Экстангенциальный четырехугольник

В евклидовой геометрии экс -касательный четырехугольник — это выпуклый четырехугольник , у которого продолжения всех четырех сторон касаются окружности вне четырехугольника. ^[1] Его также называют объяснимым четырехугольником . ^[2] Окружность называется вписанной окружностью , ее радиус — эксрадиусом , а центр — эксцентром ( $E$ на рисунке). Эксцентр лежит на пересечении шести биссектрис. Это биссектрисы внутренних углов при двух противоположных вершинных углах, биссектрисы внешних углов ( дополнительные биссектрисы) при двух других вершинных углах и биссектрисы внешних углов при углах, образующихся при пересечении продолжений противоположных сторон (см. рисунок к рис. справа, где четыре из этих шести — отрезки пунктирной линии). Внекасательный четырехугольник тесно связан с тангенциальным четырехугольником (где четыре стороны касаются окружности).

Другое название вписанной окружности — вписанная окружность. ^[3] но это имя также использовалось для круга, касающегося одной стороны выпуклого четырехугольника, и продолжения двух соседних сторон. В этом контексте все выпуклые четырехугольники имеют четыре вписанных круга, но они могут иметь максимум одну вписанную окружность. ^[4]

Особые случаи [ править ]

Воздушные змеи являются примерами экскасательных четырехугольников. Параллелограммы (к которым относятся квадраты , ромбы и прямоугольники ) можно считать экскасательными четырехугольниками с бесконечным эксрадиусом, поскольку они удовлетворяют характеристикам следующего раздела, но вписанная окружность не может касаться обеих пар продолжений противоположных сторон (поскольку они параллельны ). ^[4] Выпуклые четырехугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию, всегда являются экстангенциальными, поскольку они удовлетворяют приведенной ниже характеристике для длин соседних сторон.

Характеристики [ править ]

Выпуклый четырехугольник является экскасательным тогда и только тогда, когда существует шесть совпадающих биссектрис. Это биссектрисы внутренних углов при двух противоположных вершинах, биссектрисы внешних углов при двух других вершинах.углы, а также биссектрисы внешних углов в углах, образующихся при пересечении продолжений противоположных сторон. ^[4]

Для целей расчета более полезной характеристикой является то, что выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами $a, b, c, d$ является экстангенциальным тогда и только тогда, когда сумма двух соседних сторон равна сумме двух других сторон. Это возможно двумя разными способами:

a+b=c+d

или

a+d=b+c.

Это доказал Якоб Штайнер в 1846 году. ^[5] В первом случае вписанная окружность находится вне наибольшей из вершин $A$ или $C$ , а во втором случае — вне наибольшей из вершин $B$ или $D$ , при условии, что стороны четырехугольника $ABCD$ равны

a=|AB|,\ b=|BC|,\ c=|CD|,\ d=|DA|.

Способ объединения этих характеристик относительно сторон заключается в том, что абсолютные значения разностей между противоположными сторонами равны для двух пар противоположных сторон. ^[4]

|a-c|=|b-d|.

Эти уравнения тесно связаны с теоремой Пито для касательных четырехугольников , где суммы противоположных сторон равны для двух пар противоположных сторон.

Теорема Уркарта [ править ]

Если противоположные стороны выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точках $E$ и $F$ , то

|AB|+|BC|=|AD|+|DC|\quad \Leftrightarrow \quad |AE|+|EC|=|AF|+|FC|.

Импликация справа названа в честь Л. М. Уркарта (1902–1966), хотя она была доказана задолго до этого Огастесом Де Морганом в 1841 году. Дэниел Педо назвал ее самой элементарной теоремой евклидовой геометрии, поскольку она касается только прямых линий и расстояний. ^[6] То, что эквивалентность действительно существует, доказал Моваффак Хаджа. ^[6] что делает равенство справа еще одним необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник был экскасательным.

Сравнение с касательным четырехугольником [ править ]

Некоторые из метрических характеристик касательных четырехугольников (левый столбец в таблице) имеют очень похожие аналоги для внекасательных четырехугольников (средний и правый столбцы в таблице), как видно из таблицы ниже. ^[4] Таким образом, выпуклый четырехугольник имеет вписанную или вписанную окружность вне соответствующей вершины (в зависимости от столбца) тогда и только тогда, когда выполнено любое из пяти необходимых и достаточных условий, приведенных ниже.

