Папп Александрийский

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Эта статья о греческом математике. О строении цветка см. Паппус (ботаника) .

Паппа Титульный лист Mathematicae Collectiones , переведенный на латынь Федерико Коммандино (1588 г.).

Папп Александрийский ( / ˈ p æ p ə s / ; греческий : Παππος Ἀλεξανδρεύς ; ок. 290 – ок. 350 н.э.) был греческим математиком поздней античности , известным своей Синагогой (Синагогой) или Коллекцией ( ок. 340 ), [1] и для теоремы Паппа о шестиугольнике в проективной геометрии . О его жизни почти ничего не известно, за исключением того, что можно найти в его собственных сочинениях, многие из которых утеряны. Папп, по-видимому, жил в Александрии , где работал учителем математики у студентов старших классов, таких как Гермодор. [2]

« Сборник » , его самая известная работа, представляет собой сборник математических знаний в восьми томах, большая часть которых сохранилась. Он охватывает широкий спектр тем, которые были частью древней учебной программы по математике, включая геометрию , астрономию и механику . [1]

Папп активно работал в период, который обычно считается периодом застоя в математических исследованиях, и здесь он представляет собой примечательное исключение. [3] Во многих отношениях его судьба поразительно напоминает судьбу Диофанта , первоначально имевшего ограниченное значение, но ставшего очень влиятельным в периоды позднего Возрождения и раннего Нового времени .

Знакомство [ править ]

В своих сохранившихся сочинениях Папп не указывает дату авторов, чьи произведения он использует, или время (но см. ниже), когда он сам писал. Если бы никакой другой информации о дате не было, все, что можно было бы знать, это то, что он был позже Птолемея (умер около 168 г. н. э.), которого он цитирует, и раньше, чем Прокл (родился около 411 г. ), который цитирует его. [3]

X века Суда утверждает, что Папп был ровесником Теона Александрийского , действовавшего во времена правления императора Феодосия I (372–395). [4] Другая дата указана в примечании на полях к рукописи конца X века. [3] (копия хронологической таблицы того же Теона), в которой рядом с записью об императоре Диоклетиане (годы правления 284–305 гг.) говорится, что «в это время писал Папп». [5]

Однако поддающаяся проверке дата основана на датировке солнечного затмения, упомянутого самим Паппом. В своем комментарии к «Альмагесту» он вычисляет «место и время соединения, которое привело к затмению в Тиби в 1068 году после Набонассара ». Это соответствует 18 октября 320 года, следовательно, Папп, должно быть, был активен около 320 года. [2]

Работает [ править ]

Математические сборники , 1660 г.

Великий труд Паппа в восьми книгах под названием «Синагога или Сборник » не сохранился в полном виде: первая книга утеряна, а остальные значительно пострадали. перечислены В Суде и другие произведения Паппа: Χωρογραφία οἰκουμενική ( Chorography oikoumenike или Описание обитаемого мира ), комментарий к четырем книгам , Альмагеста Птолемея . Ποταμοὺς τοὺς Λιβύῃ (« Реки в Ливии ») и Ὀνειροκριτικά (« Толкование снов») ). [4] Сам Папп упоминает еще один собственный комментарий к Ἀνάλημμα ( аналемме ) Диодора Александрийского . Папп также написал комментарии к ( Евклида «Началам» фрагменты которых сохранились у Прокла и Схолии Птолемея , а комментарий к десятой книге был найден в арабской рукописи) и к « » Гармонике . [3]

Федерико Коммандино перевел « Собрание Паппа» на латынь в 1588 году. Немецкий классик и историк математики Фридрих Хульч (1833–1908) опубликовал полное трехтомное изложение перевода Коммандино с греческой и латинской версиями (Берлин, 1875–1878). Используя работы Хюльча, бельгийский историк математики Поль вер Эке первым опубликовал перевод Сборника на современный европейский язык; его двухтомный французский перевод имеет название Pappus d'Alexandrie. Математическая коллекция. (Париж и Брюгге, 1933 г.). [6]

Коллекция [ править ]

Характерной чертой « Сборника Паппа » является то, что он содержит систематизированный отчет о наиболее важных результатах, полученных его предшественниками, и, во-вторых, заметки, поясняющие или расширяющие предыдущие открытия. Фактически, эти открытия составляют текст, который Папп дискурсивно развивает. Хит считал ценными систематические введения к различным книгам, поскольку они ясно излагают содержание и общий объем рассматриваемых тем. По этим вступлениям можно судить о стиле письма Паппа, который превосходен и даже элегантен в тот момент, когда он свободен от оков математических формул и выражений. Хит также обнаружил, что его характерная точность сделала его Сборник «самой замечательной заменой текстов многих ценных трактатов более ранних математиков, которых нас лишило время». [3]

Сохранившиеся части Коллекции можно резюмировать следующим образом. [7]

Страницы из Математического сборника , изданного в Венеции в 1589 году.

