Алгебра Клиффорда

Эта статья об ортогональной алгебре Клиффорда. Для симплектической алгебры Клиффорда см. алгебру Вейля .

В математике алгебра Клиффорда — алгебра, порожденная векторным пространством квадратичной формы , и с единицей ассоциативная алгебра с дополнительной структурой выделенного подпространства. Как K -алгебры , они обобщают действительные числа , комплексные числа , кватернионы и некоторые другие гиперкомплексные системы счисления. Теория алгебр Клиффорда тесно связана с теорией квадратичных форм и ортогональных преобразований . Алгебры Клиффорда имеют важные приложения в различных областях, включая геометрию , теоретическую физику и цифровую обработку изображений . Они названы в честь английского математика Уильяма Кингдона Клиффорда (1845–1879).

Наиболее известные алгебры Клиффорда, ортогональные алгебры Клиффорда , также называются ( псевдо ) римановыми алгебрами Клиффорда , в отличие от симплектических алгебр Клиффорда .

Введение и основные свойства

Алгебра Клиффорда — это с единицей ассоциативная алгебра которая содержит и порождается векторным пространством V над полем K , где V снабжено квадратичной формой Q : V → K. , Алгебра Клиффорда Cl( V , Q ) является «самой свободной» унитарной ассоциативной алгеброй, порожденной V, подчиняющейся условию

$$v^{2}=Q(v)1\ {\text{ for all }}v\in V,$$

где произведение слева — это произведение алгебры, а 1 — ее мультипликативная единица . Идея быть «самой свободной» или «наиболее общей» алгеброй, подчиняющейся этому тождеству, может быть формально выражена через понятие универсального свойства , как это сделано ниже .

Когда V — конечномерное вещественное векторное пространство и , Cl Q невырождено ( V , Q ) может быть идентифицирован меткой Cl _{p , q} ( R ) , указывающей, что V имеет ортогональный базис с p элементами с e _i ² = +1 , q с e _i ² = −1 , и где R указывает, что это алгебра Клиффорда над действительными числами; т.е. коэффициенты элементов алгебры являются действительными числами. Этот базис можно найти путем ортогональной диагонализации .

порожденную Свободную алгебру, V , можно записать как тензорную алгебру ⨁ _{n ≥0} V ⊗ ⋯ ⊗ V , то есть прямую сумму тензорного произведения n копий V по всем n . Следовательно, алгебру Клиффорда можно получить как фактор этой тензорной алгебры по двустороннему идеалу , порожденному элементами вида v ⊗ v − Q ( v )1 для всех элементов v ∈ V . Произведение, индуцированное тензорным произведением в факторалгебре, записывается с использованием сопоставления (например, uv ). Его ассоциативность следует из ассоциативности тензорного произведения.

Алгебра Клиффорда имеет выделенное подпространство   V , являющееся образом отображения вложения . Такое подпространство, вообще говоря, не может быть определено однозначно, если только K -алгебра изоморфна алгебре Клиффорда.

Если 2 обратимо виде в основном поле K , то фундаментальное тождество, приведенное выше, можно переписать в

$$uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ for all }}u,v\in V,$$

где

$$\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)$$

— симметричная билинейная форма , связанная с Q через тождество поляризации .

Квадратичные формы и алгебры Клиффорда в характеристике 2 представляют в этом отношении исключительный случай. В частности, если char( K ) = 2, неверно, что квадратичная форма обязательно или однозначно определяет симметричную билинейную форму, которая удовлетворяет условиям Q ( v ) = ⟨ v , v ⟩ , Многие утверждения в этой статье включают условие, что характеристика не равна 2 , и являются ложными, если это условие удалено.

Как квантование внешней алгебры

Алгебры Клиффорда тесно связаны с внешними алгебрами . Действительно, если Q = 0 то алгебра Клиффорда Cl( V , Q ) — это просто внешняя алгебра ⋀ V. , Всякий раз, когда 2 обратимо в основном поле K , существует канонический линейный изоморфизм между ⋀ V и Cl( V , Q ) . То есть они естественно изоморфны как векторные пространства, но с разными умножениями (в случае характеристики два они все еще изоморфны как векторные пространства, но не естественным образом). Умножение Клиффорда вместе с выделенным подпространством строго богаче внешнего произведения , поскольку оно использует дополнительную информацию, предоставляемую Q .

Алгебра Клиффорда является фильтрованной алгеброй ; соответствующая градуированная алгебра является внешней алгеброй.

Точнее, алгебры Клиффорда можно рассматривать как квантования (ср. квантовую группу ) внешней алгебры, точно так же, как алгебра Вейля является квантованием симметричной алгебры .

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру *-алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебры , как обсуждалось в CCR и CAR-алгебрах .

Универсальная недвижимость и строительство

Пусть V — векторное пространство над полем   K , и пусть Q : V → K — форма на V. квадратичная В большинстве представляющих интерес случаев поле K является либо полем действительных чисел   R , либо полем комплексных чисел   C , либо конечным полем .

Алгебра Клиффорда Cl( V , Q ) — это пара ( A , i ) , где A — с единицей ассоциативная алгебра над K , а i — линейное отображение i : V → Cl( V , Q ) , которое удовлетворяет i ( v ) ² = Q ( v )1 для всех v в V , определенный следующим универсальным свойством : дана любая ассоциативная алгебра с единицей A над K и любое линейное отображение j : V → A такое, что

$$j(v)^{2}=Q(v)1_{A}{\text{ for all }}v\in V$$

(где 1 _A обозначает мультипликативное тождество A ), существует единственный гомоморфизм алгебр f : Cl( V , Q ) → A такой, что следующая диаграмма коммутирует (т. е. такой, что f ∘ i = j ):

Квадратичная форма Q может быть заменена (не обязательно симметричной ) билинейная форма ⟨⋅,⋅⟩ , обладающая свойством ⟨ v , v ⟩ = Q ( v ), v ∈ V , и в этом случае эквивалентным требованием к j является

$$j(v)j(v)=\langle v,v\rangle 1_{A}\quad {\text{ for all }}v\in V.$$

Если характеристика поля не равна 2 , это может быть заменено эквивалентным требованием:

$$j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle )1_{A}\quad {\text{ for all }}v,w\in V,$$

где билинейная форма может быть дополнительно ограничена симметричностью без потери общности.

