Теорема Стоуна – фон Неймана

В математике и теоретической физике теорема Стоуна -фон Неймана относится к любой из множества различных формулировок уникальности канонических коммутационных отношений между положения и импульса операторами . Он назван в честь Маршалла Стоуна и Джона фон Неймана .

Проблемы представления коммутационных отношений

В квантовой механике физические наблюдаемые математически представляются линейными операторами в гильбертовых пространствах .

Для одной частицы, движущейся по действительной прямой $\mathbb {R}$, есть две важные наблюдаемые величины: положение и импульс . В квантовом описании такой частицы в представлении Шредингера оператор положения x и оператор импульса $p$ соответственно даны $${\begin{aligned}[][x\psi ](x_{0})&=x_{0}\psi (x_{0})\\[][p\psi ](x_{0})&=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x_{0})\end{aligned}}$$ в домене $V$ бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на $\mathbb {R}$. Предполагать $\hbar$ быть фиксированным ненулевым действительным числом - в квантовой теории $\hbar$ — приведенная постоянная Планка , которая переносит единицы действия (энергию , умноженную на время).

Операторы $x$, $p$ удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению алгебры Ли, $$[x,p]=xp-px=i\hbar .$$

Уже в своей классической книге Герман Вейль заметил, что этому закону коммутации невозможно удовлетворить для линейных операторов p , x, действующих в конечномерных пространствах, если ħ не обращается в нуль. Это становится очевидным, если проследить обе части последнего уравнения и использовать соотношение Trace( AB ) = Trace( BA ) ; левая часть равна нулю, правая часть не равна нулю. Дальнейший анализ показывает, что любые два самосопряженных оператора, удовлетворяющие указанному выше коммутационному соотношению, не могут быть одновременно ограниченными (фактически, теорема Виланда показывает, что этому отношению не могут удовлетворять элементы любой нормированной алгебры ). Для удобства обозначений ненулевой квадратный корень из ℏ может быть включен в нормализацию p и x , так что фактически он заменяется на 1. В дальнейшем мы предполагаем эту нормализацию.

Идея теоремы Стоуна–фон Неймана состоит в том, что любые два неприводимых представления канонических коммутационных соотношений унитарно эквивалентны. Однако поскольку задействованные операторы обязательно неограничены (как отмечалось выше), возникают сложные проблемы предметной области, которые допускают контрпримеры. Для получения строгого результата необходимо потребовать, чтобы операторы удовлетворяли возведенной в степень форме канонических коммутационных соотношений, известных как соотношения Вейля. Возведенные в степень операторы ограничены и унитарны. Хотя, как будет отмечено ниже, эти отношения формально эквивалентны стандартным каноническим коммутационным отношениям, эта эквивалентность не является строгой из-за (опять же) неограниченной природы операторов. (Существует также дискретный аналог соотношений Вейля, который может выполняться в конечномерном пространстве: а именно и часы Сильвестра матрицы сдвига в конечной группе Гейзенберга, обсуждаемые ниже.)

Уникальность представления

Хотелось бы классифицировать представления канонического коммутационного отношения двумя самосопряженными операторами, действующими в сепарабельных гильбертовых пространствах, с точностью до унитарной эквивалентности . По теореме Стоуна существует взаимно однозначное соответствие между самосопряженными операторами и (сильно непрерывными) однопараметрическими унитарными группами.

Пусть Q и P — два самосопряженных оператора, удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению, [ Q , P ] = i , а s и t — два вещественных параметра. Представьте е ^этоQ и е ^isP , соответствующие унитарные группы, заданные функциональным исчислением . (Для явных операторов x и p , определенных выше, это умножение на e ^ИТХ и возврат путем перевода x → x + s .) Формальное вычисление (используя частный случай формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа ) легко дает $$e^{itQ}e^{isP}=e^{-ist}e^{isP}e^{itQ}.$$

Обратно, учитывая две однопараметрические унитарные группы U ( t ) и V ( s ), удовлетворяющие соотношению сплетения

$U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ ( Е1 )

формальное дифференцирование в точке 0 показывает, что два бесконечно малых генератора удовлетворяют вышеуказанному каноническому коммутационному соотношению. Эта косая формулировка канонических коммутационных соотношений (CCR) для однопараметрических унитарных групп называется формой Вейля CCR .

