Седенион
Седенионы | |
---|---|
Символ | |
Тип | неассоциативная алгебра |
Единицы | е 0 , ..., е 15 |
Мультипликативная идентичность | е 0 |
Основные свойства | степенная ассоциативность распределительность |
Общие системы | |
Менее распространенные системы |
В абстрактной алгебре седенионы . образуют 16- мерную некоммутативную и неассоциативную алгебру над действительными числами , обычно обозначаемую заглавной буквой S, жирным шрифтом S или жирным шрифтом на доске . Они получены путем применения Диксона к октонионам , и поэтому октонионы изоморфны подалгебре конструкции Кэли - седенионов. В отличие от октонионов, седенионы не являются альтернативной алгеброй . Применение конструкции Кэли-Диксона к седенионам дает 32-мерную алгебру, иногда называемую 32-ионами или тригинтадуонионами . [1] Можно продолжать применять конструкцию Кэли–Диксона сколь угодно много раз.
Термин седенион также используется для других 16-мерных алгебраических структур, таких как тензорное произведение двух копий бикватернионов или алгебра матриц 4 × 4 над действительными числами, или алгебра, изученная Смитом (1995) .
Арифметика [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/44/Sedenion-Fano_Tesseract.gif)
Подобно октонионам , умножение седенионов не является ни коммутативным , ни ассоциативным . Но в отличие от октонионов седенионы не обладают даже свойством альтернативности . Однако они обладают свойством степенной ассоциативности , которое можно сформулировать следующим образом: для любого элемента x из , сила хорошо определен. Они также гибки .
Каждый седенион представляет собой линейную комбинацию единичных седенионов. , , , , ..., , которые составляют основу векторного пространства седенионов. Любой седенион можно представить в виде
Сложение и вычитание определяются сложением и вычитанием соответствующих коэффициентов, а умножение является распределительным по отношению к сложению.
Как и другие алгебры, основанные на конструкции Кэли-Диксона , седенионы содержат алгебру, из которой они были построены. Итак, они содержат октонионы (генерируемые к в таблице ниже), а следовательно, и кватернионы (генерируемые к ), комплексные числа (генерируемые и ) и действительные числа (сгенерированные ).
Седенионы имеют мультипликативный тождественный элемент. и мультипликативные обратные, но они не являются алгеброй с делением, поскольку имеют делители нуля . Это означает, что два ненулевых седениона можно умножить, чтобы получить ноль: пример: . Все гиперкомплексные системы счисления после седенионов, основанные на конструкции Кэли – Диксона, также содержат делители нуля.
Таблица умножения седениона представлена ниже:
Свойства Седениона [ править ]
Из приведенной выше таблицы мы видим, что:
- и
Антиассоциативный [ править ]
Седенионы не являются полностью антиассоциативными. Выберите любые четыре генератора, и . Следующий 5-цикл показывает, что все эти пять отношений не могут быть антиассоциативными.
В частности, в таблице выше, используя и последнее выражение ассоциируется.
Кватернионные подалгебры [ править ]
35 триад, составляющих эту конкретную таблицу умножения седениона, с 7 триадами октонионов, использованными при создании седениона посредством конструкции Кэли-Диксона, показаны жирным шрифтом:
Двоичные представления индексов этих троек поразрядно исключают ИЛИ до 0.
{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7} , {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }
Делители нуля [ править ]
Список из 84 наборов делителей нуля. , где :
Приложения [ править ]
Морено (1998) показал, что пространство пар седенионов нормы один, умножающихся до нуля, гомеоморфно компактной форме исключительной группы Ли G 2 . (Обратите внимание, что в его статье «делитель нуля» означает пару элементов, которые умножаются на ноль.)
Гийяр и Греснигт (2019) продемонстрировали, что три поколения лептонов и кварков , связанные с ненарушенной калибровочной симметрией можно представить с помощью алгебры комплексифицированных седенионов . Их рассуждения заключаются в том, что примитивный идемпотентный проектор - где выбирается как мнимая единица , подобная для в плоскости Фано - который действует на стандартном базисе седенионов, однозначно делит алгебру на три набора расщепляемых базисных элементов для , чьи сопряженные левые действия на себе порождают три копии алгебры Клиффорда которые, в свою очередь, содержат минимальные левые идеалы , описывающие одно поколение фермионов с непрерывными Калибровочная симметрия. В частности, они отмечают, что тензорные произведения между нормированными алгебрами с делением порождают делители нуля, подобные тем, что находятся внутри , где для отсутствие альтернативности и ассоциативности не влияет на построение минимальных левых идеалов, поскольку их лежащая в основе расщепленная основа требует умножения только двух базисных элементов, в которых ассоциативность или альтернативность не участвуют. Тем не менее, эти идеалы, построенные из присоединенной алгебры левых действий алгебры на себе, остаются ассоциативными, альтернативными и изоморфными алгебре Клиффорда. В общей сложности это позволяет создать три копии существовать внутри . Более того, эти три комплексифицированные подалгебры октонионов не являются независимыми; у них есть общее подалгебра, которая, как отмечают авторы, может составить теоретическую основу для матриц CKM и PMNS , которые соответственно описывают смешивание кварков и нейтринные осцилляции .
