Шестиугольник

Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
	Правильный шестиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	6
Символ Шлефли	{6}, т{3}
Диаграммы Кокстера – Дынкина	;
Группа симметрии	Двугранник (Д 6 ), порядка 2х6
Внутренний угол ( градусы )	120°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии шестиугольник греческого (от , что ἕξ , hex , что означает «шесть», и γωνία , gonía означает «угол, угол») представляет собой шестигранный многоугольник . ^[1] Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника равна 720°.

Правильный шестиугольник

шестиугольник Правильный . имеет символ Шлефли {6} ^[2] а также может быть построен как усеченный равносторонний треугольник t{3}, в котором чередуются два типа ребер.

Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который является равносторонним и равноугольным . Он бицентричен , что означает, что он одновременно циклический (имеет описанную окружность) и касательный (имеет вписанную окружность).

Общая длина сторон равна радиусу описанной окружности или описанной окружности , которая равна ${\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ раз апофему (радиус вписанной окружности ). Все внутренние углы равны 120 градусов . Правильный шестиугольник имеет шесть вращательных симметрий ( шестого порядка ) и шесть отражательных симметрий ( шесть линий симметрии ), составляющих группу диэдра D6 _{вращательная симметрия} . Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины, в два раза превышают длину одной стороны. Отсюда видно, что треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и одной стороной, разделяющей шестиугольник, является равносторонним и что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников.

Подобно квадратам и равносторонним треугольникам , правильные шестиугольники соединяются друг с другом без каких-либо зазоров, образуя плитку плоскости (три шестиугольника встречаются в каждой вершине), и поэтому полезны для построения мозаики . По этой причине ячейки сотового улья имеют шестиугольную форму, а также потому, что такая форма позволяет эффективно использовать пространство и строительные материалы. Диаграмма Вороного правильной треугольной решетки представляет собой сотовую мозаику шестиугольников.

Пошаговая анимация построения правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки , данная в , » Евклида « Началах Книга IV, Предложение 15: это возможно как 6

=

2 × 3, произведение степени двух и различных простых чисел Ферма .

Когда длина стороны AB задана, проведение дуги окружности из точки A и точки B дает пересечение M, центр описанной окружности . Перенесите отрезок АВ четыре раза на описанную окружность и соедините угловые точки.

Параметры

Максимальный диаметр (который соответствует длинной диагонали шестиугольника) D в два раза превышает максимальный радиус или описанной окружности радиус R , который равен длине стороны t . Минимальный диаметр или диаметр вписанной окружности (разделение параллельных сторон, расстояние между плоскостями, короткая диагональ или высота при опоре на плоское основание), d , в два раза превышает минимальный радиус или внутренний радиус , r . Максимумы и минимумы связаны одним и тем же фактором:

{\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t

и, аналогично,

d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.

Площадь правильного шестиугольника

{\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\[3pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\[3pt]&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}

Для любого правильного многоугольника площадь также можно выразить через апофему a и периметр p . Для правильного шестиугольника они определяются как a = r и p ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$ , так

{\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}

Правильный шестиугольник заполняет дробь ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$ своего описанного круга .

Если правильный шестиугольник имеет последовательные вершины A, B, C, D, E, F и если P — любая точка описанной окружности между B и C, то PE + PF = PA + PB + PC + PD .

следует Из отношения радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу , что отношение высоты к ширине правильного шестиугольника составляет 1:1,1547005; то есть шестиугольник с длинной диагональю 1,0000000 будет иметь расстояние 0,8660254 между параллельными сторонами.

Точка в плоскости

Для произвольной точки плоскости правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности $R$ , расстояния которого до центра тяжести правильного шестиугольника и шести его вершин равны $L$ и $d_{i}$ соответственно, мы имеем ^[3]

d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),

d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),

d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).

Если $d_{i}$ — расстояния от вершин правильного шестиугольника до любой точки его описанной окружности, тогда ^[3]

\left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.

Симметрия

Пример шестиугольников по симметрии

Правильный шестиугольник имеет _{симметрию D6} . Всего 16 подгрупп. Всего их 8 с точностью до изоморфизма: сам (D ₆ ), 2 двугранника: (D _3, D ₂ ), 4 циклических : (Z ₆ , Z ₃ , Z ₂ , Z ₁ ) и тривиальный (e)

Эти симметрии выражают девять различных симметрий правильного шестиугольника. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. ^[4] r12 — полная симметрия, а a1 — отсутствие симметрии. p6 , изогональный шестиугольник, построенный из трех зеркал, может чередовать длинные и короткие ребра, и d6 , изотоксальный шестиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуются с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника. Формы i4 представляют собой правильные шестиугольники, сплюснутые или вытянутые вдоль одного направления симметрии. Его можно рассматривать как вытянутый ромб , а d2 и p2 можно рассматривать как вытянутые по горизонтали и вертикали воздушные змеи . Шестиугольники g2 , у которых противоположные стороны параллельны, также называются шестиугольными параллелогонами .

