Циклический четырехугольник

В евклидовой геометрии или вписанный четырехугольник вписанный четырехугольник — это четырехугольник которого , все вершины лежат на одной окружности . Эта окружность называется описанной окружностью или описанной окружностью , а вершины называются солежащими . Центр окружности и ее радиус называются центром описанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Другие названия этих четырехугольников — вписанный четырехугольник и хордальный четырехугольник , последнее, поскольку стороны четырехугольника являются хордами описанной окружности. Обычно четырехугольник считают выпуклым , но встречаются и скрещенные вписанные четырехугольники. Приведенные ниже формулы и свойства справедливы и в выпуклом случае.

Слово циклический происходит от древнегреческого κύκλος ( куклос ), что означает «круг» или «колесо».

Во всех треугольниках есть описанная окружность , но не во всех четырехугольниках. Примером четырехугольника, который не может быть вписанным, является неквадратный ромб . раздела В приведенных ниже характеристиках указано, каким необходимым и достаточным условиям должен удовлетворять четырехугольник, чтобы иметь описанную окружность.

Особые случаи [ править ]

Любой квадрат , прямоугольник , равнобедренная трапеция или антипараллелограмм являются циклическими. Воздушный змей является циклическим тогда и только тогда, когда у него есть два прямых угла – прямой воздушный змей . Бицентрический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, который также является касательным , а экс-бицентрический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, который также является экс-касательным . Гармонический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, у которого произведения длин противоположных сторон равны.

Характеристики [ править ]

Центр окружности [ править ]

Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра к его сторонам совпадают . Эта общая точка — центр описанной окружности . ^[1]

Дополнительные углы [ править ]

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ является вписанным тогда и только тогда, когда его противоположные углы являются дополнительными , т. е. ^[1]^[2]

\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radians}}\ (=180^{\circ }).

Прямая теорема — это предложение 22 третьей книги « Евклида Начал » . ^[3] Эквивалентно, выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда каждый внешний угол равен противоположному внутреннему углу .

В 1836 году Дункан Грегори обобщил этот результат следующим образом: для любого выпуклого циклического 2 n -угольника каждая из двух сумм альтернативных внутренних углов равна ( n -1). $\pi$ . ^[4] Этот результат можно обобщить следующим образом: если A1A2...A2n (n > 1) — любой циклический 2n -угольник , в котором вершина Ai->Ai+k (вершина Ai соединена с Ai+k ), то два суммы чередующихся внутренних углов равны m. $\pi$ (где m = n — k и k = 1, 2, 3, ... — общий оборот). ^[5]

Взяв стереографическую проекцию (тангенс половинного угла) каждого угла, это можно выразить еще раз:

{\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .

Это подразумевает, что ^[6]

\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1

Углы между сторонами и диагоналями [ править ]

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ является вписанным тогда и только тогда, когда угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. ^[7] То есть, например,

\angle ACB=\angle ADB.

Паскаль-очки [ править ]

выпуклого четырехугольника $ABCD$ Другими необходимыми и достаточными условиями цикличности $являются: пусть E$ — точка пересечения диагоналей, пусть $F$ — точка пересечения продолжений сторон $AD$ и $BC$ , пусть $\omega$ — окружность, диаметр которой равен отрезку $EF$ , и пусть $P$ и $Q$ — точки Паскаля на сторонах $AB$ и $CD$ , образованных окружностью. $\omega$ .
(1) $ABCD$ — вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки $P$ и $Q$ лежат на одной прямой с центром $O$ окружности. $\omega$ .
(2) $ABCD$ — вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки $P$ и $Q$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ . ^[2]

Пересечение диагоналей [ править ]

Если две прямые, одна из которых содержит отрезок $AC$ , а другая — отрезок $BD$ , пересекаются в точке $E$ , то четыре точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда ^[8]

\displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.

Пересечение $E$ может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае вписанный четырехугольник — $ABCD$ , а во втором — вписанный четырехугольник — $ABDC$ . Когда пересечение является внутренним, равенство утверждает, что произведение длин отрезков, на которые $E$ делит одну диагональ, равно произведению длин другой диагонали. Это известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырехугольника являются хордами описанной окружности.

