Самолет Фано

Самолет Фано

Самолет Фано
Заказ	2
Класс Ленца – Барлотти	VII.2
Автоморфизмы	2 3 × 3 × 7 ПГЛ(3, 2)
Длины орбит точки	7
Длина орбиты линии	7
Характеристики	дезарговский Самодвойственный

В конечной геометрии плоскость Фано (по имени Джино Фано ) — это конечная проективная плоскость с наименьшим возможным количеством точек и прямых: 7 точек и 7 прямых, с 3 точками на каждой прямой и 3 прямыми, проходящими через каждую точку. Эти точки и линии не могут существовать при таком образце вхождений в евклидовой геометрии , но им можно задать координаты, используя конечное поле с двумя элементами. Стандартное обозначение этой плоскости, как члена семейства проективных пространств , — PG(2, 2) . Здесь PG означает « проективная геометрия », первый параметр — это геометрическая размерность (это плоскость размерности 2), а второй параметр — порядок (количество точек на линию минус одна).

Плоскость Фано является примером конечной структуры инцидентности , поэтому многие ее свойства могут быть установлены с использованием комбинаторных методов и других инструментов, используемых при изучении геометрии инцидентности . Поскольку это проективное пространство, алгебраические методы также могут быть эффективными инструментами его изучения.

Однородные координаты

Плоскость Фано можно построить с помощью линейной алгебры как проективную плоскость над конечным полем с двумя элементами. Аналогично можно построить проективные плоскости над любым другим конечным полем, причем плоскость Фано является наименьшей.

Используя стандартную конструкцию проективных пространств через однородные координаты , семь точек плоскости Фано можно пометить семью ненулевыми упорядоченными тройками двоичных цифр 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111. Это может быть делается таким образом, что для каждых двух точек p и q метка третьей точки на линии pq формируется путем сложения меток p и q по модулю 2, цифра за цифрой (например, 010 и 111, что дает 101). Другими словами, точки плоскости Фано соответствуют ненулевым точкам конечного векторного пространства размерности 3 над конечным полем порядка 2.

Благодаря этой конструкции плоскость Фано считается дезарговой плоскостью , даже несмотря на то, что плоскость слишком мала, чтобы содержать невырожденную конфигурацию Дезарга (для которой требуется 10 точек и 10 прямых).

Линиям плоскости Фано также можно присвоить однородные координаты, опять же используя ненулевые тройки двоичных цифр. В этой системе координат точка инцидентна линии, если координата точки и координата линии имеют четное количество позиций, в которых обе имеют ненулевые биты: например, точка 101 принадлежит линии 111. , потому что они имеют ненулевые биты в двух общих позициях. С точки зрения базовой линейной алгебры, точка принадлежит линии, если скалярное произведение векторов, представляющих точку и линию, равно нулю.

Линии можно разделить на три типа.

• В трех строках бинарные тройки точек имеют 0 в постоянной позиции: строка 100 (содержащая точки 001, 010 и 011) имеет 0 в первой позиции, а строки 010 и 001 формируются в таким же образом.
• В трех строках две позиции в двоичных тройках каждой точки имеют одинаковое значение: в строке 110 (содержащей точки 001, 110 и 111) первая и вторая позиции всегда равны друг другу, а строки 101 и 011 формируются одинаково.
• В оставшейся строке 111 (содержащей точки 011, 101 и 110) каждая двоичная тройка имеет ровно два ненулевых бита.

-

Альтернативно, 7 точек плоскости соответствуют 7 неединичным элементам группы ( Z ₂ ). ³ знак равно Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Линии плоскости соответствуют подгруппам порядка 4, изоморфным Z ₂ × Z ₂ . Группа автоморфизмов группы GL(3, 2) (Z ₂ ) ³ соответствует плоскости Фано и имеет порядок 168.

График Леви

Двудольный граф Хивуда. Точки представлены вершинами одного цвета, а линии — вершинами другого цвета.

Как и любая структура инцидентности, граф Леви плоскости Фано представляет собой двудольный граф , вершины одной части которого представляют точки, а другой — линии, причем две вершины соединяются, если соответствующие точка и линия инцидентны . Этот конкретный граф представляет собой связный кубический граф (регулярный степени 3), имеет обхват 6 и каждая часть содержит 7 вершин. Это граф Хивуда , уникальный шестиклеточный граф .

Коллинеации

Коллинеация плоскости Фано, соответствующая 3-битной кода Грея. перестановке

Коллинеация коллинеарные , автоморфизм или симметрия плоскости Фано — это перестановка семи точек, которая сохраняет коллинеарность: то есть переносит точки (на одной прямой) в коллинеарные точки. По Основной теореме проективной геометрии полная группа коллинеации (или группа автоморфизмов , или группа симметрии ) — это проективная линейная группа PGL(3, 2) , Хиршфельд 1979 , с. 131

Это известная группа порядка 168 = 2. ³ неабелева простая группа ·3·7, следующая после A ₅ порядка 60 (упорядоченная по размеру).

