Таблица синусов Мадхавы

Таблица синусов Мадхавы — это таблица тригонометрических синусов, XIV века из Кералы построенная математиком и астрономом Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1340 — ок. 1425). В таблице перечислены джья-с или Rсинусы двадцати четырех углов от 3,75 ° до 90° с шагом 3,75° (1/24 прямого угла , 90°). Rsine — это просто синус, умноженный на выбранный радиус и заданный в виде целого числа. В этой таблице, как и в более ранней таблице Арьябхаты , R принимается равным 21600 ÷ 2 π ≈ 3437,75.

Таблица закодирована буквами санскритского алфавита с использованием системы Катапаяди , придающей записям вид стихов стихотворения.

Оригинальная работа Мадхавы, содержащая таблицу, не была найдена. Таблица воспроизведена в « Арьябхатиябхашье » Нилакантхи Сомаяджи. (1444–1544), а также в Юктидипика/Лагхувиврити комментарии к Тантрасамграхе Шанкары Вариара (около 1500–1560).

Стихи ниже приведены в «Культурные основы математики» . книге К. К. Раджу Они также приведены в малаяламском комментарии к Каранападхати П.К. Кору. но немного иначе.

Стол

Это стихи:

Лучшие из лучших – это Гималаи, источник Вед.
Тапана, солнце, знает сукты, и вы должны знать, что доение — это середина. 1 ॥
Тьфу на уничтожение жертвенного огня, о мать сокровенных наслаждений.
Он героический король, который ест оленей и стремится выиграть битву. 2 ॥
Корень чистый и редко мужик в песнях гвоздь.
Его защищает нечистота и красота воров – раковина и владыка гор. 3 ॥
Молодой человек, беременная женщина – друг, и богатый человек здесь счастлив, мой друг.
Луна ночью ест снег и океан знает свою скорость на своем пути 4 ॥
В хорошей семье нет тени, слияния, слона, синевы или чистоты.
Ночью зеркало похоже на облако, а у могучей змеи жалящий ноготь. 5 ॥
Он трезв, молод, любит истории и пользуется уважением у женщин.
В покоях невесты обитает змеиная лиана, а Бхригу — бог вселенной. 6 ॥
Большие радиусы, начиная и заканчивая этим периодом, упоминаются Мадхавой.
Маурвики остались на этом участке земли, когда он очистился сам по себе. 7 ॥

Четверти первых шести стихов представляют собой записи двадцати четырех углов от 3,75° до 90° с шагом 3,75° (первый столбец). Второй столбец содержит значения Rsine, закодированные как санскритские слова (в деванагари). Третий столбец содержит то же самое в транслитерации ISO 15919 . Четвертый столбец содержит числа, расшифрованные в угловые минуты, угловые секунды и угловые трети современными цифрами. современные значения, масштабированные по традиционному «радиусу» (21600 ÷ 2 π , с современным значением π В пятом столбце приведены с двумя десятичными знаками в трети дуги).

Угол А , градусы	R sin A, данный Мадхавой			Современный грех А × (21600 ÷ 2 π ) до 2 десятичных знаков
	В сценарии деванагари	Транслитерация ISO 15919	Раскодированный угол в минуты секунды″ трети‴
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
03.75	Лучшее - это имя старших	шрештхам нама вариштханам	0224′50″22‴	0224′50″21.83‴
07.50	Химадри – источник Вед	химадрирведабхаванах	0448′42″58‴	0448′42″57.58‴
11.25	Тапано Бханусуктгьо	тапано бханусуктаджно	0670′40″16‴	0670′40″16.05‴
15.00	Знай середину как доение	мадхьямам виддхи доханам	0889′45″15‴	0889′45″15.61‴
18.75	Черт возьми, его трудно уничтожить	дхигаджйо нашанам каштам	1105′01″39‴	1105′01″38.94‴
22.50	Чаннабхогашаямбака	Чаннабхогасаямбика	1315′34″07‴	1315′34″07.44‴
26.25	Мригахаро Нарешой	мригахаро нарешойам	1520′28″35‴	1520′28″35.46‴
30.00	Герой жаждет выиграть битву	виро ранаджайоцуках	1718′52″24‴	1718′52″24.19‴
33.75	Корень состоит исключительно из плаценты.	мулам вишуддхам нахасья	1909′54″35‴	1909′54″35.19‴
37.50	Редкие мужчины в песнях	ганешу вираха нарах	2092′46″03‴	2092′46″03.49‴
41.25	Слава вора сокрыта от нечистоты	ашуддхигупта чорашрих	2266′39″50‴	2266′39″50.21‴
45.00	Шанкукарна – повелитель гор.	Шанкукарно нагешварах	2430′51″15‴	2430′51″14.59‴
48.75	Младшая - беременная подруга	танудзё гарбхаджо митрам	2584′38″06‴	2584′38″05.53‴
52.50	пусть сэр будет счастлив	Шриманатра Сухи Сакхе	2727′20″52‴	2727′20″52.38‴
56.25	Луна и снег ночью	Шаши Ратру Химахароу	2858′22″55‴	2858′22″55.11‴
60.00	Знающее скорость море на дороге	вегайнах пати синдхурах	2977′10″34‴	2977′10″33.73‴
63.25	Хая Лео Гаджо Нило	Чая Лайо Гаджо Нило	3083′13″17‴	3083′13″16.94‴
67.50	В хорошей семье нет чистых	Нирмало взбивает гнездо	3176′03″50‴	3176′03″49.97‴
71.25	Ночью зеркало мутное	ратроу дарпанамабхрангам	3255′18″22‴	3255′18″21.58‴
75.00	Нагстунганакхо Бали	нагастунганахо на балу	3320′36″30‴	3320′36″30.20‴
78.75	Нежный молодой рассказчик	дхиро йува катхалолах	3371′41″29‴	3371′41″29.15‴
82.50	Бхаге поклоняются женщины	пуджйо нариджанаирбхагах	3408′20″11‴	3408′20″10.93‴
86.25	Каньягаре Нагавалли	в Каньягаре Нагавалли	3430′23″11‴	3430′23″10.65‴
90.00	Бог Вишвастхали — Бхригу.	дево вишвастхали бхри гух	3437′44″48‴	3437′44″48.37‴