Алгебра Клиффорда, описанная выше, всегда существует и может быть построена следующим образом: начните с наиболее общей алгебры, содержащей V , а именно с тензорной алгебры T ( V ) , а затем обеспечьте фундаментальное тождество, взяв подходящее частное . В нашем случае мы хотим взять двусторонний идеал I _Q в T ( V ), порожденный всеми элементами вида

$$v\otimes v-Q(v)1$$

для всех $v\in V$и определим Cl( V , Q ) как факторалгебру

$$\operatorname {Cl} (V,Q)=T(V)/I_{Q}.$$

Кольцевое произведение , унаследованное этим фактором, иногда называют произведением Клиффорда. чтобы отличить его от внешнего произведения и скалярного произведения.

Тогда несложно показать, что Cl( V , Q ) содержит V и удовлетворяет указанному выше универсальному свойству, так что Cl уникален с точностью до единственного изоморфизма; таким образом, говорят об «алгебре Клиффорда Cl( V , Q ) . Из этой конструкции также следует, i инъективно что . Обычно отбрасывают i и рассматривают V как линейное подпространство Cl ( V , Q ) .

Универсальная характеризация алгебры Клиффорда показывает, что конструкция Cl( V , Q ) носит функториальный характер. А именно, Cl можно рассматривать как функтор из категории векторных пространств с квадратичными формами ( морфизмы которых представляют собой линейные отображения, сохраняющие квадратичную форму) в категорию ассоциативных алгебр. Свойство универсальности гарантирует, что линейные отображения между векторными пространствами (сохраняющие квадратичную форму) однозначно распространяются на гомоморфизмы алгебр между ассоциированными алгебрами Клиффорда.

Основа и размерность

Поскольку V снабжен квадратичной формой Q отличной от 2 существуют базы для V. ортогональные , в характеристике , , Ортогональный базис — это такой базис, что для симметричной билинейной формы

$$\langle e_{i},e_{j}\rangle =0$$

для $i\neq j$, и

$$\langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i}).$$

Фундаментальное тождество Клиффорда означает, что для ортогонального базиса

$$e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}$$

для $i\neq j$, и

$$e_{i}^{2}=Q(e_{i}).$$

Это делает манипуляции с ортогональными базисными векторами довольно простыми. Учитывая продукт $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ различных можно привести их в стандартный порядок, включая общий знак , ортогональных базисных векторов V определяемый количеством парных замен, необходимых для этого (т. е. сигнатуру порядка перестановки ).

Если размерность V ( над K равна n и { e1 _K ,..., e _n } ортогональным базисом V , Q ) , то Cl( V , Q ) свободен над является с базисом

$$\{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\text{ and }}0\leq k\leq n\}.$$

Пустой продукт ( k = 0 ) определяется как мультипликативный единичный элемент . Для каждого значения k существует n выбора k базисных элементов, поэтому общая размерность алгебры Клиффорда равна

$$\dim \operatorname {Cl} (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}.$$

: действительные и комплексные

Наиболее важными алгебрами Клиффорда являются алгебры над вещественными и комплексными векторными пространствами, снабженными невырожденными квадратичными формами .

из алгебр Clp _{A , q} ( R ) и Cln _из ( C ) изоморфна A или A ⊕ A , где — полное матричное кольцо с элементами R , C или H. Каждая Полную классификацию этих алгебр см. в разделе «Классификация алгебр Клиффорда» .

Действительные числа

Основная статья: Геометрическая алгебра

Алгебры Клиффорда также иногда называют геометрическими алгебрами , чаще всего над действительными числами.

Каждая невырожденная квадратичная форма в конечномерном вещественном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме:

$$Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},$$

где n = p + q — размерность векторного пространства. Пара целых чисел ( p , q ) называется сигнатурой квадратичной формы. Действительное векторное пространство с этой квадратичной формой часто обозначается R ^{п , д} . Алгебра Клиффорда на R ^{п , д} обозначается Cl _{p , q} ( R ). Символ Cl _n ( R ) означает либо Cl _{n ,0} ( R ) , либо Cl _{0, n} ( R ) , в зависимости от того, предпочитает ли автор положительно определенные или отрицательно определенные пространства.

Стандартный базис { e ₁ ..., en _} R для , ^{п , д} состоит из n = p + q взаимно ортогональных векторов, p из которых квадрат к +1 и q из которых квадрат к −1 . Следовательно , из такого базиса алгебра Cl _{p , q} ( R ) будет иметь p векторов, которые возводятся в квадрат +1 , и q векторов, которые возводятся в квадрат -1 .

Вот несколько случаев низкой размерности:

• Cl _0,0 ( R ) естественно изоморфен R , поскольку не существует ненулевых векторов.
• Cl _0,1 ( R ) — двумерная алгебра, порожденная e ₁ , которая приводится в квадрат к −1 и алгебраически изоморфна C , полю комплексных чисел .
• Cl _0,2 ( R ) — четырехмерная алгебра, натянутая на {1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ } . Последние три элемента квадратичны к −1 и антикоммутируют, поэтому алгебра изоморфна кватернионам   H .
• Cl _0,3 ( R ) — 8-мерная алгебра, изоморфная прямой сумме H ⊕ H , расщепленным бикватернионам .

