Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах

В математике . теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах является основной теоремой функционального анализа , которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ и однопараметрические семейства

$(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$

унитарных операторов , которые сильно непрерывны , т. е.

$\forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ),$

и являются гомоморфизмами, т. е.

$\forall s,t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t+s}=U_{t}U_{s}.$

Такие однопараметрические семейства обычно называют сильно непрерывными однопараметрическими унитарными группами .

Теорема была доказана Маршаллом Стоуном ( 1930 , 1932 ), а Джон фон Нейман ( 1932 ) показал, что требование, $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ быть сильно непрерывным, можно ослабить, сказав, что оно просто слабо измеримо , по крайней мере, когда гильбертово пространство сепарабельно .

он позволяет определить производную отображения Это впечатляющий результат, поскольку $t\mapsto U_{t},$ который только должен быть непрерывным . Это также связано с теорией групп Ли и алгебр Ли .

Официальное заявление

Формулировка теоремы следующая.

Теорема. Позволять $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа. Тогда существует единственный (возможно, неограниченный) оператор $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$, то есть самосопряженный на ${\mathcal {D}}_{A}$ и такое, что

$\forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.$

Домен $A$ определяется

${\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.$

И наоборот, пусть $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ быть (возможно, неограниченным) самосопряженным оператором на ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}.$ Тогда однопараметрическое семейство $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ унитарных операторов, определяемых формулой

$\forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}:=e^{itA}$

является сильно непрерывной однопараметрической группой.

В обеих частях теоремы выражение $e^{itA}$ определяется с помощью функционального исчисления , использующего спектральную теорему для неограниченных самосопряженных операторов .

Оператор $A$ называется генератором бесконечно малым $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.$ Более того, $A$ будет ограниченным оператором тогда и только тогда, когда операторно-значное отображение $t\mapsto U_{t}$ является нормо -непрерывным.

Бесконечно малый генератор $A$ сильно непрерывной унитарной группы $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ может быть вычислено как

$A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},$

с доменом $A$ состоящий из этих векторов $\psi$ для которого предел существует в топологии нормы. То есть, $A$ равно $-i$ умножить производную $U_{t}$ относительно $t$ в $t=0$. Частью утверждения теоремы является то, что эта производная существует, т. е. что $A$ — плотно определенный самосопряженный оператор. Результат не очевиден даже в конечномерном случае, поскольку $U_{t}$ только предполагается (заранее) непрерывным и не дифференцируемым.

Пример

Семья операторов-переводчиков

$\left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)$

– однопараметрическая унитарная группа унитарных операторов; инфинитезимальный генератор этого семейства является расширением дифференциального оператора

$-i{\frac {d}{dx}}$

определенное в пространстве непрерывно дифференцируемых комплексных функций с компактным носителем на $\mathbb {R} .$ Таким образом

$T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.$

Другими словами, движение на прямой генерируется оператором импульса .

Приложения

Теорема Стоуна имеет множество приложений в квантовой механике . Например, для изолированной квантово-механической системы с гильбертовым пространством состояний H временная эволюция представляет собой сильно непрерывную однопараметрическую унитарную группу на ${\mathcal {H}}$. Инфинитезимальным генератором этой группы является гамильтониан системы .

Дополнительная информация: теорема Стоуна – фон Неймана и группа Гейзенберга.

Использование преобразования Фурье

Теорему Стоуна можно переформулировать, используя язык преобразования Фурье . Настоящая линия $\mathbb {R}$ является локально компактной абелевой группой. Невырожденные *-представления группы C*-алгебры $C^{*}(\mathbb {R} )$ находятся во взаимно однозначном соответствии с сильно непрерывными унитарными представлениями $\mathbb {R} ,$ т. е. сильно непрерывные однопараметрические унитарные группы. С другой стороны, преобразование Фурье является *-изоморфизмом из $C^{*}(\mathbb {R} )$ к $C_{0}(\mathbb {R} ),$ тот $C^{*}$-алгебра непрерывных комплекснозначных функций на прямой, исчезающих на бесконечности. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между сильно непрерывными однопараметрическими унитарными группами и *-представлениями групп. $C_{0}(\mathbb {R} ).$ Поскольку каждое *-представление $C_{0}(\mathbb {R} )$ однозначно соответствует самосопряженному оператору, справедлива теорема Стоуна.

Поэтому процедура получения инфинитезимального генератора сильно непрерывной однопараметрической унитарной группы следующая:

• Позволять $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ будет сильно непрерывным унитарным представлением $\mathbb {R}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$.
• Интегрируйте это унитарное представление, чтобы получить невырожденное *-представление. $\rho$ из $C^{*}(\mathbb {R} )$ на ${\mathcal {H}}$ сначала определив $$\forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)~U_{t}dt,$$ а затем расширяя $\rho$ всем $C^{*}(\mathbb {R} )$ по непрерывности.
• Используйте преобразование Фурье, чтобы получить невырожденное *-представление. $\tau$ из $C_{0}(\mathbb {R} )$ на ${\mathcal {H}}$.
• По теореме Рисса-Маркова , $\tau$ приводит к появлению проекционной меры по $\mathbb {R}$ это разрешение тождества уникального самосопряженного оператора $A$, который может быть неограниченным.
• Затем $A$ является бесконечно малым генератором $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.$

Точное определение $C^{*}(\mathbb {R} )$ заключается в следующем. Рассмотрим *-алгебру $C_{c}(\mathbb {R} ),$ непрерывные комплексные функции на $\mathbb {R}$ с компактным носителем, где умножение задается сверткой . Пополнение этой *-алгебры относительно $L^{1}$-норма — банахова *-алгебра, обозначаемая $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star ).$ Затем $C^{*}(\mathbb {R} )$ определяется как охватывающий $C^{*}$-алгебра ​ $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$, т. е. его пополнение относительно максимально возможного $C^{*}$-норм. Нетривиальным фактом является то, что с помощью преобразования Фурье $C^{*}(\mathbb {R} )$ изоморфен $C_{0}(\mathbb {R} ).$ Результатом в этом направлении является лемма Римана-Лебега , которая гласит, что преобразования Фурье отображают $L^{1}(\mathbb {R} )$ к $C_{0}(\mathbb {R} ).$

Обобщения

Теорема Стоуна – фон Неймана обобщает теорему Стоуна на пару самосопряженных операторов: $(P,Q)$, удовлетворяющий каноническому коммутационному соотношению , и показывает, что все они унитарно эквивалентны оператору положения и оператору импульса на $L^{2}(\mathbb {R} ).$

Теорема Хилле-Йосиды обобщает теорему Стоуна на сильно непрерывные однопараметрические полугруппы сжатий в банаховых пространствах .

Библиография

• Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN  978-1461471158
• фон Нейман, Джон (1932), «К теореме г-на М. Х. Стоуна», Annals of Mathematics , вторая серия (на немецком языке), 33 (3), Annals of Mathematics: 567–573, doi : 10.2307/1968535 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1968535
• Стоун, М.Х. (1930), «Линейные преобразования в гильбертовом пространстве. III. Операционные методы и теория групп», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 16 (2), Национальная академия наук: 172–175. , Бибкод : 1930PNAS...16..172S , doi : 10.1073/pnas.16.2.172 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   85485 , PMC   1075964 , PMID   16587545
• Стоун, М.Х. (1932), «Об однопараметрических унитарных группах в гильбертовом пространстве», Annals of Mathematics , 33 (3): 643–648, doi : 10.2307/1968538 , JSTOR   1968538
• К. Йосида, Функциональный анализ , Springer-Verlag, (1968)