, когда φ имеет голоморфное продолжение в окрестность этой точки.

φ сводится к произведению Бляшке именно тогда, когда H равно замыканию прямой суммы (не обязательно ортогональной) обобщенных собственных пространств ^[6]

\displaystyle {H_{i}=\{\xi :(T-\lambda _{i}I)^{m_{i}}\xi =0\}.}

Квазиподобие [ править ]

Два сжатия T ₁ и T ₂ называются квазиподобными, если существуют ограниченные операторы A , B с тривиальным ядром и плотным образцом такие, что

\displaystyle {AT_{1}=T_{2}A,\,\,\,BT_{2}=T_{1}B.}

Следующие свойства сжатия T сохраняются при квазиподобии:

будучи унитарным
будучи совершенно неунитарным
быть в классе C ₀
быть свободным от кратности , т.е. иметь коммутативный коммутант

Два квазиподобных сжатия C ₀ имеют одну и ту же минимальную функцию и, следовательно, один и тот же спектр.

Классификационная теорема для сокращений C ₀ без кратности _{утверждает, что два сжатия C 0} квазиподобны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же минимальную функцию (с точностью до скалярного кратного). ^[7]

Модель сжатий C ₀ без кратности с минимальной функцией φ задается следующим образом:

\displaystyle {H=H^{2}\ominus \varphi H^{2},}

где Н ² — пространство Харди круга, а T — умножение на z . ^[8]

Такие операторы называются жордановыми блоками и обозначаются S (φ).

Как обобщение теоремы Берлинга , коммутант такого оператора состоит в точности из операторов ψ( T ) с ψ в H ^≈, т.е. операторы умножения на H ² соответствующие функциям из H ^≈.

AC ₀Оператор сжатия T свободен от кратности тогда и только тогда, когда он квазиподобен жордановой блоке (необходимо соответствующий блоку, соответствующему его минимальной функции).

Примеры.

Если сжатие T квазиподобно оператору S с

\displaystyle {Se_{i}=\lambda _{i}e_{i}}

с различными λ _i по модулю меньше 1, такими, что

\displaystyle {\sum (1-|\lambda _{i}|)<1}

и ( e _i ) — ортонормированный базис, то S и, следовательно, T являются C ₀ и свободны от кратности. Следовательно, H является замыканием прямой суммы λ _i -собственных пространств T , каждое из которых имеет кратность единица. В этом можно убедиться и непосредственно, используя определение квазиподобия.

Приведенные выше результаты могут быть одинаково хорошо применены к однопараметрическим полугруппам, поскольку с точки зрения функционального исчисления две полугруппы квазиподобны тогда и только тогда, когда их кообразующие квазиподобны. ^[9]

Теорема классификации для сокращений C ₀ : Каждое сжатие C ₀ канонически квазиподобно прямой сумме жордановых блоков.

Фактически каждое сжатие C ₀ квазиподобно единственному оператору вида

\displaystyle {S=S(\varphi _{1})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3})\oplus \cdots }

где φ _n — однозначно определенные внутренние функции, причем φ ₁ — минимальная функция S и, следовательно, T . ^[10]

См. также [ править ]

Картирование сжатия – функция, уменьшающая расстояние между всеми точками.
Неравенство Каллмана – Роты
Теорема о расширении Стайнспринга
Теорема Хилле-Йосиды для полугрупп сжатия

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Берковичи, Х. (1988), Теория операторов и арифметика в H ^∞, Математические обзоры и монографии, вып. 26, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-1528-8
Купер, JLB (1947), «Однопараметрические полугруппы изометрических операторов в гильбертовом пространстве», Ann. математики. , 48 (4): 827–842, номер документа : 10.2307/1969382 , JSTOR 1969382.
Гамелен, Т.В. (1969), Равномерные алгебры , Прентис-Холл
Хоффман, К. (1962), Банаховы пространства аналитических функций , Прентис-Холл
Сз.-Надь, Б.; Фояс, К.; Берковичи, Х.; Керчи, Л. (2010), Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве , Universitext (второе изд.), Springer, ISBN 978-1-4419-6093-1
Рисс, Ф.; Сз.-Надь, Б. (1995), Функциональный анализ. Перепечатка оригинала 1955 года , Dover Books on Advanced Mathematics, Дувр, стр. 466–472, ISBN. 0-486-66289-6

[1] Сз.-Надь и др. 2010 , стр. 10–14

[2] Сз.-Надь и др. 2010 , стр. 24–28

[3] Сз.-Надь и др. 2010 , стр. 28–30

[4] Сз.-Надь и др. 2010 , стр. 143, 147

[5] Сз.-Надь и др. 2010 , стр. 87–88

[6] Сз.-Надь и др. 2010 , с. 138

[7] Сз.-Надь и др. 2010 , стр. 395–440

[8] Сз.-Надь и др. 2010 , с. 126

[9] Берковичи 1988 , стр. 95.

[10] Берковичи 1988 , стр. 35–66.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

v т и гильбертовые пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F