Комплексные числа

Можно также изучать алгебры Клиффорда на комплексных векторных пространствах. Любая невырожденная квадратичная форма в комплексном векторном пространстве размерности n эквивалентна стандартной диагональной форме

$$Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.$$

Таким образом, для каждой размерности n с точностью до изоморфизма существует только одна алгебра Клиффорда комплексного векторного пространства с невырожденной квадратичной формой. Обозначим алгебру Клиффорда на C ^н со стандартной квадратичной формой по Cl _n ( C ) .

Для первых нескольких случаев обнаруживается, что

• Cl ₀ ( C ) ≅ C , комплексные числа
• Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C , бикомплексные числа
• Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C ) , бикватернионы

где M _n ( C ) обозначает алгебру матриц размера n × n над C .

Примеры: построение кватернионов и двойных кватернионов

Кватернионы

Гамильтона В этом разделе кватернионы строятся как четная подалгебра алгебры Клиффорда Cl _3,0 ( R ) .

Пусть векторное пространство V — вещественное трехмерное пространство R ³ , а квадратичная форма — обычная квадратичная форма. Тогда для v , w в R ³ у нас есть билинейная форма (или скалярное произведение)

$$v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.$$

Теперь введем произведение Клиффорда векторов v и w, заданное формулой

$$vw+wv=2(v\cdot w).$$

Обозначим набор ортогональных единичных векторов R ³ как { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , то произведение Клиффорда дает соотношения

$$e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{1}e_{3}=-e_{3}e_{1},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},$$

и

$$e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=1.$$

Общий элемент алгебры Клиффорда Cl _3,0 ( R ) определяется выражением

$$A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{1}e_{3}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.$$

Линейная комбинация элементов четной степени из Cl _3,0 ( R ) определяет четную подалгебру Cl ^[0]
_3,0 ( R ) с общим элементом

$$q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{1}e_{3}+q_{3}e_{1}e_{2}.$$

Базисные элементы можно отождествить с базисными элементами кватернионов i , j , k как

$$i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2},$$

которое показывает, что четная подалгебра Cl ^[0]
_3,0 ( R ) Гамильтона — вещественная алгебра кватернионов .

Чтобы увидеть это, вычислите

$$i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,$$

и

$$ij=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.$$

Окончательно,

$$ijk=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.$$

Двойные кватернионы

В этом разделе двойственные кватернионы строятся как четная подалгебра алгебры Клиффорда вещественного четырехмерного пространства с вырожденной квадратичной формой.

Пусть векторное пространство V — вещественное четырехмерное пространство R ⁴ и пусть квадратичная форма Q — вырожденная форма, полученная из евклидовой метрики на R ³ . Для v , w в R ⁴ ввести вырожденную билинейную форму

$$d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.$$

Это вырожденное скалярное произведение проецирует измерения расстояний в R. ⁴ на R ³ гиперплоскость.

Произведение Клиффорда векторов v и w определяется выражением

$$vw+wv=-2\,d(v,w).$$

Обратите внимание, что отрицательный знак введен для упрощения соответствия с кватернионами.

Обозначим набор взаимно ортогональных единичных векторов R ⁴ как { e1 _{произведение Клиффорда} , e2 _дает , e3 _} , e4 _то , соотношения

$$e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,$$

и

$$e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.$$

Общий элемент алгебры Клиффорда Cl( R ⁴ , d ) имеет 16 компонент. Линейная комбинация элементов четной степени определяет четную подалгебру Cl ^[0] ( Р ⁴ , d ) с общим элементом

$$H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.$$

Базисные элементы можно отождествить с базисными элементами кватернионов i , j , k и двойственной единицей ε как

$$i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.$$

Это обеспечивает соответствие Cl ^[0]
_0,3,1 ( R ) с двойственной алгеброй кватернионов.

Чтобы увидеть это, вычислите

$$\varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,$$

и

$$\varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .$$

Замены знаков e ₁ и e ₄ чередуют знаки четное число раз и показывают, что двойственная единица ε коммутирует с базисными элементами кватернионов i , j , k .

Примеры: в маленьком размере

Пусть K — любое поле характеристики, отличной от 2 .

Измерение 1

Для dim V = 1 , если Q имеет диагонализацию Diag( a ) , то есть существует ненулевой вектор x такой, что Q ( x ) = a , то Cl( V , Q ) алгебра-изоморфен K -алгебре порожденный элементом x , который удовлетворяет x ² = a , квадратичная алгебра K [ X ] / ( X ² - а ) .

В частности, если a = 0 (т. е. Q нулевая квадратичная форма), то Cl( V , Q ) алгебра-изоморфна алгебре двойственных чисел над K. —

Если a — ненулевой квадрат в K , то Cl( V , Q ≃ K ⊕ K. )

В противном случае Cl( V , Q ) изоморфно расширению квадратичного поля K ( √ a ) поля K .

Измерение 2

Для dim V = 2 , если Q имеет диагонализацию diag( a , b ) с ненулевыми a и b (которая всегда существует, если Q невырожден), то Cl( V , Q ) изоморфен K -алгебре, порожденной элементами x и y, удовлетворяющими x ² = а ​ и ² знак равно б и ху = - yx .

Таким образом, Cl( V , Q ) изоморфна (обобщённой) алгебре кватернионов ( a , b ) _K . Мы извлекаем кватернионы Гамильтона, когда a = b = −1 , поскольку H = (−1, −1) _R .

В частном случае, если некоторый x в V удовлетворяет Q ( x ) = 1 , то Cl( V , Q ) ≃ M ₂ ( K ) .