Как группа перестановок, действующая на 7 точек плоскости, группа коллинеации является дважды транзитивной , что означает, что любая упорядоченная пара точек может быть отображена хотя бы одной коллинеацией в любую другую упорядоченную пару точек. (См. ниже.)

Коллинеации также можно рассматривать как сохраняющие цвет автоморфизмы графа Хивуда (см. рисунок).

F ₈ степени три является расширением поля F {0} ₂ , поэтому точки плоскости Фано можно отождествить с F ₈ ∖ . Группу симметрии можно записать PGL(3, 2) = Aut( P ² Ф ₂ ) . Аналогично, PSL(2, 7) = Aut( P ¹ Ф ₇ ) . Существует связь между лежащими в основе объектами, P ² Ф ₂ и П ¹ F ₇ называется картой «Колыбель для кошки». Раскрасьте семь линий плоскости Фано ROYGBIV, поместите пальцы в двумерное проективное пространство окружающего трехмерного пространства и вытяните пальцы, как в детской игре «Колыбель для кошки». Вы получите полный граф на семи вершинах с семью цветными треугольниками (проективными линиями). Недостающее начало координат F ₈ будет находиться в центре внутреннего семиугольника. Теперь обозначьте эту точку как ∞ и потяните ее назад к началу координат. Можно записать биекцию из F ₇ ∪ {∞} в F ₈ . Установить х ^∞ = 0 и отправьте наклон k ↦ x ^∞ + х ^к ∈ F ₈ ≅ F ₂ [ Икс ] / ( Икс ³ + x + 1) , где теперь x ^к помечает вершины K7 _что раскраской ребер , отмечая, F ^×
₈ — циклическая группа порядка 7. Симметрии P ¹ F ₇ — преобразования Мёбиуса , а основными преобразованиями являются отражения (порядок 2, k ↦ −1/ k ), сдвиги (порядок 7, k ↦ k + 1 ) и удвоения (порядок 3, поскольку 2 ³ знак равно 1 , k ↦ 2 k ). Соответствующие симметрии на плоскости Фано представляют собой соответственно замену вершин, вращение графа и вращение треугольников.

Биекция между плоскостью Фано как полем с восемью элементами минус начало координат и проективной линией над полем с семью элементами. Симметрии становятся явными.

Двойственность в плоскости Фано: каждая точка соответствует линии и наоборот.

Двойственность

Основная статья: Двойственность (проективная геометрия)

Биекция между множеством точек и множеством прямых , сохраняющая инцидентность, называется двойственностью , а двойственность второго порядка называется полярностью .

Двойственности можно рассматривать в контексте графа Хивуда как автоморфизмы, меняющие цвет. Примером полярности является отражение через вертикальную линию, которая делит пополам графическое представление Хивуда, данное справа. Существование этой полярности показывает, что плоскость Фано самодуальна . Это также является непосредственным следствием симметрии между точками и линиями при определении отношения инцидентности в терминах однородных координат, как подробно описано в предыдущем разделе.

Структура цикла

Числовая . нумерация плоскости Фано

Группа перестановок из 7 точек имеет 6 классов сопряженности .

Каждая из этих четырех циклических структур определяет один класс сопряженности:

• Перестановка личности
• 21 перестановка с двумя 2-циклами
• 42 перестановки с 4-тактным и 2-тактным режимом.
• 56 перестановок с двумя 3-циклами

48 перестановок с полным 7-циклом образуют два отдельных класса сопряженности с 24 элементами:

• A отображается B , B в C , C в D. в Тогда D находится на той же прямой, что A и B. и
• A отображается B , B в C , C в D. в Тогда D находится на той же прямой, что A и C. и

( см. здесь .) Полный список

Следовательно , по теореме нумерации Пойа , число неэквивалентных раскрасок плоскости Фано в n цветов равно ${\textstyle {{n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n} \over 168}}$(последовательность A241929 в OEIS ).

четырехугольники и

Основная статья: Полный четырехугольник

В любой проективной плоскости набор из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шесть прямых, соединяющих пары этих точек, представляют собой конфигурацию, известную как полный четырехугольник . Прямые называются сторонами , а пары сторон, не пересекающиеся ни в одной из четырех точек, называются противоположными сторонами . Точки, в которых сходятся противоположные стороны, называются диагональными точками , и их три.

Если эта конфигурация лежит в проективной плоскости и три диагональные точки лежат на одной прямой, то семь точек и семь прямых развернутой конфигурации образуют подплоскость проективной плоскости, изоморфную плоскости Фано и называемую подплоскостью Фано .

