65537-гон

Обычный 65537-гон
Обычный 65537-гон
	Обычный 65537-гон.
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	65537
Символ Шлефли	{65537}
Диаграммы Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	Двугранник (D 65537 ), заказ 2×65537
Внутренний угол ( градусы )	≈179.994 507°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии — 65537-угольник это многоугольник с 65537 (2 ¹⁶ + 1) стороны. Сумма внутренних углов любого несамопересекающегося 65537 -угольника равна 11796300°.

Обычный 65537-гон [ править ]

Площадь правильного 65537-угольника равна (при t = длине ребра )

A={\frac {65537}{4}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}

Целый правильный 65537-угольник визуально не отличим от круга , а его периметр отличается от периметра описанного круга примерно на 15 частей на миллиард .

Строительство [ править ]

Правильный 65537-угольник (у которого все стороны равны и все углы равны) интересен тем, что является конструктивным многоугольником : то есть его можно построить с помощью циркуля и немаркированной линейки. Это потому, что 65 537 — простое число Ферма , имеющее форму 2. ^{2 ^н} + 1 (в данном случае n = 4). Таким образом, значения $\cos {\frac {\pi }{65537}}$ и $\cos {\frac {2\pi }{65537}}$ являются степени алгебраическими числами 32768 , и, как и любые конструктивные числа , их можно записать в виде квадратных корней , а не в виде корней более высокого порядка.

было известно Хотя к 1801 году Гауссу , что правильный 65537-угольник можно построить, первое явное построение правильного 65537-угольника было дано Иоганном Густавом Гермесом (1894). Конструкция очень сложная; Гермес потратил 10 лет на завершение 200-страничной рукописи. ^[1] Другой метод предполагает использование не более 1332 кругов Карлейля , и первые этапы этого метода изображены ниже. Этот метод сталкивается с практическими проблемами, поскольку один из этих кругов Карлейля решает квадратное уравнение x ² + x − 16384 = 0 (16384 равно 2 ¹⁴). ^[2]

Симметрия [ править ]

Правильный 65537-угольник имеет D ₆₅₅₃₇ симметрию , порядок 131074. Поскольку 65537 — простое число , существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: D ₁ и 2 циклических групп симметрии _{: Z 65537} и Z ₁ .

65537 грамм [ править ]

65537 грамм — это звездчатый многоугольник с числом сторон 65537 . Поскольку 65 537 является простым числом, существует 32 767 правильных форм, порожденных символами Шлефли {65537/ n } для всех целых чисел 2 ≤ n ≤ 32768 как $\left\lfloor {\frac {65537}{2}}\right\rfloor =32768$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Иоганн Густав Гермес (1894). «О делении круга на 65537 равных частей» . Новости Общества наук в Геттингене, Математик-физический класс (на немецком языке). 3 . Геттинген: 170–186.
^ ДеТемпл, Дуэйн В. (февраль 1991 г.). «Окружности Карлейля и простота Лемуана многоугольных конструкций» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–208. дои : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939 . Архивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2015 г. Проверено 6 ноября 2011 г.

Библиография [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «65537-гон» . Математический мир .
Роберт Диксон Матография . Нью-Йорк: Дувр, с. 53, 1991.
Бенджамин Болд, «Известные проблемы геометрии и способы их решения», Нью-Йорк: Дувр, стр. 70, 1982. ISBN 978-0486242972
HSM Coxeter Введение в геометрию , 2-е изд. Нью-Йорк: Wiley, 1969. Глава 2. Правильные многоугольники.
Конструкции Леонарда Юджина Диксона с линейкой и циркулем; Правильные многоугольники Гл. 8 в монографиях по темам современной математики
Относится к элементарной области (под ред. JWA Young). Нью-Йорк: Дувр, стр. 352–386, 1955.

Внешние ссылки [ править ]

65537-gon mathematik-olympiaden.de (немецкий), с изображениями документации HERMES; получено 9 июля 2018 г.
Wikibooks 65537-Eck (немецкий) Примерное построение первой стороны в два основных этапа.
65537-гон, точное построение 1-й стороны , с использованием Квадратрисы Гиппия и ГеоГебры в качестве дополнительных вспомогательных средств, с кратким описанием (на немецком языке)

[1] Иоганн Густав Гермес (1894). «О делении круга на 65537 равных частей» . Новости Общества наук в Геттингене, Математик-физический класс (на немецком языке). 3 . Геттинген: 170–186.

[DeTemple-2] ДеТемпл, Дуэйн В. (февраль 1991 г.). «Окружности Карлейля и простота Лемуана многоугольных конструкций» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–208. дои : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939 . Архивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2015 г. Проверено 6 ноября 2011 г.

[1]

[2]