Циклический четырехугольник

Примеры вписанных четырехугольников

В евклидовой геометрии или вписанный четырехугольник вписанный четырехугольник — это четырехугольник которого , все вершины лежат на одной окружности . Эта окружность называется описанной окружностью или описанной окружностью , а вершины называются солежащими . Центр окружности и ее радиус называются центром описанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Другие названия этих четырехугольников — вписанный четырехугольник и хордальный четырехугольник , последнее, поскольку стороны четырехугольника являются хордами описанной окружности. Обычно четырехугольник считают выпуклым , но встречаются и скрещенные вписанные четырехугольники. Приведенные ниже формулы и свойства справедливы и в выпуклом случае.

Слово циклический происходит от древнегреческого κύκλος ( куклос ), что означает «круг» или «колесо».

Во всех треугольниках есть описанная окружность , но не во всех четырехугольниках. Примером четырехугольника, который не может быть вписанным, является неквадратный ромб . раздела В приведенных ниже характеристиках указано, каким необходимым и достаточным условиям должен удовлетворять четырехугольник, чтобы иметь описанную окружность.

Особые случаи

Любой квадрат , прямоугольник , равнобедренная трапеция или антипараллелограмм являются циклическими. Воздушный змей является циклическим тогда и только тогда, когда у него есть два прямых угла – прямой воздушный змей . Бицентрический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, который также является касательным , а экс-бицентрический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, который также является экскасательным . Гармонический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, у которого произведения длин противоположных сторон равны.

Характеристики

Вписанный четырехугольник ABCD

Центр окружности

Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра к его сторонам совпадают . Эта общая точка — центр описанной окружности .

Дополнительные углы

Доказательство без слов с использованием теоремы о вписанном угле о том, что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными:
2𝜃 + 2𝜙 = 360° ∴ 𝜃 + 𝜙 = 180°

Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда его противоположные углы являются дополнительными , т. е.

$\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radians}}\ (=180^{\circ }).$

Прямая теорема — это предложение 22 в книге 3 « Евклида » Начал . Эквивалентно, выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда каждый внешний угол равен противоположному внутреннему углу .

В 1836 году Дункан Грегори обобщил этот результат следующим образом: для любого выпуклого циклического 2 n -угольника каждая из двух сумм альтернативных внутренних углов равна ( n -1). $\pi$. Этот результат можно обобщить следующим образом: если A1A2...A2n (n > 1) — любой циклический 2n -угольник , в котором вершина Ai->Ai+k (вершина Ai соединена с Ai+k ), то два суммы чередующихся внутренних углов равны m. $\pi$ (где m = n — k и k = 1, 2, 3, ... — общий оборот).

Взяв стереографическую проекцию (тангенс половинного угла) каждого угла, это можно выразить еще раз:

${\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .$

Это означает, что

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1$

Углы между сторонами и диагоналями

Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. То есть, например,

$\angle ACB=\angle ADB.$

Паскаль-очки

ABCD — вписанный четырехугольник. E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD . $\omega$ — круг, диаметр которого равен сегменту EF . P и Q — точки Паскаля, образованные кругом. $\omega$. Треугольники FAB и FCD подобны.

выпуклого четырехугольника ABCD Другими необходимыми и достаточными условиями цикличности являются: пусть E — точка пересечения диагоналей, пусть F — точка пересечения продолжений сторон AD и BC , пусть $\omega$ — окружность, диаметр которой равен отрезку EF , и пусть P и Q — точки Паскаля на сторонах AB и CD, образованных окружностью. $\omega$.
(1) ABCD — вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки P и Q лежат на одной прямой с центром O окружности. $\omega$.
(2) ABCD — вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки P и Q являются серединами сторон AB и CD .

Пересечение диагоналей

Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC , а другая — отрезок BD , пересекаются в точке E , то четыре точки A , B , C , D лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда

$\displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.$

Пересечение E может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае вписанный четырехугольник — ABCD , а во втором — вписанный четырехугольник — ABDC . Когда пересечение является внутренним, равенство утверждает, что произведение длин отрезков, на которые E делит одну диагональ, равно произведению длин другой диагонали. Это известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырехугольника являются хордами описанной окружности.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея выражает произведение длин двух диагоналей e и f вписанного четырехугольника как равное сумме произведений противоположных сторон:

$\displaystyle ef=ac+bd,$

где a , b , c , d — длины сторон по порядку. Обратное также верно. То есть, если это уравнение выполняется в выпуклом четырехугольнике, то образуется вписанный четырехугольник.

