Таблица аккордов Птолемея

Таблица аккордов , созданная греческим астрономом, геометром и географом Птолемеем в Египте во 2 веке нашей эры, представляет собой тригонометрическую таблицу » Птолемея в книге I, главе 11 «Альмагеста . ^{[ 1 ]} трактат по математической астрономии . По сути, это эквивалентно таблице значений функции синуса . Это была самая ранняя тригонометрическая таблица, достаточно обширная для многих практических целей, в том числе для астрономии (более ранняя таблица хорд Гиппарха давала хорды только для дуг, кратных ⁠7 + 1 / 2 ⁠ ° = ⁠ $π$ / 24 ⁠ радиан ). ^{[ 2 ]} С 8-го и 9-го веков синус и другие тригонометрические функции использовались в исламской математике и астрономии, реформируя создание таблиц синуса. ^{[ 3 ]} Хорезми и Хабаш аль-Хасиб позже создали набор тригонометрических таблиц.

Функция аккорда и таблица

Хорда это окружности – отрезок, концы которого лежат на окружности. Птолемей использовал круг, диаметр которого составляет 120 частей. Он составил таблицу длины хорды, концы которой разделены дугой в n градусов, для n в диапазоне от ⁠ 1 / 2 ⁠ до 180 с шагом ⁠ 1/2 ⁠ . В современных обозначениях длина хорды, соответствующей дуге в θ градусов, равна

{\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radians}}\right)\right).\end{aligned}}

Поскольку θ изменяется от 0 до 180, хорда дуги θ ° изменяется от 0 до 120. Для крошечных дуг хорда относится к углу дуги в градусах так же, как $π$ к 3, или, точнее, отношение можно определить как закрыть по желанию ⁠ $π$ / 3 ⁠ ≈ 1,047 197 55 , сделав θ достаточно маленьким. Таким образом, для дуги ⁠ 1/2 ⁠ . , длина хорды ° немного больше угла дуги в градусах По мере увеличения дуги отношение хорды к дуге уменьшается. Когда дуга достигает 60° , длина хорды точно равна количеству градусов в дуге, т.е. хорда 60° = 60. Для дуг более 60° хорда меньше дуги, пока дуга не станет равной 180°. ° достигается, когда хорда равна всего 120.

Дробные части длин хорд выражались шестидесятеричными (по основанию 60) цифрами. Например, если длина хорды, образованной дугой 112°, равна 99,29,5, она имеет длину

99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},

округлено до ближайшего ⁠ 1 / 60 ²⁠ . ^{[ 1 ]}

После столбцов дуги и хорды третий столбец помечен как «шестидесятые». Для дуги θ ° запись в графе «шестидесятые» равна

{\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.

Это среднее число шестидесятых единицы, которое необходимо прибавлять к хорде ( θ °) каждый раз, когда угол увеличивается на одну угловую минуту, между записью для θ ° и записью для ( θ + ⁠ 1 / 2 ⁠ )°. Таким образом, он используется для линейной интерполяции . Гловацки и Гетше показали, что Птолемей должен был вычислить аккорды с точностью до пяти шестидесятеричных знаков, чтобы достичь степени точности, обнаруженной в «шестидесятом» столбце. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

{\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{chord}}&&&{\text{sixtieths}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}

Как Птолемей вычислял аккорды

В главе 10 первой книги « Альмагеста» представлены геометрические теоремы, используемые для вычисления аккордов. Птолемей использовал геометрические рассуждения, основанные на предложении 10 книги XIII « Евклида Начал» , чтобы найти хорды 72 ° и 36 °. Это предложение гласит, что если в круг вписан равносторонний пятиугольник , то площадь квадрата на стороне пятиугольника равна сумме площадей квадратов на сторонах шестиугольника и десятиугольника, вписанных в тот же круг.

Он использовал теорему Птолемея о четырехугольниках, вписанных в окружность, для вывода формул хорды полудуги, хорды суммы двух дуг и хорды разности двух дуг. Теорема утверждает, что для четырехугольника, вписанного в окружность , произведение длин диагоналей равно сумме произведений двух пар длин противоположных сторон. Вывод тригонометрических тождеств основан на вписанном четырехугольнике , одна сторона которого представляет собой диаметр круга.