Обвести	Обвести окружность за пределами $A$ или $C$	Обвести окружность за пределами $B$ или $D$
$R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}$	$R_{1}+R_{2}=R_{3}+R_{4}$	$R_{1}+R_{4}=R_{2}+R_{3}$
$agh+cef=beh+dfg$	$agh+beh=cef+dfg$	$agh+dfg=beh+cef$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}={\frac {1}{h_{3}}}+{\frac {1}{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{4}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{3}}}$
$\tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {z}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {w}{2}}$	$\tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {w}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {z}{2}}$	$\tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {y}{2}}=\tan {\frac {z}{2}}\tan {\frac {w}{2}}$
$R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}$	$R_{a}R_{b}=R_{c}R_{d}$	$R_{a}R_{d}=R_{b}R_{c}$

Обозначения в этой таблице следующие: В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в $P.$ точке

$R 1, R 2, R 3, R 4$ — радиусы описанной окружности в треугольниках $△ ABP, △ BCP, △ CDP, △ DAP$ ;
$h 1, h 2, h 3, h 4$ — высоты от $P$ до сторон $a = | АБ |$ , $б = | до нашей эры |$ , $с = | компакт-диск |$ , $д = | ДА |$ соответственно в тех же четырех треугольниках;
$e, f, g, h$ — расстояния от вершин $A, B, C, D$ соответственно до $P$ ;
$x, y, z, w$ — углы $∠ ABD, ∠ ADB, ∠ BDC, ∠ DBC$ соответственно;
и $Ra соответственно ,, Rb, Rc, Rd —$ радиусы окружностей, касающихся снаружи сторон $a, b, c, d$ и продолжения двух соседних сторон для каждой стороны.

Площадь [ править ]

Внекасательный четырехугольник $ABCD$ со сторонами $a, b, c, d$ имеет площадь

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

Обратите внимание, что это та же формула, что и для площади касательного четырехугольника , и она также выводится из формулы Бретшнейдера таким же образом.

Эксрадиус [ править ]

Эксрадиус экс-касательного четырехугольника с последовательными сторонами $a, b, c, d$ определяется выражением ^[4]

r={\frac {K}{|a-c|}}={\frac {K}{|b-d|}}

где $К$ — площадь четырехугольника. Для экскасательного четырехугольника с заданными сторонами эксрадиус максимален , когда четырехугольник также является вписанным (и, следовательно, эксбицентрическим четырехугольником). Эти формулы объясняют, почему все параллелограммы имеют бесконечный эксрадиус.

Бывший бицентрический четырёхугольник [ править ]

Если в экс-касательном четырехугольнике также есть описанная окружность , он называется экс-бицентрическим четырехугольником . ^[1] Тогда, поскольку он имеет два противоположных дополнительных угла , его площадь определяется выражением

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}

что аналогично вписанному четырехугольнику .

Если $х$ — расстояние между центром описанной окружности и эксцентром, то ^[1]

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},

где $R, r$ — радиус описанной окружности и эксрадиус соответственно. Это то же уравнение, что и теорема Фусса для вписанного четырехугольника. Но при решении для $x$ мы должны выбрать другой корень квадратного уравнения для бывшего бицентрического четырехугольника по сравнению с бицентрическим. Следовательно, для экс-бицентрика имеем ^[1]

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.

Из этой формулы следует, что

\displaystyle x>R+r,

это означает, что описанная и внешняя окружность никогда не могут пересекаться друг с другом.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Радич, Мирко; Калиман, Зоран и Кадум, Владимир, «Условие того, что касательный четырехугольник также является хордальным», Mathematical Communications , 12 (2007), стр. 33–52.
^ Богомольный, Александр , «Неписуемые и объяснимые четырехугольники», Интерактивный математический сборник и головоломки , [1] . По состоянию на 18 августа 2011 г.
^ К. С. Кедлая, «Неограниченная геометрия» , 2006 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Йозефссон, Мартин, Подобные метрические характеристики тангенциальных и экстангенциальных четырехугольников , Forum Geometricorum, том 12 (2012), стр. 63-77 [2]
^ FG-M., Упражнения по геометрии , Éditions Jacques Gabay, шестое издание, 1991, стр. 318.
^ Перейти обратно: ^а ^б Хаджа, Моваффак, Очень короткое и простое доказательство «самой элементарной теоремы» евклидовой геометрии , Forum Geometricorum, том 6 (2006), стр. 167–169 [3]

[Radic-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Радич, Мирко; Калиман, Зоран и Кадум, Владимир, «Условие того, что касательный четырехугольник также является хордальным», Mathematical Communications , 12 (2007), стр. 33–52.

[2] Богомольный, Александр , «Неписуемые и объяснимые четырехугольники», Интерактивный математический сборник и головоломки , [1] . По состоянию на 18 августа 2011 г.

[3] К. С. Кедлая, «Неограниченная геометрия» , 2006 г.

[Josefsson-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Йозефссон, Мартин, Подобные метрические характеристики тангенциальных и экстангенциальных четырехугольников , Forum Geometricorum, том 12 (2012), стр. 63-77 [2]

[5] FG-M., Упражнения по геометрии , Éditions Jacques Gabay, шестое издание, 1991, стр. 318.

[Hajja-6] Перейти обратно: ^а ^б Хаджа, Моваффак, Очень короткое и простое доказательство «самой элементарной теоремы» евклидовой геометрии , Forum Geometricorum, том 6 (2006), стр. 167–169 [3]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]