Конфигурация Перлеса
В геометрии конфигурация Перля — это система из девяти точек и девяти прямых на евклидовой плоскости , для которой каждая комбинаторно эквивалентная реализация имеет хотя бы одно иррациональное число в качестве одной из своих координат. Его можно построить из диагоналей и линий симметрии правильного пятиугольника , а также их точек пересечения. В свою очередь, его можно использовать для построения выпуклых многогранников более высокой размерности , которым не могут быть заданы рациональные координаты и которые имеют наименьшее количество вершин среди всех известных примеров. Все реализации конфигурации Перля в проективной плоскости эквивалентны друг другу при проективных преобразованиях .
Строительство
[ редактировать ]Один из способов построения конфигурации Перля — начать с правильного пятиугольника и пяти его диагоналей. Эти диагонали образуют стороны меньшего внутреннего пятиугольника, вложенного во внешний пятиугольник. Каждая вершина внешнего пятиугольника расположена напротив вершины внутреннего пятиугольника. Девять точек конфигурации состоят из четырех из пяти вершин каждого пятиугольника и общего центра двух пятиугольников. Две противоположные вершины опущены, по одной из каждого пятиугольника. [1]
Девять линий конфигурации состоят из пяти линий, которые являются диагоналями внешнего пятиугольника и сторонами внутреннего пятиугольника, и четырех линий, которые проходят через центр и через противоположные пары вершин двух пятиугольников. [1]
Проективная инвариантность и иррациональность
[ редактировать ]Реализация конфигурации Перлеса определяется как состоящая из любых девяти точек и девяти линий с одинаковым шаблоном пересечения. Это означает, что точка и линия пересекаются в реализации тогда и только тогда, когда они пересекаются в конфигурации, построенной из правильного пятиугольника. Всякая реализация этой конфигурации в евклидовой плоскости или, в более общем смысле, в вещественной проективной плоскости эквивалентна при проективном преобразовании реализации, построенной таким образом из правильного пятиугольника. [2]
Поскольку перекрестное отношение , число, определяемое по любым четырем коллинеарным точкам, не меняется при проективных преобразованиях, каждая реализация имеет четыре точки, имеющие то же перекрестное отношение, что и перекрестное отношение четырех коллинеарных точек в реализации, полученной из регулярного пятиугольник. Но эти четыре пункта имеют как их перекрестное отношение, где это золотое сечение , иррациональное число. Каждые четыре коллинеарные точки с рациональными координатами имеют рациональное двойное отношение, поэтому конфигурация Перля не может быть реализована с помощью рациональных точек. Бранко Грюнбаум предположил, что каждая конфигурация, которую можно реализовать с помощью иррациональных, но не рациональных чисел, имеет по крайней мере девять точек; если да, то конфигурация Перля будет наименьшей возможной иррациональной конфигурацией точек и линий. [2]
Применение в полиэдральной комбинаторике
[ редактировать ]Перлз использовал свою конфигурацию для построения восьмимерного выпуклого многогранника с двенадцатью вершинами, который аналогичным образом можно реализовать с действительными координатами, но не с рациональными координатами. Точки конфигурации, три из которых удвоены и со знаками, связанными с каждой точкой, образуют диаграмму Гейла Перля многогранника . [3]
Эрнста Стейница Доказательство теоремы Стейница можно использовать, чтобы показать, что каждый трехмерный многогранник может быть реализован с рациональными координатами, но теперь известно, что существуют иррациональные многогранники в четырех измерениях. Следовательно, многогранник Перлеса не имеет наименьшей возможной размерности среди иррациональных многогранников. Однако многогранник Перля имеет наименьшее количество вершин среди всех известных иррациональных многогранников. [3]
История и связанная с ней работа
[ редактировать ]Конфигурация Perles была представлена Михой Перлесом в 1960-х годах. [4] Это не первый известный пример иррациональной конфигурации точек и линий. Мак Лейн (1936) описывает пример из 11 точек, полученный путем применения алгебры бросков фон Штаудта для построения конфигурации, соответствующей квадратному корню из двух . [5]
Существует долгая история изучения правильных проективных конфигураций , конечных систем точек и прямых, в которых каждая точка касается одинакового количества прямых, а каждая прямая касается одинакового количества точек. Однако, несмотря на то, что конфигурация Перля названа так же, как и эти конфигурации, она не является правильной: большинство ее точек касаются трех линий, а большинство ее линий касаются трех точек, но есть одна линия из четырех точек и одна точка на четырех линиях. В этом отношении она отличается от конфигурации Паппуса , которая также имеет девять точек и девять линий, но с тремя точками на каждой линии и тремя линиями, проходящими через каждую точку. [6]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Зиглер (2008) .
- ^ Jump up to: а б Грюнбаум (2003) .
- ^ Jump up to: а б Грюнбаум (2003) , с. 96а.
- ^ Грюнбаум (2003) ; Зиглер (2008) ; Бергер (2010)
- ^ Мак Лейн (1936) ; Зиглер (2008)
- ^ Бергер (2010) .
Ссылки
[ редактировать ]- Бергер, Марсель (2010), «I.4 Три конфигурации аффинной плоскости и что с ними случилось: Папп, Дезарг и Перль», «Геометрия раскрыта » , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 17–23, дои : 10.1007/978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1 , МР 2724440
- Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники , Тексты для аспирантов по математике, том. 221 (второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 93–95, ISBN. 978-0-387-00424-2 , МР 1976856
- Мак Лейн, Сондерс (1936), «Некоторые интерпретации абстрактной линейной зависимости с точки зрения проективной геометрии», American Journal of Mathematics , 58 (1): 236–240, doi : 10.2307/2371070 , JSTOR 2371070 , MR 1507146
- Циглер, Гюнтер М. (2008), «Нерациональные конфигурации, многогранники и поверхности», The Mathematical Intelligencer , 30 (3): 36–42, arXiv : 0710.4453 , doi : 10.1007/BF02985377 , MR 2437198