Чтобы найти хорды дуг 1° и ⁠ 1/2 неравенстве ⁠ ° он использовал приближения, основанные на Аристарха . Неравенство гласит, что для дуг α и β , если 0 < β < α < 90°, то

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.

Птолемей показал, что для дуг 1° и ⁠ 1/2 . ⁠ части °, аппроксимации правильно дают первые два шестидесятеричных знака после целой

Точность

Джеральд Дж. Тумер в своем переводе «Альмагеста» приводит семь записей, в которых в некоторых рукописях есть ошибки переписчика, изменяющие одну «цифру» (одну букву, см. ниже). Гленн Элерт сравнил значения Птолемея с истинными значениями (в 120 раз больше синуса половины угла) и обнаружил, что среднеквадратическая ошибка составляет 0,000136. Но во многом это происходит просто из-за округления до ближайшей 1/3600, поскольку это равно 0,0002777... Тем не менее, есть много записей, в которых последняя «цифра» отклоняется на 1 (слишком большая или слишком низкая) от наилучшего округленного значения. ценить. Значения Птолемея часто завышаются на 1 в последнем месте, особенно в сторону более высоких углов. Самые большие ошибки составляют около 0,0004, что по-прежнему соответствует ошибке всего 1 в последней шестидесятеричной цифре. ^{[ 6 ]}

Система счисления и внешний вид непереведенной таблицы

Длины дуг окружности в градусах и целые части длин хорд выражались в десятичной системе счисления , в которой использовалась 21 буква греческого алфавита со значениями, приведенными в следующей таблице, и символ: ∠′ " , это означает ⁠ 1 / 2 ⁠ и выпуклый кружок «○», заполняющий пустое пространство (фактически обозначающий ноль). Три буквы, помеченные в таблице ниже как «архаичные», не использовались в греческом языке в течение нескольких столетий до того, как был написан « Альмагест» , но все еще использовались в качестве цифр и музыкальных нот .

{\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaic)} &900\\\hline \end{array}}

Так, например, дуга ⁠143 + 1/2 ∠ ′ ⁠ ° выражается как ρμγ . (Поскольку таблица достигает только 180°, греческие цифры для 200 и выше не используются.)

Дробные части длин хорд требовали большой точности и были даны в шестидесятеричной системе счисления в двух столбцах таблицы: В первом столбце указано целое число, кратное ⁠ 1/60 кратное , ⁠ в диапазоне 0–59, второе целое число ⁠ 1 / 60 ²⁠ = ⁠ 1/3600 , . ⁠ также в диапазоне 0–59

Так, в издании Хейберга « Альмагеста» с таблицей аккордов на стр. 48–63 начало таблицы, соответствующее дугам из ⁠ 1 / 2 ⁠ ° до ⁠7 + 1/2 ⁠ : ° , выглядит так

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}

Далее в таблице можно увидеть десятичные числа, выражающие целые части дуги и длину хорды. Таким образом, дуга в 85° записывается как πε ( π для 80 и ε для 5) и не разбивается на 60 + 25. Соответствующая длина хорды равна 81 плюс дробная часть. Целая часть начинается с πα , также не разбитая на 60 + 21. А вот дробная часть, ⁠ 4 / 60 ⁠ + ⁠ 15 / 60 ²⁠ записывается как δ для 4 в столбец ⁠ 1/60 для ⁠ , , за которым следует ιε 15, в ⁠ 1 / 60 ²⁠ столбец.

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}

В таблице по 45 строк на каждой из восьми страниц, всего 360 строк.