Знаменитый результат Эндрю М. Глисона гласит, что если каждый полный четырехугольник в конечной проективной плоскости продолжается до подплоскости Фано (то есть имеет коллинеарные диагональные точки), то плоскость является дезарговой. Глисон называл любую проективную плоскость, удовлетворяющую этому условию, плоскостью Фано, создавая тем самым некоторую путаницу в современной терминологии. Чтобы усугубить путаницу, аксиома Фано утверждает, что диагональные точки полного четырехугольника никогда не лежат на одной прямой, и это условие справедливо в евклидовой и вещественной проективных плоскостях. Таким образом, то, что Глисон назвал плоскостями Фано, не удовлетворяет аксиоме Фано.

Конфигурации

Плоскость Фано содержит следующее количество конфигураций точек и линий разных типов. Для каждого типа конфигурации количество копий конфигурации, умноженное на количество симметрий плоскости, сохраняющих конфигурацию неизменной, равно 168, размеру всей группы коллинеации, при условии, что каждая копия может быть сопоставлена ​​с любой другой копией ( см. теорему о стабилизаторе орбиты ). Поскольку плоскость Фано самодуальна, эти конфигурации бывают двойственными парами, и можно показать, что количество коллинеаций, фиксирующих конфигурацию, равно количеству коллинеаций, фиксирующих ее двойственную конфигурацию.

• Есть 7 точек с 24 симметриями, фиксирующими любую точку, и, двойственно, существует 7 линий с 24 симметриями, фиксирующими любую линию. Число симметрий следует из 2-транзитивности группы коллинеации, что означает, что группа действует транзитивно в точках.
• Существует 42 упорядоченные пары точек, и каждая может быть отображена посредством симметрии на любую другую упорядоченную пару. Для любой упорядоченной пары существуют 4 фиксирующие ее симметрии. Соответственно, существует 21 неупорядоченная пара точек, каждая из которых может быть отображена посредством симметрии на любую другую неупорядоченную пару. Для любой неупорядоченной пары существует 8 фиксирующих ее симметрий.
• Есть 21 флаг, состоящий из линии и точки на этой линии. Каждый флаг соответствует неупорядоченной паре двух других точек на одной линии. Для каждого флага 8 различных симметрий фиксируют его.
• Существует 7 способов выбрать четырехугольник из четырех (неупорядоченных) точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Эти четыре точки образуют дополнение к прямой, которая является диагональной линией четырехугольника, а коллинеация фиксирует четырехугольник тогда и только тогда, когда она фиксирует диагональную линию. Таким образом, существует 24 симметрии, фиксирующие любой такой четырехугольник. Двойственная конфигурация представляет собой четырехугольник, состоящий из четырех прямых, из которых никакие три не пересекаются в одной точке, и шести точек их пересечения, это дополнение точки на плоскости Фано.
• Есть ${\tbinom {7}{3}}$ = 35 троек точек, семь из которых коллинеарные тройки, остается 28 неколлинеарных троек или треугольников . Конфигурация, состоящая из трех точек треугольника и трех линий, соединяющих пары этих точек, представлена ​​в графе Хивуда 6-циклом. Сохраняющий цвет автоморфизм графа Хивуда, фиксирующий каждую вершину 6-цикла, должен быть тождественным автоморфизмом. Это означает, что существует 168 помеченных треугольников, фиксированных только тождественной коллинеацией, и только шесть коллинеаций, которые стабилизируют немаркированный треугольник, по одному на каждую перестановку точек. Эти 28 треугольников можно рассматривать как соответствующие 28 битангенсам квартики . Существует 84 способа задания треугольника вместе с одной выделенной точкой этого треугольника и двумя симметриями, фиксирующими эту конфигурацию. Двойственная конфигурация треугольника также является треугольником.
• Существует 28 способов выбора точки и линии, которые не инцидентны друг другу (антифлаг ) , а также шесть способов перестановки плоскости Фано при сохранении фиксированного антифлага. Для каждой пары невходящих точек и прямых ( p , l ) три точки, не равные p и не принадлежащие l, образуют треугольник, и для каждого треугольника существует уникальный способ сгруппировать оставшиеся четыре точки в антифлаг.
• Существует 28 способов задания шестиугольника , в котором никакие три последовательные вершины не лежат на прямой, и шесть симметрий, фиксирующих любой такой шестиугольник.
• Существует 84 способа задания пятиугольника , в котором никакие три последовательные вершины не лежат на прямой, и две симметрии, фиксирующие любой пятиугольник.

Плоскость Фано является примером ( n ₃ ) -конфигурации, то есть набора из n точек и n линий с тремя точками на каждой линии и тремя линиями, проходящими через каждую точку. Плоскость Фано (7 ₃ )-конфигурация уникальна и является наименьшей такой конфигурацией. По теореме Стейница конфигурации этого типа могут быть реализованы в евклидовой плоскости, имеющей не более одной изогнутой линии (все остальные линии лежат на евклидовых прямых).