Теорема Птолемея [ править ]

Теорема Птолемея выражает произведение длин двух диагоналей $e$ и $f$ вписанного четырехугольника как равное сумме произведений противоположных сторон: ^[9]^{: стр. 25}^[2]

\displaystyle ef=ac+bd,

где a , b , c , d — длины сторон по порядку. Обратное . также верно То есть, если это уравнение выполняется в выпуклом четырехугольнике, то образуется вписанный четырехугольник.

Диагональный треугольник [ править ]

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ пусть $EFG$ — диагональный треугольник $ABCD$ и пусть $\omega$ быть девятиконечным кругом $EFG$ . $ABCD$ является циклическим тогда и только тогда, когда точка пересечения бимедиан $ABCD$ принадлежит окружности из девяти точек. $\omega$ . ^[10]^[11]^[2]

Площадь [ править ]

Площадь . $K$ вписанного четырехугольника со сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ определяется формулой Брахмагупты ^[9]^{: стр. 24}

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,

где $s$ , полупериметр , равен $s = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / 2 ( а + б + в + d )$ . Это следствие формулы Бретшнайдера для общего четырехугольника, поскольку противоположные углы в циклическом случае являются дополнительными. Если также $d = 0$ , вписанный четырёхугольник становится треугольником и формула сводится к формуле Герона .

Вписанный четырехугольник имеет максимальную площадь среди всех четырехугольников, имеющих одинаковые длины сторон (независимо от последовательности). Это еще одно следствие формулы Бретшнейдера. Это также можно доказать с помощью исчисления . ^[12]

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы трех других, являются сторонами каждого из трех неравных вписанных четырехугольников. ^[13]которые по формуле Брахмагупты имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон $a$ , $b$ , $c$ и $d$ сторона $a$ может находиться напротив любой из сторон $b$ , стороны $c$ или стороны $d$ .

Площадь вписанного четырехугольника с последовательными сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , углом $A$ между сторонами $a$ и $d$ и углом $B$ между сторонами $a$ и $b$ можно выразить как ^[9]^{: стр. 25}

K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

или

K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}

или ^[9]^{: стр.26}

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

где $θ$ — любой угол между диагоналями. Если $угол A$ не является прямым, площадь также можно выразить как ^[9]^{: стр.26}

K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.

Другая формула ^[14]^{: стр.83}

\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }

где $R$ — радиус описанной окружности . Как прямое следствие, ^[15]

K\leq 2R^{2}

где равенство существует тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

Диагонали [ править ]

В вписанном четырехугольнике с последовательными вершинами $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и сторонами $a = AB$ , $b = BC$ , $c = CD$ и $d = DA$ , длины диагоналей $p = AC$ и $q = BD$ можно выразить через термины сторон как ^[9]^{: стр.25,}^[16]^[17]^{: п. 84}

p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

и

q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}

так что показываем теорему Птолемея

pq=ac+bd.

Согласно второй теореме Птолемея , ^[9]^{: стр.25,}^[16]

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

используя те же обозначения, что и выше.

Для суммы диагоналей справедливо неравенство ^[18]^{: стр.123, #2975}

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно доказать с помощью неравенства AM-GM .

Более того, ^[18]^{: с.64, #1639}

(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

В любом выпуклом четырехугольнике две диагонали вместе делят четырехугольник на четыре треугольника; во вписанном четырехугольнике противоположные пары этих четырех треугольников подобны друг другу.

Если $ABCD$ — вписанный четырехугольник, в котором $AC$ пересекает $BD$ в $точке E$ , то ^[19]

{\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Набор сторон, которые могут образовывать вписанный четырехугольник, может быть расположен в любой из трех различных последовательностей, каждая из которых может образовывать вписанный четырехугольник одинаковой площади в одной и той же описанной окружности (площади одинаковы в соответствии с формулой площади Брахмагупты). Любые два из этих вписанных четырехугольников имеют одну общую длину диагонали. ^[17]^{: п. 84}

Формулы углов [ править ]

Для вписанного четырехугольника с последовательными сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , полупериметром $s$ и углом $A$ сторонами $a$ и $d$ тригонометрические функции A $между$ задаются выражением ^[20]

\cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},

\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.

Угол $θ$ между диагоналями, противоположными сторонам $a$ и $c$ , удовлетворяет условию ^[9]^{: стр.26}

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.