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Лишь подгруппа g6 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Шестиугольники симметрии g2 , i4 и r12 , как параллелогоны, могут замощить евклидову плоскость путем перемещения. Другие шестиугольные формы могут располагать плитку с разной ориентацией.

п 6 м (*632)	см (2*22)	п 2 (2222)	п 31 м (3*3)	пмг (22*)		пг (××)
р12	я4	g2	d2	d2	п2	а1
Дих ₆	Дих ₂	З ₂	Дих ₁			З ₁

Группы А2 и G2

Корни группы A2	Корни группы G2

6 корней простой группы Ли A2 , представленной диаграммой Дынкина. , имеют правильную шестиугольную форму. Между двумя простыми корнями угол составляет 120°.

12 корней исключительной группы Ли G2 , представленных диаграммой Дынкина. также имеют шестиугольную форму. Два простых корня разной длины имеют между собой угол 150°.

Диссекция

6-кубовая проекция	12 ромбовидное рассечение

Коксетер утверждает, что любой зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на 1 ⁄ 2 м ( м − 1) параллелограммов. ^[5] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. шестиугольника основано на Петри многоугольной проекции куба Это разложение правильного с 3 из 6 квадратных граней. Остальные параллелогоны и проективные направления куба расчленены внутри прямоугольных кубоидов .

Разрезание шестиугольников на три ромба и параллелограмма.
2D	ромбы	Параллелограммы

	Обычный {6}	Шестиугольные параллелогоны
3D	Квадратные лица		Прямоугольные лица

	Куб		Прямоугольный кубоид

Связанные многоугольники и мозаики

Правильный шестиугольник имеет символ Шлефли {6}. Правильный шестиугольник — это часть правильной шестиугольной мозаики {6,3} с тремя шестиугольными гранями вокруг каждой вершины.

Правильный шестиугольник также можно создать как усеченный равносторонний треугольник с символом Шлефли t{3}. Если рассматривать эту форму с двумя типами (цветами) ребер, то она имеет только симметрию D ₃ .

шестиугольник Усеченный t{6} — это додекагон {12}, в котором чередуются два типа (цвета) ребер. шестиугольник Перемеженный h{6} представляет собой равносторонний треугольник {3}. Правильный шестиугольник может быть звездчатым с равносторонними треугольниками на его краях, образуя гексаграмму . Правильный шестиугольник можно разрезать на шесть равносторонних треугольников, добавив центральную точку. Этот узор повторяется внутри обычной треугольной мозаики .

Правильный шестиугольник можно расширить до правильного двенадцатиугольника , добавив вокруг него чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники . Этот узор повторяется внутри ромбо-гексагональной мозаики .

Обычный {6}	Усечено т{3} = {6}	Сверхусеченные треугольники			звездчатый Фигура звезды 2{3}	Усечено т{6} = {12}	Чередование ч{6} = {3}

Перекрещенный шестиугольник	Вогнутый шестиугольник	Самопересекающийся шестиугольник ( звездчатый многоугольник ).	Расширенный Центральный {6} в {12}	Косой шестиугольник внутри куба	Разрезанный {6}	проекция октаэдр	Полный график

Самопересекающиеся шестиугольники

Существует шесть самопересекающихся шестиугольников с расположением вершин правильного шестиугольника:

Самопересекающиеся шестиугольники с правильными вершинами
Дих ₂			Дих ₁		Дих ₃
восьмерка	Центр-флип	Уникурсальный	Рыбий хвост	Двойной хвост	Тройной хвост

Шестиугольные структуры

От пчелиных сот до Дороги гигантов , шестиугольные узоры широко распространены в природе благодаря своей эффективности. В шестиугольной сетке каждая линия должна быть настолько короткой, насколько это возможно, если большая площадь должна быть заполнена наименьшим количеством шестиугольников. Это означает, что для изготовления сот требуется меньше воска , и они приобретают большую прочность при сжатии .

Неправильные шестиугольники с параллельными противоположными краями называются параллелогонами и также могут замостить плоскость путем перемещения. В трех измерениях шестиугольные призмы с параллельными противоположными гранями называются параллелоэдрами , и они могут мозаику трехмерного пространства путем перемещения.

Мозаика шестиугольной призмы
Форма	Шестиугольная плитка	Шестиугольные призматические соты
Обычный
параллелогональный

Мозаика шестиугольниками

В дополнение к правильному шестиугольнику, который определяет уникальную мозаику плоскости, любой неправильный шестиугольник, удовлетворяющий критерию Конвея , замостит плоскость.

