Конфигурация (геометрия)

Конфигурации (4 ₃ 6 ₂ ) ( полный четырехугольник , слева) и (6 ₂ 4 ₃ ) (полный четырехугольник, справа).

В математике , особенно в проективной геометрии , конфигурация на плоскости состоит из конечного набора точек и конечного расположения линий , так что каждая точка инцидентна одному и тому же числу прямых, а каждая линия инцидентна одному и тому же числу точек. . ^[1]

Хотя некоторые конкретные конфигурации изучались ранее (например, Томасом Киркманом в 1849 году), формальное изучение конфигураций было впервые введено Теодором Рейе в 1876 году во втором издании его книги «Геометрия дер Lage » в контексте обсуждения Теорема Дезарга . Эрнст Стейниц написал свою диссертацию на эту тему в 1894 году, и они были популяризированы книгой Гильберта и Кон-Фоссенов 1932 года «Anschauliche Geometry» , переизданной на английском языке как «Hilbert & Cohn-Vossen» (1952) .

Конфигурации могут изучаться либо как конкретные наборы точек и линий в определенной геометрии, например евклидовой или проективной плоскости (они считаются реализуемыми в этой геометрии), либо как тип абстрактной геометрии инцидентности . В последнем случае они тесно связаны с регулярными гиперграфами и бирегулярными двудольными графами , но с некоторыми дополнительными ограничениями: каждые две точки структуры инцидентности могут быть сопоставлены не более чем с одной линией, а каждые две линии могут быть сопоставлены не более чем с одной точкой. . То есть обхват соответствующего двудольного графа ( графа Леви конфигурации) должен быть не менее шести.

Обозначения [ править ]

Конфигурация на плоскости обозначается ( $p γ ℓ π$ ), где $p$ — количество точек, $ℓ$ — количество линий, $γ$ — количество линий на точку и $π$ — количество точек на линию. Эти числа обязательно удовлетворяют уравнению

p\gamma =\ell \pi \,

поскольку этот продукт представляет собой количество вхождений точечной линии ( флагов ).

Конфигурации, имеющие один и тот же символ, скажем ( $p γ ℓ π$ ), не обязательно должны быть изоморфными как структуры инцидентности . Например, существуют три различные конфигурации (9 ₃ 9 ₃ ): конфигурация Паппуса и две менее заметные конфигурации.

В некоторых конфигурациях $p = ℓ$ и, следовательно, $γ = π$ . Их называют симметричными или сбалансированными конфигурациями. ^[2] и обозначения часто сокращаются, чтобы избежать повторения. Например, (9 ₃ 9 ₃ ) сокращается до (9 ₃ ).

Примеры [ править ]

Известные проективные конфигурации включают следующее:

(1 ₁ ), простейшая возможная конфигурация, состоящая из точки, инцидентной прямой. Часто исключаются как тривиальные.
(3 ₂ ), треугольник . Каждая из трех его сторон пересекает две из трех вершин, и наоборот. В более общем смысле любой многоугольник из $n$ сторон образует конфигурацию типа ( $n 2$ )
(4 ₃ 6 ₂ ) и (6 ₂ 4 ₃ ), полный четырехугольник и полный четырехугольник соответственно.
(7 ₃ ), плоскость Фано . Эта конфигурация существует как абстрактная геометрия инцидентности , но не может быть построена в евклидовой плоскости .
(8 ₃ ), конфигурация Мёбиуса–Кантора . Эта конфигурация описывает два четырехугольника, одновременно вписанные и описанные друг в друге. Его нельзя построить в евклидовой плоской геометрии, но определяющие его уравнения имеют нетривиальные решения в комплексных числах .
(9 ₃ ), конфигурация Паппуса .
(9 ₄ 12 ₃ ), конфигурация Гессе девяти точек перегиба кубической кривой на комплексной проективной плоскости и двенадцати прямых, определяемых парами этих точек. Эта конфигурация разделяет с плоскостью Фано то свойство, что она содержит каждую линию, проходящую через свои точки; конфигурации с этим свойством известны как конфигурации Сильвестра – Галлаи из-за теоремы Сильвестра – Галлаи , которая показывает, что им нельзя задать координаты вещественного числа. ^[3]
(10 ₃ ) – конфигурация Дезарга .
(12 ₄ 16 ₃ ), конфигурация Рея .
(12 ₅ 30 ₂ ), двойная шестерка Шлефли , образованная 12 из 27 линий на кубической поверхности.
(15 ₃ ), конфигурация Кремоны-Ричмонда , образованная 15 линиями, дополнительными к двойной шестерке, и 15 касательными плоскостями к ним.
(16 ₆ ) – конфигурация Куммера .
(21 ₄ ), конфигурация Грюнбаума–Ригби .
(27 ₃ ), конфигурация Грея
(35 ₄ ), конфигурация Данцера . ^[4]
(60 ₁₅ ), конфигурация Клейна .

