Алгебры CCR и CAR

В математике и физике алгебры CCR (после канонических коммутационных соотношений ) и CAR-алгебры (после канонических антикоммутационных соотношений) возникают в результате квантовомеханического исследования бозонов и фермионов соответственно. Они играют заметную роль в квантовой статистической механике. ^[1] и квантовая теория поля .

CCR и CAR как *-алгебры

Позволять $V$ быть вещественным векторным пространством, снабженным неособой вещественной антисимметричной билинейной формой. $(\cdot ,\cdot )$ (т.е. симплектическое векторное пространство ). Единичная порожденная *-алгебра, элементами $V$ в зависимости от отношений

fg-gf=i(f,g)\,

f^{*}=f,\,

для любого $f,~g$ в $V$ называется алгеброй канонических коммутационных отношений (CCR) . Единственность представлений этой алгебры при $V$ конечномерна , обсуждается в теореме Стоуна – фон Неймана .

Если $V$ имеет неособую вещественную симметричную билинейную форму $(\cdot ,\cdot )$ вместо этого единая *-алгебра, порожденная элементами $V$ в зависимости от отношений

fg+gf=(f,g),\,

f^{*}=f,\,

для любого $f,~g$ в $V$ называется алгеброй канонических антикоммутационных отношений (КАР) .

C*-алгебра CCR

Существует отдельное, но тесно связанное с ним значение алгебры CCR, называемое CCR C*-алгеброй. Позволять $H$ быть вещественным симплектическим векторным пространством с неособой симплектической формой $(\cdot ,\cdot )$ . В теории операторных алгебр алгебра CCR над $H$ — единичная C*-алгебра, порожденная элементами $\{W(f):~f\in H\}$ при условии

W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,

W(f)^{*}=W(-f).\,

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждое $W(f)$ является унитарным и $W(0)=1$ . Хорошо известно, что алгебра CCR является простой (если симплетическая форма не вырождена) несепарабельной алгеброй и единственна с точностью до изоморфизма. ^[2]

Когда $H$ является комплексным гильбертовым пространством и $(\cdot ,\cdot )$ задается мнимой частью скалярного произведения, алгебра CCR точно представлена в симметричном пространстве Фока над $H$ установив

W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),

для любого $f,g\in H$ . Полевые операторы $B(f)$ определены для каждого $f\in H$ как генератор однопараметрической унитарной группы $(W(tf))_{t\in \mathbb {R} }$ на симметричном пространстве Фока. Это самосопряженные неограниченные операторы , однако формально они удовлетворяют

B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .

В качестве задания $f\mapsto B(f)$ является вещественно-линейным, поэтому операторы $B(f)$ определить CCR-алгебру над $(H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )$ в смысле Раздела 1 .

C*-алгебра CAR

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством. В теории операторных алгебр CAR-алгебра — это единственное C*-пополнение комплексной единичной *-алгебры, порожденной элементами $\{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}$ в зависимости от отношений

b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,

b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,

\lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,

b(f)^{*}=b^{*}(f),\,

для любого $f,g\in H$ , $\lambda \in \mathbb {C}$ .Когда $H$ сепарабельна, алгебра CAR является алгеброй AF и в частном случае $H$ бесконечномерен, его часто записывают как ${M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}$ . ^[3]

Позволять $F_{a}(H)$ — антисимметричное пространство Фока над $H$ и пусть $P_{a}$ — ортогональная проекция на антисимметричные векторы:

P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,

Алгебра CAR точно представлена на $F_{a}(H)$ установив

b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,

для всех $f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H$ и $n\in \mathbb {N}$ . Тот факт, что они образуют C*-алгебру, обусловлен тем, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются настоящими ограниченными операторами . Более того, полевые операторы $B(f):=b^{*}(f)+b(f)$ удовлетворить

B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,

давая связь с Разделом 1 .

Обобщение супералгебры

Позволять $V$ быть настоящим $\mathbb {Z} _{2}$ - градуированное векторное пространство, снабженное неособой антисимметричной билинейной суперформой. $(\cdot ,\cdot )$ (т.е. $(g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)$ ) такой, что $(f,g)$ реально, если либо $f$ или $g$ является четным элементом и мнимым, если оба они нечетны. Единичная *-алгебра, порожденная элементами $V$ в зависимости от отношений

fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,

f^{*}=f,~g^{*}=g\,

для любых двух чистых элементов $f,~g$ в $V$ - это очевидное обобщение супералгебры , которое объединяет CCR с CAR: если все чистые элементы четные, получается CCR, а если все чистые элементы нечетные, получается CAR.

В математике абстрактная структура алгебр CCR и CAR над любым полем, а не только над комплексными числами, изучается под названием алгебр Вейля и Клиффорда , где получено много важных результатов. Одним из них является то, что градуированные обобщения алгебр Вейля и Клиффорда позволяют безбазисную формулировку канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений в терминах симплектической и симметричной невырожденной билинейной формы. Кроме того, бинарные элементы в этой градуированной алгебре Вейля дают безбазисную версию коммутационных соотношений симплектических и неопределенных ортогональных алгебр Ли . ^[4]

См. также

Ссылки

^ Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1997). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: т.2 . Спрингер, 2-е изд. ISBN 978-3-540-61443-2 .
^ Петц, Денес (1990). Приглашение к алгебре канонических коммутационных соотношений . Издательство Левенского университета. ISBN 978-90-6186-360-1 .
^ Эванс, Дэвид Э .; Кавахигаси, Ясуюки (1998). Квантовые симметрии в операторных алгебрах . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-851175-5 . .
^ Роджер Хоу (1989). «Замечания о классической теории инвариантов» . Труды Американского математического общества . 313 (2): 539–570. doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR 2001418 .

[1] Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1997). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: т.2 . Спрингер, 2-е изд. ISBN 978-3-540-61443-2 .

[2] Петц, Денес (1990). Приглашение к алгебре канонических коммутационных соотношений . Издательство Левенского университета. ISBN 978-90-6186-360-1 .

[3] Эванс, Дэвид Э .; Кавахигаси, Ясуюки (1998). Квантовые симметрии в операторных алгебрах . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-851175-5 . .

[4] Роджер Хоу (1989). «Замечания о классической теории инвариантов» . Труды Американского математического общества . 313 (2): 539–570. doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR 2001418 .

[1]

[2]

[3]

[4]