Теорема Хилле – Йосиды

В функциональном анализе теорема Хилле –Йосиды характеризует генераторы сильно непрерывных однопараметрических полугрупп линейных операторов в банаховых пространствах . Иногда это формулируется для частного случая сжимающих полугрупп , при этом общий случай называется теоремой Феллера-Миядеры-Филлипса (в честь Уильяма Феллера , Исао Миядеры и Ральфа Филлипса). Случай сжимающей полугруппы широко используется в теории марковских процессов . В других сценариях тесно связанная с ней теорема Люмера-Филлипса часто оказывается более полезной для определения того, порождает ли данный оператор сильно непрерывную сжимающую полугруппу . Теорема названа в честь математиков Эйнара Хилле и Косаку Ёсиды, которые независимо открыли этот результат примерно в 1948 году.

Формальные определения [ править ]

Если X — банахово пространство, однопараметрическая полугруппа операторов на X — это семейство операторов, индексированных неотрицательными действительными числами.{ T ( t )} _{t ∈ [0, ∞)} такой, что

$T(0)=I\quad$
$T(s+t)=T(s)\circ T(t),\quad \forall t,s\geq 0.$

Полугруппа называется сильно непрерывной , называемой также полугруппой ( C0 ₎ , тогда и только тогда, когда отображение

t\mapsto T(t)x

непрерывен для всех x ∈ X , где [0, ∞) имеет обычную топологию, а X имеет нормальную топологию.

Инфинитезимальный генератор однопараметрической полугруппы T — это оператор A, определенный на возможно собственном подпространстве X следующим образом:

Область определения A — это множество x ∈ X такое, что

h^{-1}{\bigg (}T(h)x-x{\bigg )}

имеет предел, когда h приближается к 0 справа.

Значение Ax является значением вышеуказанного предела. Другими словами, Ax является правой производной в точке 0 функции

t\mapsto T(t)x.

Инфинитезимальный генератор сильно непрерывной однопараметрической полугруппы — это замкнутый линейный оператор, на плотном линейном подпространстве X определенный .

Теорема Хилле–Йосиды дает необходимое и достаточное условие того, что замкнутый линейный оператор A в банаховом пространстве является инфинитезимальным генератором сильно непрерывной однопараметрической полугруппы.

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть A — линейный оператор, определенный в линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X , ω — действительное число и M > 0. Тогда A порождает сильно непрерывную полугруппу T , которая удовлетворяет условию $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{\omega t}$ тогда и только тогда, когда ^[1]

A замкнуто и D ( A ) плотно в X ,
каждое действительное λ > ω принадлежит резольвентному множеству A , для такого λ и для всех натуральных чисел n и

\|(\lambda I-A)^{-n}\|\leq {\frac {M}{(\lambda -\omega )^{n}}}.

Теорема Хилле-Йосиды для сжимающих полугрупп [ править ]

В общем случае теорема Хилле–Иосиды имеет преимущественно теоретическое значение, поскольку оценки степеней резольвентного оператора , фигурирующие в формулировке теоремы, обычно не поддаются проверке на конкретных примерах. В частном случае сжимающих полугрупп ( M = 1 и ω только случай n = 0 в приведенной выше теореме) необходимо проверять = 1, и теорема также приобретает некоторую практическую важность. Явное утверждение теоремы Хилле – Йосиды для сжимающих полугрупп таково:

Пусть A — линейный оператор, определенный на линейном подпространстве ( A ) банахова пространства X. D Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда ^[2]

A замкнуто и D ( A ) плотно в X ,
каждое действительное λ > 0 принадлежит резольвентному множеству A и для λ такого

\|(\lambda I-A)^{-1}\|\leq {\frac {1}{\lambda }}.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Теорема Энгеля и Нагеля II.3.8, Арендт и др. Теорема 3.3.4, Теорема Стаффана 3.4.1.
^ Теорема Энгеля и Нагеля II.3.5, Арендт и др. Следствие 3.3.5, Следствие Стаффанса 3.4.5.

Ссылки [ править ]

Рисс, Ф .; Ш.-Надь, Б. (1995), Функциональный анализ. Перепечатка оригинала 1955 года , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, ISBN 0-486-66289-6
Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Фурье-анализ, самосопряженность. , Академическое издательство, ISBN 0-12-585050-6
Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений , Springer, ISBN 0-387-98463-1
Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Биркхаузер, ISBN 0-8176-6549-8
Стаффанс, Олоф (2005), Корректные линейные системы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82584-9
Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения , том. II (второе изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-25709-5
Врабие, Иоан И. (2003), C ₀ -полугруппы и приложения , Математические исследования Северной Голландии, том. 191, Амстердам: Издательство Северной Голландии, ISBN. 0-444-51288-8

[1] Теорема Энгеля и Нагеля II.3.8, Арендт и др. Теорема 3.3.4, Теорема Стаффана 3.4.1.

[2] Теорема Энгеля и Нагеля II.3.5, Арендт и др. Следствие 3.3.5, Следствие Стаффанса 3.4.5.

[1]

[2]