Книга I [ править ]

Книга I полностью утеряна. Мы можем только предполагать, что утерянная Книга I, как и Книга II, была посвящена арифметике, поскольку Книга III явно вводилась как начало нового предмета. [3]

Книга II [ править ]

Вся Книга II (прежняя часть утеряна, существующий фрагмент начинается с середины 14-го предложения) [3] обсуждается метод умножения из безымянной книги Аполлония Пергского . Последние предложения касаются умножения числовых значений греческих букв в двух стихотворных строках, в результате чего получаются два очень больших числа, примерно равных 2 × 10. 54 и 2 × 10 38 . [8]

Книга III [ править ]

Книга III содержит геометрические задачи, плоские и объемные. Его можно разделить на пять разделов: [3]

  1. О знаменитой задаче нахождения двух средних пропорциональных между двумя заданными прямыми, возникшей из задачи об удвоении куба, сведенной Гиппократом Хиосским к первой. Папп дает несколько решений этой задачи, в том числе метод последовательных приближений к решению, значение которого он, по-видимому, не оценил; он добавляет свое собственное решение более общей проблемы геометрического нахождения стороны куба, содержимое которой находится в любом заданном отношении к данному. [3]
  2. Об арифметических, геометрических и гармонических средних между двумя прямыми и проблеме изображения всех трех в одной и той же геометрической фигуре. Это служит введением в общую теорию средств, из которых Папп различает десять видов и дает таблицу, представляющую примеры каждого в целых числах. [3]
  3. О любопытной задаче, предложенной Евклидом I. 21. [3]
  4. О вписании каждого из пяти правильных многогранников в сферу. [3] Здесь Папп заметил, что правильный додекаэдр и правильный икосаэдр можно вписать в одну и ту же сферу так, чтобы все их вершины лежали на одних и тех же 4 кругах широты, причем по 3 из 12 вершин икосаэдра на каждом круге и 5 из 20 вершин додекаэдра. на каждом круге. Это наблюдение было обобщено на двойственные многогранники более высокой размерности . [9]
  5. Дополнение более позднего автора о другом решении первой проблемы книги. [3]

Книга IV [ править ]

В книге IV название и предисловие утеряны, так что программу приходится собирать из самой книги. В начале следует известное обобщение Евклида I.47 ( теорема Паппа о площади ), затем следуют различные теоремы об окружности, ведущие к задаче о построении окружности, которая должна описать три заданные окружности, касаясь друг друга двумя. и два. Это и несколько других положений о контакте, например, случаи, когда круги касаются друг друга и вписаны в фигуру, состоящую из трех полукругов и известную как арбелос («нож сапожника»), составляют первый раздел книги; Затем Папп обращается к рассмотрению некоторых свойств спирали Архимеда , раковины Никомеда (уже упомянутой в Книге I как обеспечивающей метод удвоения куба) и кривой, открытой, скорее всего, Гиппием Элидским около 420 г. до н. э. и известной имя, τετραγωνισμός, или квадратриса . Предложение 30 описывает построение кривой двойной кривизны, названной Паппом спиралью на сфере; он описывается точкой, движущейся равномерно по дуге большого круга, которая сама равномерно вращается вокруг своего диаметра, точка, описывающая квадрант, а большой круг - полный оборот за одно и то же время. Найдена площадь поверхности, заключенная между этой кривой и ее основанием – первый известный случай квадратуры искривленной поверхности. Остальная часть книги посвящена трисекция угла и решение более общих задач того же рода с помощью квадратрисы и спирали. Одним из решений первой проблемы является первое зарегистрированное использование свойства коники (гиперболы) по отношению к фокусу и директрисе. [10]

Book V [ edit ]

В книге V, после интересного предисловия о правильных многоугольниках и содержащего замечания о шестиугольной форме ячеек сот , Папп обращается к сравнению площадей различных плоских фигур, имеющих одинаковый периметр (следуя . трактату Зенодора) по этому поводу), и объемов различных объемных фигур, имеющих все ту же поверхностную площадь, и, наконец, сравнение пяти правильных тел Платона . Между прочим, Папп описывает тринадцать других многогранников, ограниченных равносторонними и равноугольными, но не подобными многоугольниками, открытыми Архимедом , и находит методом, напоминающим метод Архимеда, поверхность и объем сферы. [10]

Книга VI [ править ]

Согласно предисловию, Книга VI предназначена для разрешения затруднений, возникающих в так называемых «Малых астрономических трудах» (Μικρὸς Ἀστρονομούμενος), т. е. произведениях, отличных от «Альмагеста» . Соответственно, он комментирует «Сферику » Феодосия , « Подвижную сферу » Автолика , книгу Феодосия «О дне и ночи» , трактат Аристарха «О размерах и расстояниях Солнца и Луны» Евклида , а также «Оптику и явления» . [10]

Книга VII [ править ]

Поскольку Мишель Шасль цитировал эту книгу Паппа в своей истории геометрических методов, [11] оно стало объектом значительного внимания.