Двойственность конфигураций [ править ]

Проективно -двойственная конфигурация ( $p γ ℓ π$ ) представляет собой конфигурацию ( $ℓ π p γ$ ), в которой роли «точки» и «линии» меняются местами. Таким образом, типы конфигураций делятся на двойственные пары, за исключением случаев, когда двойственные результаты получаются в изоморфной конфигурации. Эти исключения называются самодвойственными конфигурациями, и в таких случаях $p = ℓ$ . ^[5]

Количество ( $n 3$ ) конфигураций [ править ]

Число неизоморфных конфигураций типа ( $n 3$ ), начиная с $n = 7$ , задаётся последовательностью

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... (последовательность A001403 в OEIS )

Эти числа считают конфигурации абстрактными структурами инцидентности, независимо от их реализуемости. ^[6]Как обсуждает Гропп (1997) , девять из десяти (10 ₃ ) конфигураций и все конфигурации (11 ₃ ) и (12 ₃ ) реализуемы в евклидовой плоскости, но для каждого $n \geq 16$ существует по крайней мере одна нереализуемая ( $n 3$ ) конфигурация. Гропп также указывает на давнюю ошибку в этой последовательности: в статье 1895 года была предпринята попытка перечислить все (12 ₃ ) конфигурации и было найдено 228 из них, но 229-я конфигурация, конфигурация Гроппа, не была открыта до 1988 года.

Конструкции симметричных конфигураций [ править ]

Существует несколько методов построения конфигураций, обычно на основе известных конфигураций. Некоторые из простейших из этих методов создают симметричные ( $p γ$ ) конфигурации.

Любая конечная проективная плоскость порядка $n$ является (( $n 2 + n + 1) n + 1)$ конфигурация. Пусть $Π$ — проективная плоскость порядка $n$ . Удалите из $Π$ точку $P$ и все прямые из $Π$ , проходящие через $P$ (но не точки, лежащие на этих прямых, кроме $P$ ), и удалите прямую $ℓ,$ не проходящую через $P$ , и все точки, находящиеся на прямой $ℓ$ . В результате получается конфигурация типа (( $n 2 - 1) н)$ . Если в этой конструкции линия $ℓ$ выбрана как линия, которая проходит через $P$ , то в результате построения получается конфигурация типа (( $n 2) н)$ . Поскольку известно, что проективные плоскости существуют для всех порядков $n,$ которые являются степенями простых чисел, эти конструкции дают бесконечные семейства симметричных конфигураций.

Не все конфигурации реализуемы, например, конфигурации (43 ₇ ) не существует. ^[7] Однако Гропп (1990) предложил конструкцию, которая показывает, что для $k \geq 3$ конфигурация ( $pk)$ существует для всех $p \geq 2 ℓ k + 1$ , где $ℓ k$ — длина оптимальной линейки Голомба порядка $k$ .

Нетрадиционные конфигурации [ править ]

Высшие измерения [ править ]

Понятие конфигурации можно обобщить на более высокие измерения. ^[8] например, к точкам, линиям или плоскостям в пространстве . В таких случаях ограничения, согласно которым никакие две точки не принадлежат более чем одной прямой, могут быть ослаблены, поскольку две точки могут принадлежать более чем одной плоскости.

Известными трехмерными конфигурациями являются конфигурация Мёбиуса , состоящая из двух взаимно вписанных тетраэдров, конфигурация Рея , состоящая из двенадцати точек и двенадцати плоскостей, с шестью точками на плоскость и шестью плоскостями на точку, конфигурация Грея, состоящая из 3×3×3. сетка из 27 точек и 27 ортогональных линий, проходящих через них, и двойная шестерка Шлефли , конфигурация с 30 точками, 12 линиями, двумя линиями на точку и пятью точками на линию.