Шестиугольник, вписанный в коническое сечение

Теорема Паскаля (также известная как «Теорема Hexagrammum Mysticum») гласит, что если произвольный шестиугольник вписан в любое коническое сечение и пары противоположных сторон продлены до тех пор, пока они не встретятся, то три точки пересечения будут лежать на прямой линии, Pascal line» этой конфигурации.

Циклический шестиугольник

Шестиугольник Лемуана — это циклический шестиугольник (вписанный в окружность) с вершинами, заданными шестью пересечениями ребер треугольника и тремя прямыми, параллельными ребрам, проходящим через его симедиану точку .

Если последовательные стороны вписанного шестиугольника — это a , b , c , d , e , f , то три основные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . ^[6]

Если для каждой стороны вписанного шестиугольника смежные стороны продолжены до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне, то отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают . ^[7]

Если шестиугольник имеет вершины на описанной окружности остроугольного треугольника в шести точках (включая три вершины треугольника), где расширенные высоты треугольника пересекаются с описанной окружностью, то площадь шестиугольника в два раза больше площади треугольника. ^[8]^{: с. 179}

Шестиугольник, касательный к коническому сечению

Пусть ABCDEF — шестиугольник, образованный шестью касательными к коническому сечению. Тогда теорема Брианшона утверждает, что три главные диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

В шестиугольнике, который касается окружности и имеет последовательные стороны a , b , c , d , e и f , ^[9]

a+c+e=b+d+f.

Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника

Если на каждой стороне любого шестиугольника снаружи построить равносторонний треугольник , то середины отрезков, соединяющих центры тяжести противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник. ^[10]^{: Тэм. 1}

Косой шестиугольник

Косой шестиугольник — это косой многоугольник с шестью вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный шестиугольник имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой шестиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях треугольной антипризмы с тем же D _3d , [2 ⁺,6] симметрия, порядок 12.

Куб . и октаэдр (так же, как треугольная антипризма) имеют правильные косые шестиугольники как многоугольники Петри

Наклон шестиугольников по 3-кратным осям
Куб	Октаэдр

Полигоны Петри

Правильный косой шестиугольник — это многоугольник Петри более высоких размерностей для этих правильных , однородных и двойственных многогранников и многогранников , показанных в этих косых ортогональных проекциях :

4D		5Д
3-3 дуопризма	3-3 дуопирамиды	5-симплекс

Выпуклый равносторонний шестиугольник

Главная диагональ шестиугольника — это диагональ, которая делит шестиугольник на четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике (у которого все стороны равны) с общей стороной a существует ^[11]^{: с.184, №286.3} главная диагональ d ₁ такая, что

{\frac {d_{1}}{a}}\leq 2

и главную диагональ d ₂ такую, что

{\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}.

Многогранники с шестиугольниками

Не существует Платонова тела, состоящего только из правильных шестиугольников, потому что шестиугольники мозаичны , не позволяя результату «сворачиваться». Архимедовы тела с некоторыми шестиугольными гранями — это усеченный тетраэдр , усеченный октаэдр , усеченный икосаэдр ( прославившийся футбольным мячом и фуллереном ), усеченный кубоктаэдр и усеченный икосододекаэдр . Эти шестиугольники можно считать усеченными треугольниками с диаграммами Кокстера вида и .

Шестиугольники в архимедовых телах
Tetrahedral	Octahedral		Icosahedral

truncated tetrahedron	truncated octahedron	truncated cuboctahedron	truncated icosahedron	truncated icosidodecahedron

Существуют и другие многогранники симметрии с вытянутыми или сплющенными шестиугольниками, например, многогранник Гольдберга G (2,0):

Шестиугольники в многогранниках Гольдберга
Tetrahedral	Octahedral	Icosahedral
Chamfered tetrahedron	Chamfered cube	Chamfered dodecahedron

Также существует 9 тел Джонсона с правильными шестиугольниками:

Твердые тела Джонсона с шестиугольниками
triangular cupola	elongated triangular cupola	gyroelongated triangular cupola
augmented hexagonal prism	parabiaugmented hexagonal prism	metabiaugmented hexagonal prism
triaugmented hexagonal prism	augmented truncated tetrahedron	triangular hebesphenorotunda

Призмоиды с шестиугольниками
Hexagonal prism	Hexagonal antiprism	Hexagonal pyramid

Плитки с правильными шестиугольниками
Regular	1-uniform
{6,3}	r{6,3}	rr{6,3}	tr{6,3}