Если продолжения противоположных сторон $а$ и $с$ пересекаются под углом $ф$ , то

\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}

где $s$ — полупериметр . ^[9]^{: стр.31}

Позволять $B$ обозначаем угол между сторонами $a$ и $b$ , $C$ угол между $b$ и $c$ , и $D$ угол между $c$ и $d$ , затем: ^[21]

{\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}

Парамешвары Формула радиуса окружности

Вписанный четырехугольник с последовательными сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ и полупериметром $s$ имеет радиус описанной окружности ( радиус описанной окружности ), определяемый выражением ^[16]^[22]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.

Его вывел индийский математик Ватасери Парамешвара в 15 веке. (Обратите внимание, что радиус инвариантен при перестановке любых длин сторон.)

Используя формулу Брахмагупты , формулу Парамешвары можно переформулировать как

4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}

где $K$ — площадь вписанного четырехугольника.

Антицентр и коллинеарности [ править ]

Четыре отрезка, каждый из которых перпендикулярен одной стороне вписанного четырехугольника и проходит через середину противоположной стороны , являются параллельными . ^[23]^{: стр.131,}^[24] Эти отрезки называются мальтийами . ^[25]что является аббревиатурой средней точки высоты. Их общая точка называется антицентром . Он имеет свойство быть отражением центра описанной окружности в «центроиде вершины» . Таким образом, в вписанном четырехугольнике центр описанной окружности, «центроид вершины» и антицентр лежат на одной прямой . ^[24]

Если диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке $,$ а середины диагоналей — $M$ и $N$ , то антицентр четырехугольника является ортоцентром треугольника MNP $P$ .

Антицентр вписанного четырехугольника — это точка Понселе его вершин.

Другая недвижимость [ править ]

Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ M1 вписанные центры , _{рисунок} M2 , _DAB M3 , _M4 ( . _, справа) в треугольниках $,$ ABC $BCD$ и $см$ CDA $являются$ вершинами прямоугольника . Это одна из теорем, известных как японская теорема . Ортоцентры конгруэнтного тех же четырех треугольников являются вершинами четырехугольника, ABCD , $центроиды$ а этих четырех треугольников являются вершинами другого вписанного четырехугольника. ^[7]
В вписанном четырехугольнике $ABCD$ с центром описанной окружности $O$ пусть $P$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ . Тогда угол $APB$ является средним арифметическим углов $AOB$ и $COD$ . Это прямое следствие теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле .
не существует вписанных четырехугольников с рациональной площадью и с неравными рациональными сторонами Ни в арифметической , ни в геометрической прогрессии . ^[26]

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник также является экс-бицентрическим .
Если противоположные стороны вписанного четырехугольника продлены до встречи в точках $E$ и $F$ , то внутренние биссектрисы углов в точках $E$ и $F$ перпендикулярны. ^[13]

Брахмагупты [editЧетырехугольники

Брахмагупты Четырехугольник ^[27]— вписанный четырехугольник с целыми сторонами, целыми диагоналями и целой площадью. Все четырехугольники Брахмагупты со сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , диагоналями $e$ , $f$ , площадью $K$ и радиусом описанной окружности $R$ могут быть получены путем очистки знаменателей от следующих выражений, включающих рациональные параметры $t$ , $u$ и $v$ :

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]

b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Ортодиагональный случай [ править ]

Окружной радиус и площадь [ править ]

Для вписанного четырехугольника, который также является ортодиагональным (имеет перпендикулярные диагонали), предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длин $p 1$ и $p 2$ и делит другую диагональ на отрезки длин $q 1$ и $q 2$ . Затем ^[28] (первое равенство — предложение 11 в Архимеда « Книге лемм »)

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

где $D$ — диаметр описанной окружности . Это справедливо, поскольку диагонали являются перпендикулярными хордами окружности . Из этих уравнений следует, что радиус описанной окружности $R$ можно выразить как

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}

или, через стороны четырехугольника, как ^[23]

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.

Из этого также следует, что ^[23]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Таким образом, согласно теореме Эйлера о четырёхугольниках , радиус описанной окружности можно выразить через диагонали $p$ и $q$ , а расстояние $x$ между серединами диагоналей как

R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.