Нейронные сети Sedenion обеспечивают [ нужны дальнейшие объяснения ] средство эффективного и компактного выражения в приложениях машинного обучения, которое используется при решении множества задач прогнозирования временных рядов и трафика. [3] [4]
За пределами седенионов [ править ]
Применение конструкции Кэли-Диксона к седенионам дает 32-мерные пути с единицами от e 0 до e 31 .
Применение конструкции Кэли-Диксона к путям дает 64-мерные шиноны с единицами измерения от e 0 до e 63 .
Применение конструкции Кэли-Диксона к шинонам дает 128-мерные рутоны с единицами измерения от e0 до e127 .
Применение конструкции Кэли-Диксона к рутонам дает 256-мерные вудоны с единицами измерения от e0 до e255 .
Наглядное пособие от действительных чисел до вудонов можно найти здесь: https://i.sstatic.net/i9NY8.png .
Алгебры Кэли-Диксона, выходящие даже за рамки вудонов, хотя их и возможно построить, изучаются настолько редко, что математики не дали им никаких специальных названий (кроме просто количества измерений или базовых единиц), как описано выше.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Рауль Э. Кавагас и др. (2009). «БАЗОВАЯ ПОДАЛГЕБРА СТРУКТУРА АЛГЕБРЫ КЭЛИ-ДИКСОНА РАЗМЕРНОСТИ 32 (ТРИГИНТАДУОНИИ) »
- ^ ( Баез 2002 , стр. 6)
- ^ Сауд, Лайес Саад; Аль-Марзуки, Хасан (2020). «Метакогнитивная нейронная сеть, оценивающая седенион, и ее алгоритм обучения» . Доступ IEEE . 8 : 144823–144838. дои : 10.1109/ACCESS.2020.3014690 . ISSN 2169-3536 .
- ^ Копп, Майкл; Крейл, Дэвид; Нойн, Мориц; Джониц, Дэвид; Мартин, Генри; Эррузо, Педро; Грука, Александра; Сулеймани, Али; Ву, Фанью; Лю, Ян; Сюй, Цзинвэй (07 августа 2021 г.). «Traffic4cast на NeurIPS 2020 – еще больше о необоснованной эффективности геопространственных процессов с привязкой к сетке» . Конкурсно-демонстрационная трасса NeurIPS 2020 . ПМЛР: 325–343.
Ссылки [ править ]
- Имаэда, К.; Имаэда, М. (2000), «Седенионы: алгебра и анализ», Прикладная математика и вычисления , 115 (2): 77–88, doi : 10.1016/S0096-3003(99)00140-X , MR 1786945
- Баэз, Джон К. (2002). «Октонионы» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . МР 1886087 . S2CID 586512 .
- Бисс, Дэниел К.; Кристенсен, Дж. Дэниел; Даггер, Дэниел; Исаксен, Дэниел К. (2007). «Большие аннуляторы в алгебрах Кэли-Диксона II». Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : математика/0702075 . Бибкод : 2007math......2075B .
- Гиллард, Адам Б.; Греснигт, Нильс Г. (2019). «Три поколения фермионов с двумя непрерывными калибровочными симметриями из комплексных седенионов» . Европейский физический журнал C . 79 (5). Спрингер : 1–11 (446). arXiv : 1904.03186 . Бибкод : 2019EPJC...79..446G . doi : 10.1140/epjc/s10052-019-6967-1 . S2CID 102351250 .
- Киньон, МК; Филлипс, доктор медицинских наук; Войтеховский, П. (2007). «С-петли: расширения и конструкции». Журнал алгебры и ее приложений . 6 (1): 1–20. arXiv : math/0412390 . CiteSeerX 10.1.1.240.6208 . дои : 10.1142/S0219498807001990 . S2CID 48162304 .
- Кивунге, Бенард М.; Смит, Джонатан Д.Х. (2004). «Подлупы седенионов» (PDF) . Комментарий. Математика. унив. Каролина . 45 (2): 295–302.
- Морено, Гильермо (1998), «Дилители нуля алгебр Кэли – Диксона над действительными числами», Бол. Соц. Мат. Mexicana , Series 3, 4 (1): 13–28, arXiv : q-alg/9710013 , Bibcode : 1997q.alg....10013G , MR 1625585
- Смит, Джонатан Д.Х. (1995), «Левая петля на 15-сфере», Journal of Algebra , 176 (1): 128–138, doi : 10.1006/jabr.1995.1237 , MR 1345298
- Л.С. Сауд и Х. Аль-Марзуки, «Метакогнитивная нейронная сеть с оценкой Sedenion и ее алгоритм обучения», в IEEE Access, vol. 8, стр. 144823-144838, 2020, doi:10.1109/ACCESS.2020.3014690 .