Конфигурация Паппуса
В геометрии конфигурация Паппа — это конфигурация из девяти точек и девяти прямых на евклидовой плоскости , с тремя точками на линию и тремя прямыми, проходящими через каждую точку. [1]
История и строительство [ править ]
Эта конфигурация названа в честь Паппа Александрийского . Теорема Паппа о шестиугольнике утверждает, что каждые две тройки коллинеарных точек ABC и abc (ни одна из которых не лежит на пересечении двух прямых) могут быть дополнены, образуя конфигурацию Паппа, путем добавления шести линий Ab , aB , Ac , aC , Bc . и bC , и три их точки пересечения X = Ab · aB , Y = Ac · aC и Z = Bc · bC . Эти три точки являются точками пересечения «противоположных» сторон шестиугольника AbCaBc . Согласно теореме Паппуса, полученная система из девяти точек и восьми прямых всегда имеет девятую линию, содержащую три точки пересечения X , Y и Z , называемую линией Паппуса . [2]
Конфигурация Паппуса также может быть получена из двух треугольников △ XcC и △ YbB , которые находятся в перспективе друг с другом (три линии, проходящие через соответствующие пары точек, встречаются в одной точке пересечения) тремя разными способами вместе с их тремя центрами перспективы. З , А и А. Точками конфигурации являются точки треугольников и центров перспективы, а линиями конфигурации — линии, проходящие через соответствующие пары точек.
Родственные конструкции [ править ]
Граф Леви конфигурации Паппуса известен как граф Паппуса . Это двудольный симметричный кубический граф с 18 вершинами и 27 ребрами. [3]
Добавление еще трех параллельных линий к конфигурации Паппуса через каждую тройку точек, которые еще не соединены линиями конфигурации, дает конфигурацию Гессе . [4]
Как и конфигурация Паппа, конфигурация Дезарга может быть определена в терминах перспективных треугольников, а конфигурация Рея может быть определена аналогичным образом из двух тетраэдров, которые находятся в перспективе друг с другом четырьмя различными способами, образуя десмическую систему тетраэдров.
Для любой неособой кубической кривой на евклидовой плоскости, трех действительных точек перегиба кривой и четвертой точки кривой существует единственный способ дополнить эти четыре точки, чтобы сформировать конфигурацию Паппуса таким образом, чтобы все девять точек лежать на кривой. [5]
Приложения [ править ]
Вариант конфигурации Паппуса обеспечивает решение проблемы посадки фруктовых садов , проблемы поиска наборов точек, которые имеют максимально возможное количество линий, проходящих через три точки. Девять точек конфигурации Паппуса образуют всего девять трехточечных линий. Однако их можно расположить так, чтобы была еще одна трехочечная линия, всего их будет десять. Это максимально возможное количество трёхочковых линий через девять точек. [6]
Ссылки [ править ]
- ^ Грюнбаум, Бранко (2009), Конфигурации точек и линий , Аспирантура по математике , том. 103, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-4308-6 , МР 2510707 .
- ^ Грюнбаум (2009) , с. 9.
- ^ Грюнбаум (2009) , с. 28.
- ^ Коксетер, HSM (1950), «Самодвойственные конфигурации и регулярные графы», Бюллетень Американского математического общества , 56 (5): 413–455, doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5
- ^ Мендельсон, Н.С.; Падманабхан, Р.; Волк, Барри (1987), «Некоторые замечания о «n»-кластерах на кубических кривых», в Колборне, Чарльз Дж.; Матон, Р.А. (ред.), Комбинаторная теория проектирования , Анналы дискретной математики, том. 34, Elsevier, стр. 371–378, номер документа : 10.1016/S0304-0208(08)72903-7 , ISBN. 9780444703286 , МР 0920661 .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A003035» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS