Формула Бретшнейдера

Четырехугольник.

В геометрии . формула Бретшнейдера представляет собой математическое площади общего четырехугольника выражение Он работает как с выпуклыми, так и с вогнутыми четырехугольниками (но не с пересеченными), независимо от того, является ли он циклическим или нет.

История

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер открыл формулу в 1842 году. В том же году формулу вывел немецкий математик Карл Георг Кристиан фон Штаудт .

Формулировка

Формула Бретшнейдера выражается так:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}$

$={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.$

Здесь a , b , c , d — стороны четырёхугольника, s — полупериметр , а α и γ — любые два противоположных угла, так как $\cos(\alpha +\gamma )=\cos(\beta +\delta )$ пока $\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }.$

Доказательство

Обозначим площадь четырехугольника K. через Тогда у нас есть

${\begin{aligned}K&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}$

Поэтому

$2K=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .$

$4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

Закон косинусов подразумевает, что

$a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,$

потому что обе стороны равны квадрату длины диагонали BD . Это можно переписать как

${\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Добавив это к приведенной выше формуле для 4 K ² урожайность

${\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}$

Обратите внимание, что: $\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}$ (тригонометрическое тождество верно для всех ${\frac {\alpha +\gamma }{2}}$)

Следуя тем же шагам, что и в формуле Брахмагупты , это можно записать как

$16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).$

Знакомство с полупериметром

$s={\frac {a+b+c+d}{2}},$

вышеизложенное становится

$16K^{2}=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)$

$K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)$

и формула Бретшнайдера получается после извлечения квадратного корня из обеих частей:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}$

Вторая форма задается с помощью тождества косинуса половинного угла

$\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)={\frac {1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)}{2}},$

уступчивость

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.$

Эммануэль Гарсия использовал обобщенные формулы половинного угла, чтобы дать альтернативное доказательство.

Связанные формулы

Формула Бретшнайдера обобщает формулу Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника , которая, в свою очередь, обобщает формулу Герона для площади треугольника .

Тригонометрическую поправку в формуле Бретшнайдера для нецикличности четырехугольника можно переписать нетригонометрически через стороны и диагонали e и f , чтобы получить

${\begin{aligned}K&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}((ac+bd)^{2}-e^{2}f^{2})}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}\\\end{aligned}}$

Ссылки и дополнительная литература

• Аюб, Аюб Б. (2007). «Обобщения теорем Птолемея и Брахмагупты». Математика и компьютерное образование . 41 (1). ISSN   0730-8639 .
• CA Бретшнайдер. Исследование тригонометрических соотношений прямолинейного четырехугольника. Архив математики и физики, том 2, 1842 г., стр. 225–261 ( онлайн-копия, немецкий язык )
• Ф. Стрелке: Две новые теоремы о плоском и сферическом четырёхугольнике и обращение теоремы Птолемея . Архив математики и физики, том 2, 1842 г., стр. 323–326 ( онлайн-копия, немецкий язык )

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Бретшнейдера» . Математический мир .
• Формула Бретшнайдера на сайтеproofwiki.org