Формула площади К $вписанного$ ортодиагонального четырехугольника через четыре стороны получается непосредственно при объединении теоремы Птолемея и формулы площади ортодиагонального четырехугольника . Результат ^[29]^{: стр.222}

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Другая недвижимость [ править ]

В вписанном ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей. ^[23]
Теорема Брахмагупты утверждает, что для вписанного четырехугольника, который также является ортодиагональным , перпендикуляр с любой стороны, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит противоположную сторону пополам. ^[23]
Если вписанный четырехугольник также ортодиагонален, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны. ^[23]
В вписанном ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей. ^[23]

Циклические сферические четырёхугольники [ править ]

В сферической геометрии сферический четырехугольник, образованный из четырех пересекающихся больших кругов, является циклическим тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны, т. е. α + γ = β + δ для последовательных углов α, β, γ, δ четырехугольника. . ^[30] Одно из направлений этой теоремы было доказано Андерсом Йоханом Лекселлом в 1782 году. ^[31]Лекселл показал, что в сферическом четырехугольнике, вписанном в малый круг сферы, суммы противоположных углов равны, а в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Первая из этих теорем представляет собой сферический аналог теоремы о плоскости, а вторая теорема — двойственная к ней, то есть результат перестановки больших кругов и их полюсов. ^[32] Кипер и др. ^[33] доказал обратную теорему: если в сферическом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то существует вписывающая окружность в этот четырехугольник.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Усиськин, Залман; Гриффин, Дженнифер; Витонски, Дэвид; Уиллмор, Эдвин (2008), «10. Циклические четырехугольники» , Классификация четырехугольников: исследование определения , Исследования в области математического образования, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фрайверт, Дэвид; Сиглер, Ави; Ступель, Моше (2020), «Необходимые и достаточные свойства вписанного четырехугольника», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 51 (6): 913–938, doi : 10.1080/0020739X.2019.1683772 , S2CID 209930435
^ Джойс, DE (июнь 1997 г.), «Книга 3, предложение 22» , «Элементы Евклида» , Университет Кларка.
^ Грегори, Дункан (1836), «Геометрическая теорема», Mathematical Journal , 1:92 Cambridge .
^ Де Вильерс, Майкл (1993), «Объединяющее обобщение теоремы Тернбулла», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 24 : 191–196, doi : 10.1080/0020739930240204 .
^ Хаджа, Моваффак (2008), «Условие того, что описанный четырехугольник является циклическим» (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 103–6
^ Перейти обратно: ^а ^б Андрееску, Титу; Энеску, Богдан (2004), «2.3 Циклические четверные» , Сокровища математической олимпиады , Springer, стр. 44–46, 50 , ISBN 978-0-8176-4305-8 , МР 2025063
^ Брэдли, Кристофер Дж. (2007), Алгебра геометрии: декартова, площадная и проективная координаты , Highperception, с. 179, ISBN 978-1906338008 , OCLC 213434422
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Дарелл, резюме; Робсон, А. (2003) [1930], Расширенная тригонометрия , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8
^ Фрайверт, Дэвид (июль 2019 г.). «Новые точки, принадлежащие девятиточечному кругу». Математический вестник . 103 (557): 222–232. дои : 10.1017/mag.2019.53 .
^ Фрайверт, Дэвид (2018). «Новые применения метода комплексных чисел в геометрии вписанных четырехугольников» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 (1): 5–16.
^ Питер, Томас (сентябрь 2003 г.), «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , 34 (4): 315–6, doi : 10.2307/3595770 , JSTOR 3595770
^ Перейти обратно: ^а ^б Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Грейцер, Сэмюэл Л. (1967), «3.2 Циклические четырехугольники; формула Брахмагупты» , «Возвращение к геометрии », Математическая ассоциация Америки, стр. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
^ Прасолов, Виктор, Задачи по плоской и объемной геометрии: v.1 Plane Geometry (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 сентября 2018 г. , получено 6 ноября 2011 г.
^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), «4.3 Циклические, тангенциальные и бицентрические четырехугольники» , Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Математическая ассоциация Америки, стр. 64, ISBN 978-0-88385-342-9
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «О диагоналях вписанного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 147–9
^ Перейти обратно: ^а ^б Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (оригинал: 1929).
^ Перейти обратно: ^а ^б Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , 2007, [1] .
^ А. Богомольный , Тождество в (циклических) четырехугольниках, Интерактивный математический сборник и головоломки , [2] , по состоянию на 18 марта 2014 г.
^ Сиддонс, AW; Хьюз, RT (1929), Тригонометрия , издательство Кембриджского университета, стр. 202, ОКЛК 429528983
^ Хосе Гарсиа, Эммануэль Антонио (2022), «Обобщение формулы Моллвейде (скорее Ньютона)» (PDF) , Matinf , 5 (9–10): 19–22 , получено 29 декабря 2023 г.
^ Хен, Ларри (март 2000 г.), «Описанный радиус вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette , 84 (499): 69–70, doi : 10.2307/3621477 , JSTOR 3621477
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Courier Dover, стр. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2 , OCLC 78063045
^ Перейти обратно: ^а ^б Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники» , Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Новая математическая библиотека, том. 37, Издательство Кембриджского университета, стр. 35–39, ISBN. 978-0-88385-639-0
^ Вайсштейн, Эрик В. «Мальтитьюд» . Математический мир .
^ Бухгольц, Р.Х.; МакДугалл, Дж. А. (1999), «Четырехугольники Цапли со сторонами в арифметической или геометрической прогрессии», Бюллетень Австралийского математического общества , 59 (2): 263–9, doi : 10.1017/S0004972700032883 , hdl : 1959.13/803798 , MR 1680787
^ Састри, КРС (2002). «Четырехугольники Брахмагупты» (PDF) . Форум Геометрикорум . 2 : 167–173.
^ Посаментье, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1970), «Решения: 4–23. Докажите, что сумма квадратов размеров отрезков, образованных двумя перпендикулярными хордами, равна квадрату меры диаметра данного круга». , Сложные проблемы геометрии (2-е изд.), Courier Dover, стр. 104–5 , ISBN 978-0-486-69154-1
^ Йозефссон, Мартин (2016), «Свойства четырехугольников Пифагора», The Mathematical Gazette , 100 (июль): 213–224, doi : 10.1017/mag.2016.57 .
^ Виммер, Линхард (2011). «Циклические многоугольники в неевклидовой геометрии» . Элементы математики . 66 (2): 74–82. дои : 10.4171/EM/173 .
^ Лекселл, Андерс Йохан (1786). «О свойствах окружностей, описанных на сферической поверхности» . Известия Императорской Петрополитанской академии наук . 6 : 1782 (1): 58–103, табл. с рисунками. 3 .
^ Розенфельд, бакалавр (1988). История неевклидовой геометрии — Спрингер . Исследования по истории математики и физических наук. Том. 12. дои : 10.1007/978-1-4419-8680-1 . ISBN 978-1-4612-6449-1 .
^ Кипер, Гекхан; Сойлемез, Эрес (1 мая 2012 г.). «Гомотетичные связи, подобные джиттербагу». Теория механизма и машин . 51 : 145–158. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Д. Фрайвер: Четырехугольники точек Паскаля, вписанные в вписанный четырехугольник.