Верхний рисунок представляет собой альтернативное представление плоскости Фано в сетке - сравните с одной из конечных проективных плоскостей порядка 3 ниже.

Теория блочного проектирования

Плоскость Фано представляет собой небольшую симметричную блочную конструкцию , а именно 2-(7, 3, 1) -конструкцию. Точки рисунка — это точки плоскости, а блоки рисунка — это линии плоскости. По существу, это ценный пример в теории (блочного) проектирования.

С точками, помеченными 0, 1, 2, ..., 6, линии (как наборы точек) представляют собой сдвиги (7, 3, 1), набора плоских разностей заданного {0, 1, 3} в группе Z. / 7 З . Со строками, обозначенными ℓ ₀ , ..., ℓ _6, матрица инцидентности (таблица) определяется следующим образом:

Точка Линия	0	1	2	3	4	5	6
ℓ 0	1	1	0	1	0	0	0
ℓ 1	0	1	1	0	1	0	0
ℓ 2	0	0	1	1	0	1	0
ℓ 3	0	0	0	1	1	0	1
ℓ 4	1	0	0	0	1	1	0
ℓ 5	0	1	0	0	0	1	1
ℓ 6	1	0	1	0	0	0	1

Система Штейнера

Основная статья: система Штейнера

Плоскость Фано, как блочная конструкция, представляет собой тройную систему Штейнера . Таким образом, ему можно придать структуру квазигруппы . Эта квазигруппа совпадает с мультипликативной структурой, определяемой единичными октонионами e ₁ , e ₂ , ..., e ₇ (опуская 1), если игнорируются знаки произведений октонионов ( Baez 2002 ).

Теория матроидов

Основная статья: Теория матроидов

Матроид Фано F ₇ формируется путем принятия точек плоскости Фано в качестве основного множества и трехэлементных неколлинеарных подмножеств в качестве базисов.

Плоскость Фано — один из важных примеров в теории строения матроидов . Исключение плоскости Фано как минора матроида необходимо для характеристики нескольких важных классов матроидов, таких как регулярные , графические и кографические.

Если вы разобьете одну линию на три линии по 2 точки, вы получите «конфигурацию не Фано», которую можно встроить в реальную плоскость. Это еще один важный пример в теории матроидов, поскольку для справедливости многих теорем его необходимо исключить.

Плоскость Фано перерисована в плоский граф.

PG(3, 2)

Основная статья: PG(3,2)

Плоскость Фано можно расширить в третьем измерении, чтобы сформировать трехмерное проективное пространство, обозначаемое PG(3, 2) .Оно имеет 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей и является наименьшим трехмерным проективным пространством . Он также обладает следующими свойствами:

• Каждая точка содержится в 7 линиях и 7 плоскостях.
• Каждая линия содержится в 3 плоскостях и содержит 3 точки.
• Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 линий.
• Каждая плоскость изоморфна плоскости Фано.
• Каждая пара различных плоскостей пересекается по прямой.
• Прямая и плоскость, не содержащая данную прямую, пересекаются ровно в одной точке.

См. также

• Проективная конфигурация
• лотерея Трансильвании

Ссылки

• Баэз, Джон (2002), «Октонионы» , Bull. амер. Математика. Соц. , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X ( онлайн-версия HTML )
• Браун, Эзра; Гай, Ричард К. (2021) [1995], Единство комбинаторики , MAA Press, ISBN  978-1-4704-5667-2
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Дувр, ISBN  0-486-60300-8
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , МР   0233275
• Глисон, Эндрю М. (1956), «Конечные плоскости Фано», American Journal of Mathematics , 78 (4): 797–807, doi : 10.2307/2372469 , JSTOR   2372469
• Хиршфельд, JWP (1979), Проективная геометрия над конечными полями , Oxford University Press , ISBN  978-0-19-850295-1
• Манивель, Л. (2006), «Конфигурации линий и модели алгебр Ли», Journal of Algebra , 304 (1): 457–486, arXiv : math/0507118 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 , ISSN   0021-8693
• Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Фундаментальные концепции геометрии , Дувр, ISBN  0-486-63415-9
• Писански, Томаж ; Серватиус, Бриджит (2013), Конфигурации с графической точки зрения , Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-8363-4
• Польстер, Буркард (1998), Книга с геометрическими картинками , Springer, ISBN  978-0-387-98437-7
• Стейниц, Эрнст (1894), О построении конфигураций n ₃ (докторская диссертация), Kgl. Университет, Вроцлав
• Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проекционные плоскости , WH Freeman and Co., ISBN  0-7167-0443-9
• ван Линт, Дж. Х.; Уилсон, Р.М. (1992), Курс комбинаторики , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-42260-4

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Самолет Фано» . Математический мир .