Свойства

внешней

Учитывая векторное пространство V , можно построить внешнюю алгебру ⋀ V , определение которой не зависит от какой-либо квадратичной формы V. на Оказывается, что если K не имеет характеристики 2 , то существует естественный изоморфизм между ⋀ V и Cl( V , Q ), рассматриваемыми как векторные пространства (и существует изоморфизм в характеристике два, который может быть неестественным). Это изоморфизм алгебры тогда и только тогда, когда Q = 0 . Таким образом, алгебру Клиффорда Cl( V , Q ) можно рассматривать как обогащение (или, точнее, квантование, см. введение) внешней алгебры на V с умножением, которое зависит от Q (все еще можно определить внешнее произведение независимо от Q ).

Самый простой способ установить изоморфизм — выбрать ортогональный базис { e1 _{расширить} ,..., } _en для V и его до базиса для Cl( V , Q ), как описано выше . Отображение Cl( V , Q ) → ⋀ V определяется уравнением

$$e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.$$

Обратите внимание, что это работает только в том случае, если базис { e ₁ , ..., e _n } ортогонален. Можно показать, что это отображение не зависит от выбора ортогонального базиса и, следовательно, дает естественный изоморфизм.

Если характеристика K . равна 0 , изоморфизм можно также установить путем антисимметризации Определим функции f _k : V × ⋯ × V → Cl( V , Q ) формулой

$$f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}$$

где сумма берется по симметрической группе из k элементов, S _k . Поскольку f _k знакопеременный , он индуцирует единственное линейное отображение ⋀ ^к V → Cl( V , Q ) . Прямая сумма этих карт дает линейное отображение между ⋀ V и Cl( V , Q ) . Можно показать, что это отображение является линейным изоморфизмом, и это естественно.

Более сложный способ просмотреть взаимосвязь — построить фильтрацию на Cl( V , Q ) . Напомним, что тензорная алгебра T ( V ) имеет естественную фильтрацию: F ⁰ ⊂ Ф ¹ ⊂ Ф ² ⊂ ⋯ , где F ^к содержит суммы тензоров порядка ≤ k . Проецирование этого на алгебру Клиффорда дает фильтрацию на Cl( V , Q ) . Соответствующая градуированная алгебра

$$\operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}$$

естественно изоморфна внешней алгебре ⋀ V . Поскольку ассоциированная градуированная алгебра фильтрованной алгебры всегда изоморфна фильтрованной алгебре как фильтруемым векторным пространствам (путем выбора дополнений к F ^к в фа ^{к +1} для всех k ), это обеспечивает изоморфизм (хотя и не естественный) в любой характеристике, даже в двух.

Оценка

Далее предположим, что характеристика не равна 2 .

Алгебры Клиффорда — это Z ₂ - градуированные алгебры (также известные как супералгебры ). Действительно, линейное отображение на V, определенное как v ↦ − v ( отражение через начало координат ), сохраняет квадратичную форму Q и поэтому по универсальному свойству алгебр Клиффорда продолжается до автоморфизма алгебры

$$\alpha :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).$$

Поскольку α является инволюцией (т. е. оно квадратично до единицы ), можно разложить Cl( V , Q ) на положительные и отрицательные собственные пространства α

$$\operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)$$

где

$$\operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.$$

Поскольку α является автоморфизмом, отсюда следует, что:

$$\operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)$$

где верхние индексы в квадратных скобках читаются по модулю 2. Это дает Cl( V , Q ) структуру Z2 _{алгебры} - градуированной . Подпространство Cl ^[0] ( V , Q ) образует подалгебру Cl ( V , Q ) , называемую четной подалгеброй . Подпространство Cl ^[1] ( V , Q ) называется нечетной частью Cl ( V , Q ) (это не подалгебра). Эта Z ₂ -градуировка играет важную роль в анализе и применении алгебр Клиффорда. Автоморфизм α называется главной инволюцией или градуированной инволюцией . Элементы, которые являются чистыми в этой Z ₂ -градуации, называются просто четными или нечетными.

Замечание . Алгебра Клиффорда не является Z -градуированной алгеброй, но является Z - фильтрованной , где Cl ^{≤ i} ( V , Q ) — подпространство, натянутое на все произведения не более i элементов V .

$$\operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).$$

Степень числа Клиффорда обычно относится к степени Z -градации.

Чётная подалгебра Cl ^[0] ( V , Q ) алгебры Клиффорда сама изоморфна алгебре Клиффорда. Если V — ортогональная прямая сумма вектора a ненулевой нормы Q ( a ) и подпространства U , то Cl ^[0] ( V , Q ) изоморфен Cl( U , − Q ( a ) Q | _U ) , где Q | _U — это форма Q ограниченная U. , В частности, в отношении реалов это означает, что:

$$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}$$

В отрицательно определенном случае это дает включение Cl _{0, n −1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R ) , которое расширяет последовательность

Р ⊂ С ⊂ ЧАС ⊂ ЧАС ⊕ ЧАС ⊂ ⋯

Аналогично, в комплексном случае можно показать, что четная подалгебра в Cl _n ( C ) изоморфна Cl _{n −1} ( C ) .

Antiautomorphisms

Помимо автоморфизма α , существуют два антиавтоморфизма , которые играют важную роль в анализе алгебр Клиффорда. Напомним, что тензорная алгебра T ( V ) имеет антиавтоморфизм, который меняет порядок во всех произведениях векторов:

$$v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.$$

Поскольку идеал I _Q инвариантен относительно этого обращения, эта операция сводится к антиавтоморфизму Cl( V , Q ), называемому операцией транспонирования или обращения , обозначаемому x ^т . Транспонирование является антиавтоморфизмом: ( xy ) ^т = и ^т х ^т . Операция транспонирования не использует Z ₂ -градуацию, поэтому мы определяем второй антиавтоморфизм, комбинируя α и транспонирование. Эту операцию мы называем сопряжением Клиффорда , обозначая ${\bar {x}}$

$${\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.$$

Из двух антиавтоморфизмов транспонирование является более фундаментальным.