См. также

Таблица синусов Арьябхаты
Дайте им высохнуть
Fundamentum Astronomiae — книга, излагающая алгоритм точного вычисления синусов, опубликованная в конце 1500-х годов.
Греческая математика
Таблица синусов Мадхавы
Птолемей
Гамма аккордов
Его версия

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Тумер, Дж.Дж. (1998), Альмагест Птолемея , Princeton University Press , ISBN 0-691-00260-6
^ Терстон, стр. 235–236 .
^ Берггрен, Дж.Л. (2016). Эпизоды математики средневекового ислама . дои : 10.1007/978-1-4939-3780-6 . ISBN 978-1-4939-3778-3 .
^ Перевод Тумера «Алмаагест» , 1984, сноска 68, страницы 57-59.
^ Эрнст Гловацкий и Гельмут Гетче, Таблица сухожилий Клаудиоса Птолемея. Пересчитано по историческим формульным планам. , Мюнхен, 1976.
^ Гленн Элерт. «Таблица аккордов Птолемея: тригонометрия во втором веке: насколько точна таблица хорд?» . Электронный мир . Гипертекстбук.com. Элерт утверждает, что «Таблица точна до трех десятичных знаков, а не пяти или шести, о которых я говорил в основной части статьи», но на самом деле «пять или шесть» десятичных знаков (после десятичной точки) были для $\sin(\theta /2)$ что в 120 раз меньше.

Аабо, Асгер (1997), Эпизоды из ранней истории математики , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-613-0
Кладжетт, Маршалл (2002), Греческая наука в древности , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-8369-2150-2
Нойгебауэр, Отто (1975), История древней математической астрономии , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06995-1
Олаф Педерсен (1974) Обзор Альмагеста , издательство Odense University Press ISBN 87-7492-087-1
Терстон, Хью (1996), Ранняя астрономия , Springer, ISBN 978-0-387-94822-5

Внешние ссылки

Дж. Л. Хейберг Альмагест , Таблица аккордов на страницах 48–63.
Таблица аккордов Гленна Элерта Птолемея: тригонометрия во втором веке
Альмагесте на греческом и французском языках, в интернет-архиве.

[toomer-1] Jump up to: ^а ^б Тумер, Дж.Дж. (1998), Альмагест Птолемея , Princeton University Press , ISBN 0-691-00260-6

[2] Терстон, стр. 235–236 .

[3] Берггрен, Дж.Л. (2016). Эпизоды математики средневекового ислама . дои : 10.1007/978-1-4939-3780-6 . ISBN 978-1-4939-3778-3 .

[Toomer-4] Перевод Тумера «Алмаагест» , 1984, сноска 68, страницы 57-59.

[5] Эрнст Гловацкий и Гельмут Гетче, Таблица сухожилий Клаудиоса Птолемея. Пересчитано по историческим формульным планам. , Мюнхен, 1976.

[6] Гленн Элерт. «Таблица аккордов Птолемея: тригонометрия во втором веке: насколько точна таблица хорд?» . Электронный мир . Гипертекстбук.com. Элерт утверждает, что «Таблица точна до трех десятичных знаков, а не пяти или шести, о которых я говорил в основной части статьи», но на самом деле «пять или шесть» десятичных знаков (после десятичной точки) были для $\sin(\theta /2)$ что в 120 раз меньше.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

v т и Древнегреческая астрономия
Астрономы	Аглаонице Агриппа Анаксимандр Андроник Аполлоний вспаханный Аристарх Аристил Аттал Автолик Бион Каллипп Клеомед Клеострат Конон Эратосфен Евктемон Евдокс близнец Гераклид Хикетас Гиппарх Гиппократ Хиосский Гипсиклы Менелай Метон Энопид Филипп Опус Филолай Посидоний Птолемей Пифей Селевк Сосиген Александрийский Сосиген Перипатетический Страбон Фалес Феодосий Теон Александрийский Теон из Смирны Тимохарис
Работает	Альмагест (Птолемей) Катастеризмы (Эратосфен) О размерах и расстояниях (Гиппарх) О размерах и расстояниях (Аристарх) На небесах (Аристотель)
Инструменты	Антикитерский механизм Армиллярная сфера Астролябия Диоптрии Экваториальное кольцо Гномон Настенный инструмент Трикветр
Концепции	Каллиппический цикл Небесные сферы Круг широты Противоземля Деферент и эпицикл Эквивалент Геоцентризм гелиоцентризм Гиппархический цикл Низшие и высшие планеты Метонический цикл Октатеры Солнцестояние Сферическая Земля Подлунная сфера Зодиак
Влияния	Вавилонская астрономия Египетская астрономия
Под влиянием	Средневековая европейская наука Индийская астрономия Средневековая исламская астрономия