Диагональный треугольник

ABCD — вписанный четырехугольник. EFG — диагональный треугольник ABCD . Точка T пересечения бимедиан ABCD принадлежит девятиточечной окружности EFG .

В выпуклом четырехугольнике ABCD пусть EFG — диагональный треугольник ABCD и пусть $\omega$ быть девятиконечным кругом EFG . ABCD является циклическим тогда и только тогда, когда точка пересечения бимедиан ABCD принадлежит окружности из девяти точек. $\omega$.

Площадь

Площадь K . вписанного четырехугольника со сторонами a , b , c , d определяется формулой Брахмагупты

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,$

где s , полупериметр , равен s = 1 / 2 ( а + б + в + d ) . Это следствие для формулы Бретшнайдера общего четырехугольника, поскольку противоположные углы в циклическом случае являются дополнительными. Если также d = 0 , вписанный четырёхугольник становится треугольником и формула сводится к формуле Герона .

Вписанный четырехугольник имеет максимальную площадь среди всех четырехугольников, имеющих одинаковые длины сторон (независимо от последовательности). Это еще одно следствие формулы Бретшнейдера. Это также можно доказать с помощью математического анализа .

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы трех других, являются сторонами каждого из трех неравных вписанных четырехугольников. которые по формуле Брахмагупты имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a , b , c и d сторона a может находиться напротив любой из сторон b , стороны c или стороны d .

Площадь вписанного четырехугольника с последовательными сторонами a , b , c , d , углом A между сторонами a и d и углом B между сторонами a и b можно выразить как

$K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}$

или

$K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}$

или

$K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }$

где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не прямой, площадь также можно выразить как

$K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.$

Другая формула

$\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }$

где R — радиус описанной окружности . Как прямое следствие,

$K\leq 2R^{2}$

где равенство существует тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

Диагонали

В вписанном четырехугольнике с последовательными вершинами A , B , C , D и сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA , длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через сторон как

$p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}$ и $q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}$

так что показываем теорему Птолемея

$pq=ac+bd.$

Согласно второй теореме Птолемея ,

${\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}$

используя те же обозначения, что и выше.

Для суммы диагоналей справедливо неравенство

$p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно доказать с помощью неравенства AM-GM .

Более того,

$(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.$

В любом выпуклом четырехугольнике две диагонали вместе делят четырехугольник на четыре треугольника; во вписанном четырехугольнике противоположные пары этих четырех треугольников подобны друг другу.

Если ABCD — вписанный четырехугольник, в котором AC пересекает BD в точке E , то

${\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.$

Набор сторон, которые могут образовывать вписанный четырехугольник, может быть расположен в любой из трех различных последовательностей, каждая из которых может образовывать вписанный четырехугольник одинаковой площади в одной и той же описанной окружности (площади одинаковы в соответствии с формулой площади Брахмагупты). Любые два из этих вписанных четырехугольников имеют одну общую длину диагонали.

Формулы углов

Для вписанного четырехугольника с последовательными сторонами , b , c , d , полупериметром s и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции A a задаются выражением

$\cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},$

$\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},$

$\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.$

Угол θ между диагоналями, противоположными сторонам a и c, удовлетворяет условию

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.$

Если продолжения противоположных сторон а и с пересекаются под углом ф , то

$\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}$

где s — полупериметр .

Позволять $B$ обозначаем угол между сторонами $a$ и $b$, $C$ угол между $b$ и $c$, и $D$ угол между $c$ и $d$, затем:

${\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}$

Парамешвары

Вписанный четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром s имеет радиус описанной окружности ( радиус описанной окружности ), определяемый выражением

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.$

Его вывел индийский математик Ватасери Парамешвара в 15 веке. (Обратите внимание, что радиус инвариантен при перестановке любых длин сторон.)

Используя формулу Брахмагупты , формулу Парамешвары можно переформулировать как

$4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}$

где K — площадь вписанного четырехугольника.

Антицентр и коллинеарности

Четыре отрезка, каждый из которых перпендикулярен одной стороне вписанного четырехугольника и проходит через середину противоположной стороны , являются параллельными . Эти отрезки называются мальтийами . что является аббревиатурой средней точки высоты. Их общая точка называется антицентром . Он имеет свойство быть отражением центра описанной окружности в «центроиде вершины» . Таким образом, в вписанном четырехугольнике центр описанной окружности, «центроид вершины» и антицентр лежат на одной прямой .