Внешние ссылки [ править ]

[Usiskin-1] Перейти обратно: ^а ^б Усиськин, Залман; Гриффин, Дженнифер; Витонски, Дэвид; Уиллмор, Эдвин (2008), «10. Циклические четырехугольники» , Классификация четырехугольников: исследование определения , Исследования в области математического образования, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8

[Fraivert-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фрайверт, Дэвид; Сиглер, Ави; Ступель, Моше (2020), «Необходимые и достаточные свойства вписанного четырехугольника», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 51 (6): 913–938, doi : 10.1080/0020739X.2019.1683772 , S2CID 209930435

[3] Джойс, DE (июнь 1997 г.), «Книга 3, предложение 22» , «Элементы Евклида» , Университет Кларка.

[4] Грегори, Дункан (1836), «Геометрическая теорема», Mathematical Journal , 1:92 Cambridge .

[5] Де Вильерс, Майкл (1993), «Объединяющее обобщение теоремы Тернбулла», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 24 : 191–196, doi : 10.1080/0020739930240204 .

[6] Хаджа, Моваффак (2008), «Условие того, что описанный четырехугольник является циклическим» (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 103–6

[Andreescu-7] Перейти обратно: ^а ^б Андрееску, Титу; Энеску, Богдан (2004), «2.3 Циклические четверные» , Сокровища математической олимпиады , Springer, стр. 44–46, 50 , ISBN 978-0-8176-4305-8 , МР 2025063

[8] Брэдли, Кристофер Дж. (2007), Алгебра геометрии: декартова, площадная и проективная координаты , Highperception, с. 179, ISBN 978-1906338008 , OCLC 213434422

[Durell-9] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Дарелл, резюме; Робсон, А. (2003) [1930], Расширенная тригонометрия , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8

[10] Фрайверт, Дэвид (июль 2019 г.). «Новые точки, принадлежащие девятиточечному кругу». Математический вестник . 103 (557): 222–232. дои : 10.1017/mag.2019.53 .

