Теорема Картана – Дьедонне.

Чтобы узнать о других значениях, см. теорему Картана и теорему Дьедонне .

В математике теорема Картана -Дьедонне , названная в честь Эли Картана и Жана Дьедонне , устанавливает, что каждое ортогональное преобразование в n - мерном симметричном билинейном пространстве может быть описано как композиция не более чем n отражений .

Понятие симметричного билинейного пространства является обобщением евклидова пространства , структура которого определяется симметричной билинейной формой (которая не обязательно должна быть положительно определенной , поэтому не обязательно является внутренним продуктом - например, псевдоевклидово пространство также является симметричным билинейное пространство). Ортогональные преобразования в пространстве — это те автоморфизмы , которые сохраняют значение билинейной формы между каждой парой векторов; в евклидовом пространстве это соответствует сохранению расстояний и углов . Эти ортогональные преобразования образуют группу под композицией, называемую ортогональной группой .

Например, в двумерной евклидовой плоскости каждое ортогональное преобразование представляет собой либо отражение линии, проходящей через начало координат, либо вращение вокруг начала координат (что можно записать как композицию двух отражений). Любую произвольную композицию таких вращений и отражений можно переписать как композицию не более чем из двух отражений. Аналогично, в трехмерном евклидовом пространстве каждое ортогональное преобразование можно описать как одиночное отражение, вращение (2 отражения) или неправильное вращение (3 отражения). В четырех измерениях двойные вращения добавляются , которые представляют собой 4 отражения.

Официальное заявление

Пусть ( V , b ) — n -мерное невырожденное симметрическое билинейное пространство над полем с характеристикой , не равной 2. Тогда каждый элемент ортогональной группы O( V , b ) является композицией не более чем n отражений. .

См. также

• Неопределенная ортогональная группа
• Координатные вращения и отражения
• Размышления домохозяина
• Теорема Шаля

Ссылки

• Галье, Жан Х. (2001). Геометрические методы и приложения . Тексты по прикладной математике. Том. 38. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-95044-3 . Збл   1031.53001 .
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Университеттекст. Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-20493-8 . Збл   1068.53001 .
• Гарлинг, DJH (2011). Алгебры Клиффорда: Введение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 78. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-10742219-3 . Збл   1235.15025 .
• Лам, Тайвань (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-1095-2 . Збл   1068.11023 .