Важно отметить, что предыдущий вывод носит чисто формальный характер. Поскольку задействованные операторы неограничены, технические проблемы не позволяют применить формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа без дополнительных предположений о предметной области. Действительно, существуют операторы, удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению, но не удовлетворяющие соотношениям Вейля ( E1 ). Тем не менее, в «хороших» случаях мы ожидаем, что операторы, удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению, будут также удовлетворять соотношениям Вейля.

Таким образом, проблема сводится к классификации двух совместно неприводимых однопараметрических унитарных групп U ( t ) и V ( s ), которые удовлетворяют соотношению Вейля в сепарабельных гильбертовых пространствах. Ответом является содержание теоремы Стоуна-фон Неймана : все такие пары однопараметрических унитарных групп унитарно эквивалентны . Другими словами, для любых двух таких U ( t ) и V ( s ), действующих совместно неприводимо на гильбертовом пространстве H , существует унитарный оператор W : L ² ( R ) → H так, что $$W^{*}U(t)W=e^{itx}\quad {\text{and}}\quad W^{*}V(s)W=e^{isp},$$ где p и x — явные операторы положения и импульса, использованные ранее. Когда W в этом уравнении равно U , то в x -представлении очевидно, что P унитарно эквивалентно e ^{− этоQ}  П   е ^этоQ = P + t , и спектр P должен располагаться вдоль всей вещественной линии. Аналоговый аргумент верен для Q .

Существует также прямое распространение теоремы Стоуна – фон Неймана на n степеней свободы. Исторически этот результат был значимым, поскольку он был ключевым шагом в доказательстве того, что , Гейзенберга матричная механика которая представляет квантовомеханические наблюдаемые и динамику в терминах бесконечных матриц, унитарно эквивалентна рисунок волновой механической формулировке Шредингера (см. Шрёдингера ). , $$[U(t)\psi ](x)=e^{itx}\psi (x),\qquad [V(s)\psi ](x)=\psi (x+s).$$

См. Также: Обобщения матриц Паули § Конструкция: матрицы часов и сдвига.

Формулировка теории представлений

С точки зрения теории представлений теорема Стоуна-фон Неймана классифицирует некоторые унитарные представления группы Гейзенберга . Более подробно это обсуждается в разделе о группах Гейзенберга ниже.

Неформально говоря, с некоторыми техническими предположениями, каждое представление группы Гейзенберга H _{2 n + 1} эквивалентно операторам положения и операторам импульса на R. ^н . Альтернативно, все они эквивалентны алгебре Вейля (или алгебре CCR ) в симплектическом пространстве размерности 2 n .

Более формально, существует единственное (в пределах масштаба) нетривиальное центральное сильно непрерывное унитарное представление.

Позже это было обобщено теорией Макки и стало мотивацией для введения группы Гейзенберга в квантовую физику.

Подробно:

• Непрерывная группа Гейзенберга является центральным расширением абелевой группы Ли R ^22н копией R ,
• соответствующая алгебра Гейзенберга является центральным расширением абелевой алгебры Ли R ^22н (с тривиальной скобкой ) копией R ,
• дискретная группа Гейзенберга является центральным расширением свободной абелевой группы Z ^22н копией Z и
• дискретная группа Гейзенберга по модулю p является центральным расширением свободной абелевой p -группы ( Z / p Z ) ^22н копии Z / p Z. по

Во всех случаях, если имеется представление H _{2 n + 1} → A , где A — алгебра и центр отображается в ноль, тогда просто имеется представление соответствующей абелевой группы или алгебры, которое является теорией Фурье .

