Гипотеза о сотах

Правильная шестиугольная сетка

Эти соты образуют круглую упаковку с кругами в центре каждого шестиугольника.

Гипотеза о сотах утверждает, что правильная шестиугольная сетка или соты имеют наименьший общий периметр среди всех подразделений плоскости на области равной площади. Гипотеза была доказана в 1999 году математиком Томасом Хейлзом .

Теорема

Позволять $\Gamma$ — любая система гладких кривых в $\mathbb {R} ^{2}$, разбиение плоскости на области (компоненты связности дополнения $\Gamma$), все из которых ограничены и имеют единичную площадь. Тогда, усреднённая по большим дискам на плоскости, средняя длина $\Gamma$ на единицу площади по крайней мере так же велик, как и для шестиугольной мозаики. Теорема применима, даже если дополнение $\Gamma$ имеет дополнительные компоненты, которые не ограничены или площадь которых не равна единице; разрешение этих дополнительных компонентов не может сократить $\Gamma$. Формально пусть $B(0,r)$ обозначим диск радиуса $r$ с центром в начале координат, пусть $L_{r}$ обозначаем общую длину $\Gamma \cap B(0,r)$, и пусть $A_{r}$ обозначаем общую площадь $B(0,r)$ покрыты ограниченными компонентами единичной площади. (Если это единственные компоненты, то $A_{r}=\pi r^{2}$.) Тогда теорема утверждает, что $$\limsup _{r\to \infty }{\frac {L_{r}}{A_{r}}}\geq {\sqrt[{4}]{12}}.$$Значение в правой части неравенства представляет собой предельную длину единицы площади шестиугольной мозаики.

История

Первое упоминание о гипотезе датируется 36 г. до н. э., принадлежит Марку Теренцию Варрону , но часто приписывается Паппу Александрийскому ( ок. 290 – ок. 350 ). В 17 веке Ян Брожек использовал аналогичную теорему, чтобы доказать, почему пчелы создают шестиугольные соты . В 1943 году Ласло Фейеш Тот опубликовал доказательство частного случая гипотезы, в которой каждая ячейка должна быть выпуклым многоугольником . Полная гипотеза была доказана в 1999 году математиком Томасом К. Хейлсом , который упоминает в своей работе, что есть основания полагать, что гипотеза могла присутствовать в умах математиков до Варрона.

Это также связано с самой плотной упаковкой кругов на плоскости, при которой каждый круг касается шести других кругов, которые занимают чуть более 90% площади плоскости.

Случай, когда задача ограничена квадратной сеткой, был решен в 1989 году Джайгёном Чхве, который доказал, что оптимальной фигурой является неправильный шестиугольник.

См. также

• Структура Вейра – Фелана , контрпример к Кельвина гипотезе о решении аналогичной задачи в 3D.