В предисловии к книге VII объясняются термины «анализ» и «синтез», а также различие между теоремой и проблемой. Затем Папп перечисляет сочинения Евклида , Аполлония , Аристея и Эратосфена , всего тридцать три книги, содержание которых он намеревается изложить, с леммами, необходимыми для их разъяснения. Упоминание поризмов Евклида дает нам представление об отношении поризма к теореме и проблеме. В то же предисловие включена (а) знаменитая задача, известная под именем Паппа, часто формулируемая следующим образом: по заданному числу прямых линий найти геометрическое место точки такое, что длины перпендикуляров на ней или (в более общем смысле) ) линии, проведенные от нее наклонно при данных наклонах к, данные линии удовлетворяют условию, что произведение некоторых из них может находиться в постоянном отношении к произведению остальных; (Папп выражает это не в этой форме, а посредством составления отношений, говоря, что если дано отношение, составленное из отношений пар одной из одной совокупности и одной из другой, проведенных таким образом линий, и отношения нечетной, если таковая имеется, к данной прямой, точка будет лежать на кривой, заданной в положении); (б) теоремы, которые были переоткрыты и названы в честь Пола Гулдина , но, похоже, был обнаружен самим Паппом. [10]

Книга VII также содержит

  1. под заголовком Desectione Determinata Аполлония — леммы, которые при внимательном рассмотрении оказываются случаями инволюции шести точек; [10]
  2. важные леммы о поризмах Евклида, [10] включая так называемую теорему Паппа о шестиугольнике ; [12]
  3. лемма о поверхностных местах Евклида, которая утверждает, что место точки, расстояние от которой до данной точки находится в постоянном отношении к ее расстоянию от данной прямой линии, является коникой , и сопровождается доказательством того, что коника является парабола , эллипс или гипербола в зависимости от того, равно ли постоянное отношение, меньше или больше 1 (первые зафиксированные доказательства свойств, которых нет у Аполлония). [10]

Цитата Шасла о Паппе была повторена Вильгельмом Бляшке. [13] и Дирк Струик . [14] В Кембридже, Англия, Джон Дж. Милн дал читателям возможность прочитать Паппуса. [15] диссертацию в Университете Брауна В 1985 году Александр Джонс написал на эту тему . Пересмотренная форма его перевода и комментариев была опубликована Springer-Verlag в следующем году. Джонсу удается показать, как Папп манипулировал полным четырехугольником , использовал соотношение проективных гармонических сопряжений и продемонстрировал понимание перекрестных отношений точек и линий. Более того, концепция полюса и полярности раскрывается как лемма в Книге VII. [16]

Книга VIII [ править ]

В книге VIII в основном рассматриваются механика, свойства центра тяжести и некоторые механические силы. Вкраплены некоторые положения по чистой геометрии. Предложение 14 показывает, как провести эллипс через пять заданных точек, а предложение 15 дает простую конструкцию осей эллипса, когда пара сопряженных диаметров . задана [10]

Наследие [ править ]