Если центр не отображается в ноль, теория становится более интересной, особенно если ограничиться центральными представлениями.

Конкретно, под центральным представлением понимают представление такое, что центр группы Гейзенберга отображается в центр алгебры : например, если изучаются матричные представления или представления операторами в гильбертовом пространстве, то центр матрицы алгебра или операторная алгебра — это скалярные матрицы . Таким образом, представление центра группы Гейзенберга определяется значением масштаба, называемым значением квантования (в терминах физики, постоянной Планка), и если оно стремится к нулю, мы получаем представление абелевой группы (в терминах физики). , это классический предел).

Более формально, групповая алгебра группы Гейзенберга над ее полем скаляров K , записанная K [ H ] , имеет центр K [ R ] , поэтому вместо того, чтобы просто думать о групповой алгебре как об алгебре над полем K , можно думать ее как алгебру над коммутативной алгеброй K [ R ] . Поскольку центром матричной алгебры или операторной алгебры являются скалярные матрицы, K [ R ] -структура матричной алгебры представляет собой выбор скалярной матрицы – выбор масштаба. При таком выборе масштаба центральное представление группы Гейзенберга представляет собой карту K [ R ] -алгебр K [ H ] → A , что является формальным способом сказать, что оно отправляет центр в выбранный масштаб.

Тогда теорема Стоуна-фон Неймана состоит в том, что при заданном стандартном квантовомеханическом масштабе (фактически, значении ħ) каждое сильно непрерывное унитарное представление унитарно эквивалентно стандартному представлению с положением и импульсом.

Переформулировка через преобразование Фурье

Пусть G — локально компактная абелева группа и G ^{^} — двойственный к G Понтрягину . Преобразование Фурье – Планшереля, определяемое формулой $$f\mapsto {\hat {f}}(\gamma )=\int _{G}{\overline {\gamma (t)}}f(t)d\mu (t)$$ продолжается до C*-изоморфизма из групповой C*-алгебры *( G ) группы G и C0 _C ( G ^{^} ) , т.е. спектр C *( G ) есть в точности G ^{^} . Когда G — действительная линия R , это теорема Стоуна, характеризующая однопараметрические унитарные группы. Теорему Стоуна-фон Неймана также можно переформулировать, используя аналогичный язык.

Группа G действует на C *-алгебре ( _C0 G ) правым сдвигом ρ для s в G и f в C0 _G ( ) , : $$(s\cdot f)(t)=f(t+s).$$

При приведенном выше изоморфизме это действие становится естественным действием G на C*( G ^{^} ) : $${\widehat {(s\cdot f)}}(\gamma )=\gamma (s){\hat {f}}(\gamma ).$$

Таким образом, ковариантное представление, соответствующее C * скрещенному произведению $$C^{*}\left({\hat {G}}\right)\rtimes _{\hat {\rho }}G$$ является унитарным представлением U ( s ) группы G и V ( γ ) группы G ^{^} такой, что $$U(s)V(\gamma )U^{*}(s)=\gamma (s)V(\gamma ).$$

Общеизвестно, что ковариантные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с *-представлением соответствующего скрещенного произведения. С другой стороны, все неприводимые представления $$C_{0}(G)\rtimes _{\rho }G$$ унитарно эквивалентны ${\mathcal {K}}\left(L^{2}(G)\right)$, компактные операторы в L ² ( Г )) . Следовательно, все пары { U ( s ), V ( γ )} унитарно эквивалентны. Специализируясь на случае, когда G = R, получаем теорему Стоуна – фон Неймана.

Группа Гейзенберга

Вышеупомянутые канонические коммутационные соотношения для P , Q идентичны коммутационным соотношениям, которые определяют алгебру Ли общей группы Гейзенберга H _{2 n +1} для n - положительного целого числа. Это Ли группа квадратных матриц размера ( n + 2) × ( n + 2) вида $$\mathrm {M} (a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1_{n}&b\\0&0&1\end{bmatrix}}.$$

Фактически, используя группу Гейзенберга, можно переформулировать теорему Стоуна фон Неймана на языке теории представлений.