2-uniform tilings

Галерея натуральных и искусственных шестиугольников

Идеальная кристаллическая структура графена представляет собой гексагональную сетку.
в сборе E-ELT Сегменты зеркала
Пчелиные соты
черепахи Щитки панциря
Шестиугольник Сатурна — шестиугольный узор облаков вокруг северного полюса планеты.
Микрофотография снежинки
Бензол — простейшее ароматическое соединение гексагональной формы.
Шестиугольный порядок пузырьков в пене.
Кристаллическая структура молекулярного шестиугольника, состоящего из гексагональных ароматических колец.
естественной формы Базальтовые колонны с Дороги гигантов в Северной Ирландии ; большие массы должны медленно остывать, чтобы образовался полигональный рисунок разрушения.
Вид с воздуха на форт Джефферсон в национальном парке Драй-Тортугас.
Зеркало космического телескопа Джеймса Уэбба состоит из 18 шестиугольных сегментов.
По-французски l'Hexagone относится к метрополии Франции из-за ее неопределенно шестиугольной формы.
Кристалл гексагонального ханксита , один из многих гексагональной кристаллической системы. минералов
Шестиугольный сарай
Шестиугольник , шестиугольный театр в Ридинге, Беркшир.
Владислава Глинского. Шестиугольные шахматы
Павильон Тайваньского ботанического сада
Шестиугольное окно

См. также

24 ячейки : четырехмерная фигура, которая, как и шестиугольник, имеет ортоплексные грани, является самодвойственной и мозаикой евклидова пространства.
Шестиугольная кристаллическая система
Шестиугольное число
Шестиугольная мозаика : правильная мозаика шестиугольников на плоскости.
Гексаграмма : шестигранная звезда внутри правильного шестиугольника.
Уникурсальная гексаграмма : один путь, шестигранная звезда внутри шестиугольника.
Гипотеза о сотах
Гаванна : абстрактная настольная игра, в которую играют на шестиугольной сетке.
Теория центрального места

Ссылки

^ Изображение куба
^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , издательство Кембриджского университета, стр. 9, ISBN 9780521098595 , заархивировано из оригинала 2 января 2016 г. , получено 6 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.). {{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка )
^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278)
^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
^ Картенсен, Йенс, «О шестиугольниках», Mathematical Spectrum 33 (2) (2000–2001), 37–40.
^ Дергиадес, Николаос (2014). «Теорема Дао о шести центрах описанной окружности, связанных с вписанным шестиугольником» . Форум Геометрикорум . 14 : 243–246. Архивировано из оригинала 5 декабря 2014 г. Проверено 17 ноября 2014 г.
^ Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (оригинал 1960).
^ Гутьеррес, Антонио, «Шестиугольник, вписанный круг, касательная, полупериметр», [1] Архивировано 11 мая 2012 г. на Wayback Machine , по состоянию на 17 апреля 2012 г.
^ Дао Тхань Оай (2015). «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах» . Форум Геометрикорум . 15 : 105–114. Архивировано из оригинала 5 июля 2015 г. Проверено 12 апреля 2015 г.
^ Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2] Архивировано 30 августа 2017 г. в Wayback Machine .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольник» . Математический мир .

Определение и свойства шестиугольника с интерактивной анимацией и построением с помощью циркуля и линейки .
Введение в шестиугольную геометрию на Hexnet, веб-сайте, посвященном математике шестиугольников.
Hexagons is the Bestagons на YouTube — анимированное интернет-видео о шестиугольниках от CGP Grey .

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Изображение куба

[2] Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , издательство Кембриджского университета, стр. 9, ISBN 9780521098595 , заархивировано из оригинала 2 января 2016 г. , получено 6 ноября 2015 г.

[Mamuka-3] Перейти обратно: ^а ^б Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.). {{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка )

[4] Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278)

[5] Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141

[6] Картенсен, Йенс, «О шестиугольниках», Mathematical Spectrum 33 (2) (2000–2001), 37–40.

[7] Дергиадес, Николаос (2014). «Теорема Дао о шести центрах описанной окружности, связанных с вписанным шестиугольником» . Форум Геометрикорум . 14 : 243–246. Архивировано из оригинала 5 декабря 2014 г. Проверено 17 ноября 2014 г.

[Johnson-8] Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (оригинал 1960).

[9] Гутьеррес, Антонио, «Шестиугольник, вписанный круг, касательная, полупериметр», [1] Архивировано 11 мая 2012 г. на Wayback Machine , по состоянию на 17 апреля 2012 г.

[10] Дао Тхань Оай (2015). «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах» . Форум Геометрикорум . 15 : 105–114. Архивировано из оригинала 5 июля 2015 г. Проверено 12 апреля 2015 г.

[Crux-11] Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2] Архивировано 30 августа 2017 г. в Wayback Machine .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]