Обратите внимание, что все эти операции являются инволюциями . Можно показать, что они действуют как ±1 на элементы, чистые по Z -градации. Фактически все три операции зависят только от степени по модулю 4 . То есть, если x чист со степенью k , то

$$\alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x$$

где знаки даны следующей таблицей:

к против 4	0	1	2	3	…
$\alpha (x)\,$	+	−	+	−	(−1) к
$x^{\mathrm {t} }\,$	+	+	−	−	(−1) к ( к - 1)/2
${\bar {x}}$	+	−	−	+	(−1) к ( к + 1)/2

Клиффорда

Когда характеристика не равна 2 , квадратичная форма Q на V может быть расширена до квадратичной формы на всем Cl( V , Q ) (которую мы также обозначили Q ). Независимое от базиса определение одного такого расширения:

$$Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}$$

где ⟨ a ⟩ ₀ обозначает скалярную часть a (часть степени 0 в Z -градуировке). Можно показать, что

$$Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})$$

где v _i являются элементами V – это тождество неверно для произвольных элементов Cl( V , Q ) .

Соответствующая симметричная билинейная форма на Cl( V , Q ) определяется выражением

$$\langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.$$

Можно проверить, что это приводит к исходной билинейной форме при ограничении V . Билинейная форма на всем Cl( V , Q ) невырождена только тогда , когда она невырождена на V. тогда и

Оператор левого (соответственно правого) умножения Клиффорда на транспонирование a ^т элемента a является сопряженным к левому (соответственно правому) умножению Клиффорда на a относительно этого скалярного произведения. То есть,

$$\langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,$$

и

$$\langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .$$

Структура

В этом разделе мы предполагаем, что характеристика не равна 2 , векторное пространство V конечномерно и что соответствующая симметричная билинейная форма Q невырождена.

Центральная простая алгебра над K — это матричная алгебра над (конечномерной) алгеброй с делением с K. центром Например, центральные простые алгебры над вещественными числами являются матричными алгебрами либо над вещественными числами, либо над кватернионами.

• Если V имеет четную размерность, то ( V , Q ) — центральная простая алгебра над K. Cl
• Если V имеет четную размерность, то четная подалгебра Cl ^[0] ( V , Q ) — центральная простая алгебра над квадратичным расширением K или сумма двух изоморфных центральных простых алгебр K. над
• Если V имеет нечетную размерность, то Cl( V , Q ) является центральной простой алгеброй над квадратичным расширением K или суммой двух изоморфных центральных простых алгебр над K .
• Если V имеет нечетную размерность, то четная подалгебра Cl ^[0] ( V , Q ) центральная простая алгебра над K. —

Строение алгебр Клиффорда можно выяснить явно, используя следующий результат. Предположим, что U имеет четную размерность и неособую билинейную форму с дискриминантом d , и предположим, что V — другое векторное пространство с квадратичной формой. Алгебра Клиффорда группы U + V изоморфна тензорному произведению алгебр Клиффорда группы U и (−1) ^{тусклый( U )/2} dV , которое представляет собой пространство V с его квадратичной формой, умноженной на (−1) ^{тусклый( U )/2} д . В отношении реальных значений это, в частности, означает, что

$$\operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} )$$

$$\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )$$

$$\operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ).$$

Эти формулы можно использовать для нахождения структуры всех вещественных алгебр Клиффорда и всех комплексных алгебр Клиффорда; см. классификацию алгебр Клиффорда .

Примечательно, что класс эквивалентности Мориты алгебры Клиффорда (ее теория представлений: класс эквивалентности категории модулей над ней) зависит только от сигнатуры ( p − q ) mod 8 . Это алгебраическая форма периодичности Ботта .

Группа Липшица

Класс липшицевых групп ( он же Группы Клиффорда или группы Клиффорда–Липшица) был открыт Рудольфом Липшицем .

В этом разделе мы предполагаем, что конечномерна и квадратичная форма Q невырождена V .

Действие на элементы алгебры Клиффорда ее группы единиц может быть определено в терминах скрученного сопряжения: скрученное сопряжение с помощью x отображает y ↦ α ( x ) y x ⁻¹ , где α – основная инволюция, определенная выше .

Группа Липшица Γ определяется как набор обратимых элементов x , которые стабилизируют набор векторов относительно этого действия: это означает, что для всех v в V мы имеем:

$$\alpha (x)vx^{-1}\in V.$$

Эта формула также определяет действие группы Липшица на векторное пространство V , которое сохраняет квадратичную форму Q и, таким образом, дает гомоморфизм группы Липшица в ортогональную группу. Группа Липшица содержит все элементы r из V , для которых Q ( r ) обратимо в K , и они действуют на V посредством соответствующих отражений, которые переводят v в v - ( ⟨ r , v ⟩ + ⟨ v , r ⟩ ) r / ‍ Q ( р ) . (В характеристике 2 они называются ортогональными трансвекциями, а не отражениями.)

Если V — конечномерное вещественное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой, то группа Липшица отображается в ортогональную группу V относительно формы (по теореме Картана–Дьедонне ), а ядро ​​состоит из ненулевых элементов поле К. ​Это приводит к точным последовательностям

$$1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma \rightarrow \operatorname {O} _{V}(K)\rightarrow 1,$$

$$1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow \operatorname {SO} _{V}(K)\rightarrow 1.$$

По другим полям или с неопределенными формами отображение, как правило, не является включенным, и отказ фиксируется спинорной нормой.