[11] Фрайверт, Дэвид (2018). «Новые применения метода комплексных чисел в геометрии вписанных четырехугольников» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 (1): 5–16.

[12] Питер, Томас (сентябрь 2003 г.), «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , 34 (4): 315–6, doi : 10.2307/3595770 , JSTOR 3595770

[Coxeter-13] Перейти обратно: ^а ^б Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Грейцер, Сэмюэл Л. (1967), «3.2 Циклические четырехугольники; формула Брахмагупты» , «Возвращение к геометрии », Математическая ассоциация Америки, стр. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2

[14] Прасолов, Виктор, Задачи по плоской и объемной геометрии: v.1 Plane Geometry (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 сентября 2018 г. , получено 6 ноября 2011 г.

[Alsina-15] Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), «4.3 Циклические, тангенциальные и бицентрические четырехугольники» , Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Математическая ассоциация Америки, стр. 64, ISBN 978-0-88385-342-9

[Alsina2-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «О диагоналях вписанного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 147–9

[Johnson-17] Перейти обратно: ^а ^б Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (оригинал: 1929).

[Crux-18] Перейти обратно: ^а ^б Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , 2007, [1] .

[19] А. Богомольный , Тождество в (циклических) четырехугольниках, Интерактивный математический сборник и головоломки , [2] , по состоянию на 18 марта 2014 г.

[20] Сиддонс, AW; Хьюз, RT (1929), Тригонометрия , издательство Кембриджского университета, стр. 202, ОКЛК 429528983

[21] Хосе Гарсиа, Эммануэль Антонио (2022), «Обобщение формулы Моллвейде (скорее Ньютона)» (PDF) , Matinf , 5 (9–10): 19–22 , получено 29 декабря 2023 г.

[22] Хен, Ларри (март 2000 г.), «Описанный радиус вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette , 84 (499): 69–70, doi : 10.2307/3621477 , JSTOR 3621477

[Altshiller-Court-23] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Courier Dover, стр. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2 , OCLC 78063045

[Honsberger-24] Перейти обратно: ^а ^б Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники» , Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Новая математическая библиотека, том. 37, Издательство Кембриджского университета, стр. 35–39, ISBN. 978-0-88385-639-0

[25] Вайсштейн, Эрик В. «Мальтитьюд» . Математический мир .

[Buchholz-26] Бухгольц, Р.Х.; МакДугалл, Дж. А. (1999), «Четырехугольники Цапли со сторонами в арифметической или геометрической прогрессии», Бюллетень Австралийского математического общества , 59 (2): 263–9, doi : 10.1017/S0004972700032883 , hdl : 1959.13/803798 , MR 1680787

[27] Састри, КРС (2002). «Четырехугольники Брахмагупты» (PDF) . Форум Геометрикорум . 2 : 167–173.

[28] Посаментье, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1970), «Решения: 4–23. Докажите, что сумма квадратов размеров отрезков, образованных двумя перпендикулярными хордами, равна квадрату меры диаметра данного круга». , Сложные проблемы геометрии (2-е изд.), Courier Dover, стр. 104–5 , ISBN 978-0-486-69154-1

[29] Йозефссон, Мартин (2016), «Свойства четырехугольников Пифагора», The Mathematical Gazette , 100 (июль): 213–224, doi : 10.1017/mag.2016.57 .

[30] Виммер, Линхард (2011). «Циклические многоугольники в неевклидовой геометрии» . Элементы математики . 66 (2): 74–82. дои : 10.4171/EM/173 .

[31] Лекселл, Андерс Йохан (1786). «О свойствах окружностей, описанных на сферической поверхности» . Известия Императорской Петрополитанской академии наук . 6 : 1782 (1): 58–103, табл. с рисунками. 3 .

[32] Розенфельд, бакалавр (1988). История неевклидовой геометрии — Спрингер . Исследования по истории математики и физических наук. Том. 12. дои : 10.1007/978-1-4419-8680-1 . ISBN 978-1-4612-6449-1 .

[33] Кипер, Гекхан; Сойлемез, Эрес (1 мая 2012 г.). «Гомотетичные связи, подобные джиттербагу». Теория механизма и машин . 51 : 145–158. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]