Если диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке P , а середины диагоналей — и N , то антицентр четырехугольника является ортоцентром треугольника . MNP M

Антицентр вписанного четырехугольника — это точка Понселе его вершин.

Другая недвижимость

Японская теорема

• вписанном четырёхугольнике ABCD M1 вписанные центры , _{являются} M2 , _и M3 , _Во M4 ( _в рисунок справа) треугольниках DAB , ABC , BCD CDA см . вершинами прямоугольника . Это одна из теорем, известных как японская теорема . Ортоцентры , тех же четырех треугольников являются вершинами четырехугольника, ABCD конгруэнтного . а центроиды этих четырех треугольников являются вершинами другого вписанного четырехугольника
• В вписанном четырехугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD . Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD . Это прямое следствие теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле .
• не существует вписанных четырехугольников с рациональной площадью и с неравными рациональными сторонами Ни в арифметической , ни в геометрической прогрессии .

• Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник также является экс-бицентрическим .
• Если противоположные стороны вписанного четырехугольника продлены до встречи в точках E и F , то внутренние биссектрисы углов в точках E и F перпендикулярны.

Четырехугольники Брахмагупты

Брахмагупты Четырехугольник — вписанный четырехугольник с целыми сторонами, целыми диагоналями и целой площадью. Все четырехугольники Брахмагупты со сторонами a , b , c , d , диагоналями e , f , площадью K и радиусом описанной окружности R могут быть получены путем очистки знаменателей от следующих выражений, включающих рациональные параметры t , u и v :

$a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]$

$b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)$

$c=t(1+u^{2})(1+v^{2})$

$d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)$

$e=u(1+t^{2})(1+v^{2})$

$f=v(1+t^{2})(1+u^{2})$

$K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]$

$4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).$

Ортодиагональный случай

Окружной радиус и площадь

Для вписанного четырехугольника, который также является ортодиагональным (имеет перпендикулярные диагонали), предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длин p ₁ и p ₂ и делит другую диагональ на отрезки длин q ₁ и q ₂ . Затем (первое равенство — предложение 11 в Архимеда « Книге лемм » )

$D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

где D — диаметр описанной окружности . Это справедливо, поскольку диагонали являются перпендикулярными хордами окружности . Из этих уравнений следует, что радиус описанной окружности R можно выразить как

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}$

или, через стороны четырехугольника, как

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.$

Из этого также следует, что

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.$

Таким образом, согласно теореме Эйлера о четырёхугольниках , радиус описанной окружности можно выразить через диагонали p и q , а расстояние x между серединами диагоналей как

$R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.$

Формула площади К вписанного ортодиагонального четырехугольника через четыре стороны получается непосредственно при объединении теоремы Птолемея и формулы площади ортодиагонального четырехугольника . Результат

$K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).$

Другая недвижимость

• В вписанном ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для вписанного четырехугольника, который также является ортодиагональным , перпендикуляр с любой стороны, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит противоположную сторону пополам.
• Если вписанный четырехугольник также ортодиагонален, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны.
• В вписанном ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.

Циклические сферические четырёхугольники

В сферической геометрии сферический четырехугольник, образованный из четырех пересекающихся больших кругов, является циклическим тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны, т. е. α + γ = β + δ для последовательных углов α, β, γ, δ четырехугольника. . Одно из направлений этой теоремы было доказано Андерсом Йоханом Лекселлом в 1782 году. Лекселл показал, что в сферическом четырехугольнике, вписанном в малый круг сферы, суммы противоположных углов равны, а в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Первая из этих теорем представляет собой сферический аналог теоремы о плоскости, а вторая теорема — двойственная к ней, то есть результат перестановки больших кругов и их полюсов. Кипер и др. доказал обратную теорему: если в сферическом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то существует вписывающая окружность для этого четырехугольника.

См. также

• Теорема о бабочке
• Треугольник Брахмагупты
• Циклический многоугольник
• Сила точки
• Таблица аккордов Птолемея
• Пятиугольник Роббинса

Дальнейшее чтение

• Д. Фрайвер: Четырехугольники точек Паскаля, вписанные в вписанный четырехугольник.

Внешние ссылки

• Вывод формулы площади циклического четырехугольника.
• Инцентры в циклическом четырехугольнике при разрезании узла
• Четыре параллельные прямые в циклическом четырехугольнике при разрезании узла
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклический четырехугольник» . Математический мир .