Паппа Сборник был практически неизвестен арабам и средневековым европейцам, но оказал большое влияние на математику 17-го века после того, как был переведен на латынь Федерико Коммандино . [17] » Диофанта «Арифметика Паппа» и « Сборник были двумя основными источниками « Виета Исагоги » в artem Analytam (1591). [18] Проблема Паппа и ее обобщение привели Декарта к развитию аналитической геометрии . [19] Ферма также разработал свою версию аналитической геометрии и свой метод максимумов и минимумов на основе краткого изложения Паппа утраченных работ Аполлония « Плоскость места» и « На определенном сечении» . [20] Другими математиками, находящимися под влиянием Паппа, были Пачоли , да Винчи , Кеплер , ван Румен , Паскаль , Ньютон , Бернулли , Эйлер , Гаусс , Жергонн , Штайнер и Понселе . [21]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Перейти обратно: а б Берд, Джон (14 июля 2017 г.). Инженерная математика . Тейлор и Фрэнсис. п. 590. ИСБН  978-1-317-20260-8 .
  2. ^ Перейти обратно: а б Пьер Дедрон, Ж. Итар (1959) Математика и математики , Vol. 1, с. 149 (пер. Джудит В. Филд ) (Студенческая библиотека Transworld, 1974)
  3. ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час я дж к л м Хит 1911 , с. 740.
  4. ^ Перейти обратно: а б Уайтхед, Дэвид (ред.). «Суда онлайн – Паппос» . Suda On Line и Консорциум Stoa . Проверено 11 июля 2012 года . Александриец, философ, родившийся во времена старшего императора Феодосия, когда процветал и философ Теон, тот самый, который написал о Каноне Птолемея. Его книги: « Описание обитаемого мира» ; комментарий к четырем книгам « Великого синтаксиса» Птолемея; Реки в Ливии ; и Толкование снов .
  5. ^ Райдаут, Бронвин (2008). Папп возрождается: Папп Александрийский и меняющееся лицо анализа и синтеза в поздней античности (магистерская диссертация). Гуманитарный университет Кентербери. п. 14. дои : 10.26021/3834 . hdl : 10092/2329 .
  6. ^ Смит, Дэвид Юджин (январь 1934 г.). «Обзор Паппуса д'Александрия. La Collection Mathématique. Поля вер Эке» (PDF) . Бык. Являюсь. Математика. Соц . 40 (1): 11–12. дои : 10.1090/S0002-9904-1934-05766-5 .
  7. ^ Уивер, Джеймс Генри (1916). «Паппус. Вступительная статья» . Бык. амер. Математика. Соц . 23 (3): 127–135. дои : 10.1090/S0002-9904-1916-02895-3 .
  8. ^ Папп Александрийский, пер. на латынь Фридриха Хульча То, что осталось от александрийской коллекции Паппи . В Вейдмансе, 1877, стр. 19–29.
  9. ^ HSM Коксетер (23 мая 2012 г.). Правильные многогранники . Курьерская компания. п. 88 238. ISBN  978-0-486-14158-9 .
  10. ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час Хит 1911 , с. 741.
  11. ^ Мишель Шасль (1837) Исторический обзор происхождения и развития методов геометрии , особенно страница 302; см. также стр. 12, 78 и 518.
  12. ^ Хит 1911b , с. 102.
  13. ^ Вильгельм Блашке (1948) Проективная геометрия , страница 140
  14. ^ Дирк Струик (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , стр. 19, Аддисон-Уэсли
  15. ^ Милн 1911 .
  16. ^ Джонс (1986) . О полном четырехугольнике, обратных отношениях и гармонических сопряжениях см., например, с. 560. Обсуждение результатов Паппа о полюсах и полярах см., напр., с. 568.
  17. ^ Маркизотто, Елена Энн (июнь 2002 г.). «Теорема Паппа: мост между алгеброй и геометрией». Американский математический ежемесячник . 109 (6): 497–516. дои : 10.2307/2695440 . JSTOR   2695440 .
  18. ^ Форбс, Эрик Дж. (май 1977 г.). «Декарт и рождение аналитической геометрии» . История Математики . 4 (2): 141–151. дои : 10.1016/0315-0860(77)90105-7 .
  19. ^ Бойер, Карл Б. (1949). «Изобретение аналитической геометрии» . Научный американец . 180 (1): 40–45. Бибкод : 1949SciAm.180a..40B . doi : 10.1038/scientificamerican0149-40 .
  20. ^ Махони, Майкл С. (6 октября 1972 г.). «Математика Ферма: доказательства и предположения: рабочие привычки Ферма как математика пролили новый свет на тайну его знаменитой «последней теоремы» ». Наука . 178 (4056): 30–36. дои : 10.1126/science.178.4056.30 . JSTOR   1734005 . ПМИД   17754730 .
  21. ^ Ваннер, Герхард (2012). «Важность Паппа для развития математики». Численный анализ и прикладная математика Icnaam 2012: Международная конференция по численному анализу и прикладной математике . Материалы конференции AIP. 1479 (1): 9–10. Бибкод : 2012AIPC.1479....9W . дои : 10.1063/1.4756049 .

Ссылки [ править ]

Атрибуция:

Дальнейшее чтение [ править ]

  • «Папп Александрийский (жил ок. 200–350 гг. Н. Э.)». Словарь научной биографии Хатчинсона . Издательство Геликон. 2004. Греческий математик, астроном и географ, чье главное значение заключается в его комментариях к математическим работам его предшественников.
  • Экке, Поль Вер (1933). Папп Александрийский: Математический сборник с введением и примечаниями (2 тома Fondation Universitaire de Belgique, изд.). Париж: Альбер Бланшар.

Внешние ссылки [ править ]

В Wikiquote есть цитаты, связанные с Паппом Александрийским .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pappus_of_Alexandria&oldid=1225528399"