Ортогональная диагонализация

В линейной алгебре ортогональная диагонализация нормальной матрицы (например, симметричной матрицы ) — это диагонализация посредством ортогональной замены координат. ^[1]

Ниже приведен алгоритм ортогональной диагонализации, который диагонализует квадратичную форму q ( x ) на $\mathbb {R}$ ^н посредством ортогональной замены координат X = PY . ^[2]

Шаг 1: найдите симметричную матрицу A , представляющую q, и найдите ее характеристический полином. $\Delta (t).$
Шаг 2: найдите собственные значения A , являются корнями которые $\Delta (t)$ .
Шаг 3: для каждого собственного значения $\lambda$ из A шага 2, найдите ортогональный базис его собственного пространства .
Шаг 4: нормализовать все собственные векторы на шаге 3, которые затем образуют базис ортонормированный $\mathbb {R}$ ^н.
Шаг 5: пусть P — матрица , столбцы которой являются нормализованными собственными векторами на шаге 4.

Тогда X = PY — искомая ортогональная замена координат, а диагональные элементы $P^{T}AP$ будут собственные значения $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ которые соответствуют столбцам P .

Ссылки

^ Пул, Д. (2010). Линейная алгебра: современное введение (на голландском языке). Cengage Обучение. п. 411. ИСБН 978-0-538-73545-2 . Проверено 12 ноября 2018 г.
^ Сеймур Липшуц 3000 решенных задач по линейной алгебре.

Максим Бошер (совместно с ЭПР Дювалем) (1907) Введение в высшую алгебру , § 45 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов через HathiTrust

Эта линейной алгебре, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[Poole_2010_p._411-1] Пул, Д. (2010). Линейная алгебра: современное введение (на голландском языке). Cengage Обучение. п. 411. ИСБН 978-0-538-73545-2 . Проверено 12 ноября 2018 г.

[2] Сеймур Липшуц 3000 решенных задач по линейной алгебре.

[1]

[2]