Спинорная норма

Дополнительная информация: Спинорная норма § когомологии Галуа и ортогональные группы.

В произвольной характеристике спинорная норма Q определяется на группе Липшица формулой

$$Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.$$

Это гомоморфизм группы Липшица в группу K ^× ненулевых элементов K . Оно совпадает с квадратичной формой Q формы V , когда V отождествляется с подпространством алгебры Клиффорда. Некоторые авторы определяют спинорную норму несколько иначе, так что она отличается от приведенной здесь в −1 , 2 или −2 раза на Γ. ¹ . Разница не очень существенна по характеристике кроме 2.

Ненулевые элементы группы K имеют спинорную норму в группе ( K ^× ) ² квадратов ненулевых элементов поля K . Итак, когда V конечномерно и неособо, мы получаем индуцированное отображение ортогональной группы V в группу K ^× ‍/ ‍ ( К ^× ) ² , также называемая спинорной нормой. Спинорная норма отражения о r ^⊥ , для любого вектора r имеет образ Q ( r ) в K ^× ‍/ ‍ ( К ^× ) ² , и это свойство однозначно определяет его на ортогональной группе. Это дает точные последовательности:

$${\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)&\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)&\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}$$

Заметим, что в характеристике 2 группа {±1} имеет всего один элемент.

С точки зрения когомологий Галуа алгебраических групп , спинорная норма является связующим гомоморфизмом на когомологиях. Записывая µ ₂ для алгебраической группы квадратных корней из 1 (над полем характеристики, отличной от 2, это примерно то же самое, что двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа), короткая точная последовательность

$$1\to \mu _{2}\rightarrow \operatorname {Pin} _{V}\rightarrow \operatorname {O} _{V}\rightarrow 1$$

дает длинную точную последовательность когомологий, которая начинается

$$1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\operatorname {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\operatorname {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).$$

0-я группа когомологий Галуа алгебраической группы с коэффициентами из K — это просто группа K -значных точек: H ⁰ ( грамм ; K ) знак равно грамм ( K ) , и ЧАС ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× ‍/ ‍ ( К ^× ) ² , который восстанавливает предыдущую последовательность

$$1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},$$

где спинорная норма – это связующий гомоморфизм H ⁰ (О _В ; К ) → Ч ¹ (μ ₂ ; К ) .

Группы вращений и штифтов

Дополнительная информация: группа Spin , группа Pin и Spinor.

В этом разделе мы предполагаем, что V конечномерно и его билинейная форма неособа.

Группа контактов Pin _V ( K ) является подгруппой группы Липшица Γ элементов спинорной нормы 1 , и аналогично группа спина Spin _V ( K ) является подгруппой элементов инварианта Диксона 0 в Pin _V ( K ) . Когда характеристика не равна 2 , это элементы определителя 1 . Группа вращения обычно имеет индекс 2 в группе контактов.

Напомним из предыдущего раздела, что существует гомоморфизм группы Липшица в ортогональную группу. Мы определяем специальную ортогональную группу как образ Γ ⁰ . Если K не имеет характеристики 2, то это просто группа элементов ортогональной группы определителя 1 . Если K действительно имеет характеристику 2 , то все элементы ортогональной группы имеют определитель 1 , а специальная ортогональная группа представляет собой набор элементов инварианта Диксона 0 .

Существует гомоморфизм группы штифтов в ортогональную группу. Образ состоит из элементов спинорной нормы 1 ∈ K ^× ‍/ ‍ ( К ^× ) ² . Ядро состоит из элементов +1 и −1 и имеет порядок 2, если K не имеет характеристики 2 . Аналогично существует гомоморфизм группы Spin в специальную ортогональную группу V .

В общем случае, когда V является положительно или отрицательно определенным пространством над действительными числами, группа спинов отображается в специальную ортогональную группу и является односвязной, когда V имеет размерность не менее 3 . Далее ядро ​​этого гомоморфизма состоит из 1 и −1 . Итак, в этом случае спиновая группа Spin( n ) является двойным покрытием SO( n ) . Однако обратите внимание, что простая связность спиновой группы в общем случае неверна: если V есть R ^{п , д} если p и q оба не менее 2 , то спиновая группа не является односвязной. В этом случае алгебраическая группа Spin _{p , q} односвязна как алгебраическая группа, хотя ее группа вещественнозначных точек Spin _{p , q} ( R ) не является односвязной. Это довольно тонкий момент, который окончательно сбил с толку авторов как минимум одной стандартной книги о спиновых группах.

Спиноры

Алгебры Клиффорда Cl _{p , q} ( C ) с p + q = 2 n четными являются матричными алгебрами, имеющими комплексное представление размерности 2 . ^н . Ограничивая группу Pin _{p , q} ( R ), мы получаем комплексное представление группы Pin той же размерности, называемое спиновым представлением . Если мы ограничим это спиновой группой Spin _{p , q} ( R ), тогда она распадается как сумма двух представлений половинного спина (или представлений Вейля ) размерности 2. ^{п -1} .

Если p + q = 2 n + 1 нечетно, то алгебра Клиффорда Cl _{p , q} ( C ) представляет собой сумму двух матричных алгебр, каждая из которых имеет представление размерности 2 ^н , и это также оба представления группы контактов Pin _{p , q} ( R ) . При ограничении на спиновую группу Spin _{p , q} ( R ) они становятся изоморфными, поэтому спиновая группа имеет комплексное спинорное представление размерности 2. ^н .

В более общем смысле, спинорные группы и группы штифтов над любым полем имеют схожие представления, точная структура которых зависит от структуры соответствующих алгебр Клиффорда : всякий раз, когда алгебра Клиффорда имеет фактор, который является матричной алгеброй над некоторой алгеброй с делением, мы получаем соответствующее представление группы штифтов и спинов над этой алгеброй с делением.Примеры реалов см. в статье о спинорах .