Заметим, что центр H _2n+1 состоит из матриц M(0, 0, c ) . Однако этот центр не является тождественным оператором в исходных CCR Гейзенберга. Генераторы алгебры Ли группы Гейзенберга, например, для n = 1 , являются $${\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},&Q&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}},&z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}$$ и центральный генератор z = log M (0, 0, 1) = exp( z ) − 1 не является тождественным.

Теорема . Для каждого ненулевого действительного числа h существует неприводимое представление U _h, действующее в гильбертовом пространстве L. ² ( Р ^н ) к $$\left[U_{h}(\mathrm {M} (a,b,c))\right]\psi (x)=e^{i(b\cdot x+hc)}\psi (x+ha).$$

Все эти представления унитарно неэквивалентны ; и любое неприводимое представление, нетривиальное в центре Hn _, унитарно эквивалентно ровно одному из них.

Обратите внимание, что U _h является унитарным оператором, поскольку он представляет собой композицию двух операторов, которые, как легко видеть, унитарные: сдвиг влево на ha и умножение на функцию с абсолютным значением 1. Показать, что U _h мультипликативен, - это простая задача. расчет. Самая сложная часть теоремы — показать уникальность; тем не менее это утверждение легко следует из сформулированной выше теоремы Стоуна – фон Неймана. Ниже мы набросаем доказательство соответствующей теоремы Стоуна–фон Неймана для некоторых конечных групп Гейзенберга.

В частности, неприводимые представления π , π′ группы Гейзенберга Hn _, нетривиальные в центре Hn _, унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда π ( z ) = π′ ( z ) для любого z в центре группы Hn. Х _н .

Одним из представлений группы Гейзенберга, которое важно в теории чисел и теории модулярных форм , является тэта-представление , названное так потому, что тэта-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга.

Связь с преобразованием Фурье

Для любого ненулевого h отображение $$\alpha _{h}:\mathrm {M} (a,b,c)\to \mathrm {M} \left(-h^{-1}b,ha,c-a\cdot b\right)$$ является автоморфизмом H , _n который является тождеством в центре H _n . В частности, представления U _h и U _h α унитарно эквивалентны. Это означает, что существует унитарный оператор W на L ² ( Р ^н ) такой, что для g из H _n любого $$WU_{h}(g)W^{*}=U_{h}\alpha (g).$$

Более того, в силу неприводимости представлений Uh _лемму следует, что с точностью до скаляра такой оператор W единственен (см. Шура ). Поскольку W унитарен, этот скалярный кратный определен однозначно и, следовательно, такой оператор W уникален.

Теорема . Оператор W является преобразованием Фурье на L ² ( Р ^н ) .

Это означает, что, пренебрегая множителем (2 π ) ^{н /2} в определении преобразования Фурье, $$\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-ix\cdot p}e^{i(b\cdot x+hc)}\psi (x+ha)\ dx=e^{i(ha\cdot p+h(c-b\cdot a))}\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-iy\cdot (p-b)}\psi (y)\ dy.$$

Из этой теоремы следует, что преобразование Фурье является унитарным , что также известно как теорема Планшереля . Более того, $$(\alpha _{h})^{2}\mathrm {M} (a,b,c)=\mathrm {M} (-a,-b,c).$$

Теорема . Оператор W ₁ такой, что $$W_{1}U_{h}W_{1}^{*}=U_{h}\alpha ^{2}(g)$$ это оператор отражения $$[W_{1}\psi ](x)=\psi (-x).$$

Из этого факта легко следует формула обращения Фурье .

Пример: пространство Сигала – Баргмана.