конфигурации Топологические

Конфигурация на проективной плоскости, реализуемая точками и псевдопрямыми, называетсятопологическая конфигурация. ^[2] Например, известно, что не существует точечно-линейных конфигураций (19 ₄ ), однако существует топологическая конфигурация с этими параметрами.

Конфигурации точек и окружностей [ править ]

Другое обобщение понятия конфигурации касается конфигураций точек и окружностей, ярким примером является конфигурация (8 ₃ 6 ₄ ) Микеля . ^[2]

См. также [ править ]

Конфигурация Перля , набор из 9 точек и 9 линий, не все из которых имеют одинаковое количество вхождений друг в друга.

Примечания [ править ]

^ В литературе термины проективная конфигурация ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ) и тактическая конфигурация типа (1,1) ( Dembowski 1968 ) также используются для описания конфигураций, определенных здесь.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Грюнбаум 2009 .
^ Келли 1986 .
^ Грюнбаум, 2008 г. , Бобен, Жевей и Пизански, 2015 г.
^ Коксетер 1999 , стр. 106–149.
^ Беттен, Бринкманн и Пизански 2000 .
^ Эта конфигурация будет проективной плоскостью порядка 6, которой не существует по теореме Брука – Райзера .
^ Жеве 2014 .

Ссылки [ править ]

Берман, Лия В. , «Подвижные ( n ₄ ) конфигурации» , Электронный журнал комбинаторики , 13 (1): R104 .
Беттен, А; Бринкманн, Г.; Писански, Т. (2000), «Подсчет симметричных конфигураций», Discrete Applied Mathematics , 99 (1–3): 331–338, doi : 10.1016/S0166-218X(99)00143-2 .
Бобен, Марко; Жеве, Габор; Писански, Т. (2015), «Пересмотр конфигурации Данцера», Advances in Geometry , 15 (4): 393–408 .
Коксетер, HSM (1999), «Самодуальные конфигурации и регулярные графы», Красота геометрии , Дувр, ISBN 0-486-40919-8
Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , МР 0233275
Гевай, Габор (2014), «Конструкции для конфигураций больших точечных линий (n _k )», Ars Mathematica Contemporanea , 7 : 175-199 .
Гропп, Харальд (1990), «О существовании и несуществовании конфигураций nk _» , Журнал комбинаторики и информационных систем , 15 : 34–48.
Гропп, Харальд (1997), «Конфигурации и их реализация», Discrete Mathematics , 174 (1–3): 137–151, doi : 10.1016/S0012-365X(96)00327-5 .
Грюнбаум, Бранко (2006), «Конфигурации точек и линий», в Дэвисе, Чендлер; Эллерс, Эрих В. (ред.), «Наследие Кокстера: размышления и прогнозы» , Американское математическое общество, стр. 179–225 .
Грюнбаум, Бранко (2008), «Размышления на примере Данцера», Европейский журнал комбинаторики , 29 : 1910-1918 .
Грюнбаум, Бранко (2009), Конфигурации точек и линий , Аспирантура по математике , том. 103, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-4308-6 .
Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 94–170, ISBN 0-8284-1087-9 .
Келли, Л.М. (1986), «Решение проблемы Сильвестра-Галлаи Дж. П. Серра», Дискретная и вычислительная геометрия , 1 (1): 101–104, doi : 10.1007/BF02187687 .
Писански, Томаж ; Серватиус, Бриджит (2013), Конфигурации с графической точки зрения , Springer, ISBN 9780817683641 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , «Конфигурация» , MathWorld

[1] В литературе термины проективная конфигурация ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ) и тактическая конфигурация типа (1,1) ( Dembowski 1968 ) также используются для описания конфигураций, определенных здесь.

[FOOTNOTEGrünbaum2009-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Грюнбаум 2009 .

[FOOTNOTEKelly1986-3] Келли 1986 .

[4] Грюнбаум, 2008 г. , Бобен, Жевей и Пизански, 2015 г.

[5] Коксетер 1999 , стр. 106–149.

[FOOTNOTEBettenBrinkmannPisanski2000-6] Беттен, Бринкманн и Пизански 2000 .

[7] Эта конфигурация будет проективной плоскостью порядка 6, которой не существует по теореме Брука – Райзера .

[FOOTNOTEGévay2014-8] Жеве 2014 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]