Настоящие спиноры

Дополнительная информация: спинор

Чтобы описать реальные представления спина, нужно знать, как спиновая группа располагается внутри своей алгебры Клиффорда. Группа контактов , Pin _{p , q} — это набор обратимых элементов в Cl _{p , q} , которые можно записать как произведение единичных векторов:

$$\mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\right\}.$$

По сравнению с приведенными выше конкретными реализациями алгебр Клиффорда, группа штифтов соответствует произведениям произвольного числа отражений: это покрытие полной ортогональной группы O( p , q ) . Спиновая группа состоит из тех элементов Pin _{p , q} , которые являются произведениями четного числа единичных векторов. Таким образом, по теореме Картана–Дьедонне Spin является покрытием группы собственных вращений SO( p , q ) .

Пусть α : Cl → Cl — автоморфизм, задаваемый отображением v ↦ − v, действующим на чистые векторы. Тогда, в частности, Spin _{p , q} — подгруппа Pin _{p , q} , элементы которой фиксированы α . Позволять

$$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.$$

(Это в точности элементы четной степени из Cl _{p , q} .) Тогда спиновая группа лежит внутри Cl ^[0]
_{п , д} .

Неприводимые представления Cl _{p , q} ограничиваются представлениями группы выводов. И наоборот, поскольку группа контактов генерируется единичными векторами, все ее неприводимые представления индуцируются таким образом. Таким образом, два представления совпадают. По тем же причинам неприводимые представления спина совпадают с неприводимыми представлениями Cl ^[0]
_{п , д} .

Для классификации пин-представлений достаточно обратиться лишь к классификации алгебр Клиффорда . Чтобы найти представления спина (которые являются представлениями четной подалгебры), можно сначала использовать любой из изоморфизмов (см. Выше)

$$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0$$

$$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0$$

и реализовать представление спина в сигнатуре ( p , q ) как представление булавки в сигнатуре ( p , q − 1) или ( q , p − 1) .

Приложения

Дифференциальная геометрия

Одно из основных применений внешней алгебры находится в дифференциальной геометрии , где она используется для определения пучка дифференциальных форм на гладком многообразии . В случае ( псевдо- ) риманова многообразия касательные пространства снабжены естественной квадратичной формой, индуцированной метрикой . Таким образом, можно определить расслоение Клиффорда аналогично внешнему расслоению . Это имеет ряд важных приложений в римановой геометрии . Возможно, более важным является связь со спиновым многообразием , связанным с ним спинорным расслоением и спином. ^с коллекторы.

Физика

Алгебры Клиффорда имеют множество важных приложений в физике. Физики обычно считают алгеброй Клиффорда алгебру, базис которой порождается матрицами γ ₀ , ..., γ ₃ , называемыми матрицами Дирака , которые обладают свойством

$$\gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij},$$

где η — матрица квадратичной формы сигнатуры (1, 3) (или (3, 1), соответствующей двум эквивалентным выборам метрической сигнатуры). Это и есть определяющие соотношения для алгебры Клиффорда Cl
_1,3 ( R ) которого , комплексификация есть Cl
_1,3 ( R ) _C , которая по классификации алгебр Клиффорда изоморфна алгебре 4×4 комплексных матриц Cl4 _{размера} ( C ) ≈ _M4 ( C ) . Однако лучше всего сохранить обозначение Cl
_1,3 ( R ) _C , поскольку любое преобразование, которое переводит билинейную форму в каноническую форму, не является преобразованием Лоренца основного пространства-времени.

Таким образом, алгебра пространства-времени Клиффорда, используемая в физике, имеет более структуру, чем Cl ₄ ( C ) . Кроме того, он имеет ряд предпочтительных преобразований – преобразований Лоренца. Необходимость комплексификации для начала зависит частично от используемых соглашений и частично от того, насколько много мы хотим включить напрямую, но комплексификация чаще всего необходима в квантовой механике, где спиновое представление алгебры Ли ( 1, 3) находится внутри алгебра Клиффорда обычно требует комплексной алгебры Клиффорда. Для справки: спиновая алгебра Ли имеет вид

$${\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}$$

Это соответствует соглашению (3, 1) , поэтому подходит для Cl.
_3,1 ( Р ) _С .

Матрицы Дирака были впервые записаны Полем Дираком , когда он пытался написать релятивистское волновое уравнение первого порядка для электрона и дать явный изоморфизм алгебры Клиффорда алгебре комплексных матриц. Результат был использован для определения уравнения Дирака и введения оператора Дирака . Вся алгебра Клиффорда проявляется в квантовой теории поля в виде билинейеров поля Дирака .

Использование алгебр Клиффорда для описания квантовой теории было предложено, среди прочего, Марио Шенбергом . Дэвидом Хестенсом в терминах геометрического исчисления , Дэвидом Бомом и Бэзилом Хили и его сотрудниками в форме иерархии алгебр Клиффорда , а также Элио Конте и др.

Компьютерное зрение

Алгебры Клиффорда применялись в задаче распознавания и классификации действий в компьютерном зрении . Родригес и др. предложить встраивание Клиффорда для обобщения традиционных фильтров MACH на видео (3D пространственно-временной объем) и векторные данные, такие как оптический поток . Векторные данные анализируются с использованием преобразования Фурье Клиффорда . На основе этих векторов синтезируются фильтры действий в области Фурье Клиффорда и распознавание действий осуществляется с использованием корреляции Клиффорда. Авторы демонстрируют эффективность встраивания Клиффорда, распознавая действия, обычно выполняемые в классических художественных фильмах и спортивных телетрансляциях.