Пространство Сигала–Баргмана — это пространство голоморфных функций на C ^н интегрируемые с квадратом относительно гауссовой меры. Фок заметил в 1920-х годах, что операторы $$a_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}},\qquad a_{j}^{*}=z_{j},$$ действующие на голоморфные функции, удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и обычные операторы уничтожения и рождения, а именно: $$\left[a_{j},a_{k}^{*}\right]=\delta _{j,k}.$$

В 1961 году Баргманн показал, что ^∗
_j на самом деле является сопряженным к по _j отношению к скалярному продукту, полученному из гауссовой меры. Взяв подходящие линейные комбинации a _j и a ^∗
_j , тогда можно получить операторы «положения» и «импульса», удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Нетрудно показать, что экспоненты этих операторов удовлетворяют соотношениям Вейля и что возведенные в степень операторы действуют неприводимо. Таким образом, применима теорема Стоуна – фон Неймана, из которой следует существование унитарного отображения из L ² ( Р ^н ) к пространству Сигала–Баргмана, переплетающему обычные операторы уничтожения и рождения с операторами a _j и a ^∗
_Дж . Это унитарное отображение представляет собой преобразование Сигала – Баргмана .

Представления конечных групп Гейзенберга

Группа Гейзенберга Hn ₍ ) K коммутативного определена для любого K. кольца В этом разделе давайте сосредоточимся на поле K = Z / p Z для p простого числа. Это поле обладает тем свойством, что существует вложение ω группы K как аддитивной группы в группу окружностей T . Заметим, что H _n ( K ) конечна с мощностью | К | ^{2н 1 +} . Для конечной группы Гейзенберга H _n ( K ) можно дать простое доказательство теоремы Стоуна – фон Неймана, используя простые свойства характер-функций представлений. Эти свойства следуют из соотношений ортогональности характеров представлений конечных групп.

Для любого ненулевого h в K определим представление U _h в конечномерном пространстве внутреннего произведения ℓ ² ( К ^н ) к $$\left[U_{h}\mathrm {M} (a,b,c)\psi \right](x)=\omega (b\cdot x+hc)\psi (x+ha).$$

Теорема . ненулевого h характер-функция χ U h _{Для фиксированного} определяется следующим образом: $$\chi (\mathrm {M} (a,b,c))={\begin{cases}|K|^{n}\,\omega (hc)&{\text{if }}a=b=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Отсюда следует, что $${\frac {1}{\left|H_{n}(\mathbf {K} )\right|}}\sum _{g\in H_{n}(K)}|\chi (g)|^{2}={\frac {1}{|K|^{2n+1}}}|K|^{2n}|K|=1.$$

Из соотношений ортогональности характеров представлений конечных групп из этого факта вытекает соответствующая теорема Стоуна–фон Неймана для групп Гейзенберга H _n ( Z / p Z ) , в частности:

• Неприводимость U _h
• Попарная неэквивалентность всех представлений U _h .

Действительно, именно таким образом возникают все неприводимые представления Hn _K ( ) , на которых центр действует нетривиально.

Обобщения

Теорема Стоуна–фон Неймана допускает множество обобщений. Большая часть ранних работ Джорджа Макки была направлена ​​на получение формулировки теории индуцированных представлений, первоначально разработанной Фробениусом для конечных групп, в контексте унитарных представлений локально компактных топологических групп.

См. также

• Представление осциллятора
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Алгебры CCR и CAR (для бозонов и фермионов соответственно)
• Пространство Сигала – Баргмана
• Мойал продукт
• алгебра Вейля
• Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах
• Теорема Хилле – Йосиды
• C0-полугруппа

Ссылки

• Кириллов А.А. (1976), Элементы теории представлений , Основы математических наук, вып. 220, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-07476-4 , МР   0407202
• Розенберг, Джонатан (2004) «Выборочная история теоремы Стоуна – фон Неймана» Современная математика 365 . Американское математическое общество.
• Саммерс, Стивен Дж. (2001). «О теореме единственности Стоуна-фон Неймана и ее разветвлениях». В книге «Джон фон Нейман и основы квантовой физики» , стр. 135–152. Спрингер, Дордрехт, 2001, онлайн .