Обобщения

• Хотя эта статья посвящена алгебре Клиффорда векторного пространства над полем, определение без изменений распространяется на модуль над любым ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.
• Алгебры Клиффорда могут быть обобщены до формы степени выше квадратичной в векторном пространстве.

См. также

• Алгебра физического пространства
• Строительство Кэли – Диксона
• Классификация алгебр Клиффорда
• Анализ Клиффорда
• Модуль Клиффорда
• Сложная спиновая структура
• Оператор Дирака
• Внешняя алгебра
• Личность Фирца
• Гамма-матрицы
• Обобщенная алгебра Клиффорда
• Геометрическая алгебра
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Гиперкомплексное число
• Октонион
• Паравектор
• Кватернион
• Спиновая группа
• Спиновая структура
• Спинор
• Спинорное расслоение

Ссылки

• Боливар, АО (2001), «Классический предел фермионов в фазовом пространстве», J. Math. Физ. , 42 (9): 4020–4030, Bibcode : 2001JMP....42.4020B , doi : 10.1063/1.1386411
• Боттема, О.; Рот, Б. (2012) [1979]. Теоретическая кинематика . Дувр. ISBN  978-0-486-66346-3 .
• Бурбаки, Николя (1988), Алгебра , Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-19373-9 , раздел IX.9.
• Клиффорд, WK (1873 г.). «Предварительный набросок бикватернионов». Учеб. Лондонская математика. Соц . 4 .
• Клиффорд, WK (1882 г.). Такер, Р. (ред.). Математические статьи . Лондон: Макмиллан.
• Карнахан, С., Заметки семинара Борчердса, необрезанный, неделя 5 , Спиноры и алгебры Клиффорда
• Конте, Элио (14 ноября 2007 г.). «Квантовая интерпретация и решение парадокса Эйнштейна, Подольского и Розена в квантовой механике». arXiv : 0711.2260 [ квант-ф ].
• Конте, Элио (2012), «О некоторых соображениях математической физики: можем ли мы идентифицировать алгебру Клиффорда как общую алгебраическую структуру для классической диффузии и уравнений Шредингера?», Adv. Исследования Теор. Физ. , 6 (26): 1289–1307
• Гарлинг, DJH (2011), Алгебры Клиффорда. Введение , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 78, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-1-107-09638-7 , Збл   1235.15025
• Хейл, Даррелл Э. (декабрь 1984 г.). «Об алгебре Клиффорда двоичной кубической формы». Американский журнал математики . 106 (6). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 1269–1280. дои : 10.2307/2374394 . JSTOR   2374394 .
• Джаганнатан, Р. (2010), Об обобщенных алгебрах Клиффорда и их физических приложениях , arXiv : 1005.4300 , Bibcode : 2010arXiv1005.4300J
• Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-1095-2 , МР   2104929 , Збл   1068.11023
• Лоусон, Х. Блейн; Майкельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-08542-5 . Расширенный учебник по алгебрам Клиффорда и их приложениям к дифференциальной геометрии.
• Лунесто, Пертти (1993), З. Озиевич; Б. Янцевич; А. Боровец (ред.), «Что такое бивектор?», Спиноры, твисторы, алгебры Клиффорда и квантовые деформации , Фундаментальные теории физики: 153–158.
• Лунесто, Пертти (1996), «Контрпримеры в алгебрах Клиффорда с CLICAL», Алгебры Клиффорда с числовыми и символическими вычислениями , стр. 3–30, doi : 10.1007/978-1-4615-8157-4_1 , ISBN  978-1-4615-8159-8
• Лунесто, Пертти (2001), алгебры и спиноры Клиффорда , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-00551-7
• Маккарти, Дж. М. (1990). Введение в теоретическую кинематику . МТИ Пресс. ISBN  978-0-262-13252-7 .
• Озиевич, З.; Ситарчик, С. (1992). «Параллельное рассмотрение римановых и симплектических алгебр Клиффорда» . В Микали, А.; Буде, Р.; Хельмстеттер, Дж. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Клювер. п. 83. ИСБН  0-7923-1623-1 .
• Первасс, Кристиан (2009), Геометрическая алгебра с приложениями в технике , Springer Science & Business Media, Bibcode : 2009gaae.book.....P , ISBN  978-3-540-89068-3
• Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-55177-9
• Родригес, Микель; Шах, М. (2008). «Действие MACH: пространственно-временной фильтр максимальной средней высоты корреляции для классификации действий». Компьютерное зрение и распознавание образов (CVPR) .
• Сильвестр, Дж. Дж. (1882), Слово о нонионах , Проспекты Университета Джона Хопкинса, том. I, стр. 241–2, hdl : 1774,2/32845 ; там же II (1883) 46; там же III (1884) 7–9. Краткое изложение в «Сборнике статей по математике Джеймса Джозефа Сильвестра» (издательство Кембриджского университета, 1909 г.), т. III . онлайн и дальше .
• Ваз, Дж.; да Роша, Р. (2016), Введение в алгебры и спиноры Клиффорда , Oxford University Press , Bibcode : 2016icas.book.....V , ISBN  978-0-19-878292-6
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , том. 1, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-55001-7

Дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт (1991), Квадратичные и эрмитовы формы над кольцами , Основные учения математических наук, том. 294, Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-3-642-75401-2 , ISBN.  3-540-52117-8 , МР   1096299 , Збл   0756.11008

Внешние ссылки

• «Алгебра Клиффорда» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Запись Planetmath об алгебрах Клиффорда. Архивировано 15 апреля 2005 г. в Wayback Machine.
• История алгебр Клиффорда (непроверенная)
• Джон Баэз об алгебрах Клиффорда
• Алгебра Клиффорда: визуальное введение