Последний стих означает: «Это великие R-синусы, как сказал Мадхава, включающие угловые минуты, секунды и трети. Вычитание из каждого предыдущего даст R-синус-разности».

Сравнивая, можно отметить, что значения Мадхавы точно округлены до заявленной точности в трети, за исключением Rsin(15°), где кажется, что вместо этого ему следовало округлить до 889′45″16‴.

Обратите внимание, что в системе катапаяди цифры записываются в обратном порядке, поэтому, например, буквальная запись, соответствующая 15 °, равна 51549880, которая перевернута и затем читается как 0889′45″15‴. Обратите внимание, что 0 не имеет значения, а используется только для измерения размера стихотворения.

Простой способ понимания таблицы

Не вдаваясь в философию того, почему было выбрано значение R = 21600 ÷ 2 π и т. д., самый простой способ связать таблицы jya с нашей современной концепцией таблиц синуса заключается в следующем:

Даже сегодня таблицы синусов задаются в виде десятичных дробей с определенной точностью. Если sin(15°) задан как 0,1736, это означает, что рациональное число 1736 ÷ 10000 является хорошим приближением к фактическому числу бесконечной точности. Единственная разница состоит в том, что раньше они не стандартизировали десятичные значения (или степени десяти в качестве знаменателя) для дробей. Следовательно, они использовали другие знаменатели, исходя из других соображений (которые здесь не обсуждаются).

Следовательно, значения синуса, представленные в таблицах, можно просто принять как аппроксимированные заданными целочисленными значениями, разделенными на R, выбранный для таблицы.

Еще одна возможная путаница — использование угловых мер, таких как угловые минуты и т. Д., При выражении R-синусов. Современные синусы представляют собой безразмерные отношения. Джья-с или R-синусы — это одно и то же, умноженное на меру длины или расстояния. Однако, поскольку эти таблицы в основном использовались для астрономии, а расстояние на небесной сфере выражается в угловых мерах, то и эти значения приводятся аналогично. Однако единица измерения на самом деле не важна, и к ней не следует относиться слишком серьезно, поскольку значение в любом случае будет использоваться как часть рационального числа, а единица измерения будет сокращаться.

Однако это также приводит к использованию шестидесятеричного деления в уточнении Мадхавой более ранней таблицы Арьябхаты. Вместо выбора большего R он придал дополнительную точность, определенную им, помимо ранее заданных минут, используя секунды и трети. Как и прежде, их можно рассматривать просто как другой способ выражения дробей, а не обязательно как угловые меры.

Другой (более сложный) способ понять значения

Диаграмма, объясняющая значение значений в таблице Мадхавы

Рассмотрим некоторый угол, мера которого А. равна Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром O. Пусть дуга PQ окружности образует угол A в центре O. Опустите перпендикуляр QR из Q в OP; длина отрезка RQ равна значению тригонометрического синуса угла А. тогда Пусть PS — дуга окружности, длина которой равна длине отрезка RQ. Для различных углов A таблица Мадхавы дает размеры соответствующих углов. $\angle$POS в угловых минутах , угловых секундах и шестидесятых долях угловой секунды .

В качестве примера пусть А — угол, размер которого равен 22,50°. В таблице Мадхавы запись, соответствующая 22,50°, представляет собой меру угла в угловых минутах, угловых секундах и шестидесятых долях угловой секунды, радианная мера которого равна значению sin 22.50°, что составляет 0,3826834;

умножьте 0,3826834 радиана на 180/ π, чтобы получить 21,92614 градуса, что составляет

1315 угловых минут 34 угловых секунды 07 шестидесятых угловой секунды, сокращенно 13153407.

Для угла, мера которого равна А , пусть

$\angle POS=m{\text{ arcminutes, }}s{\text{ arcseconds, }}t{\text{ sixtieths of an arcsecond}}$

Затем:

${\begin{aligned}\sin(A)&=RQ\\&={\text{length of arc }}PS\\&=\angle POS{\text{ in radians}}\\\end{aligned}}$

Вывод тригонометрических синусов по таблице

В каждой строке таблицы указано восемь цифр. Пусть цифры, соответствующие углу А (читаются слева направо), будут:

$d_{1}\quad d_{2}\quad d_{3}\quad d_{4}\quad d_{5}\quad d_{6}\quad d_{7}\quad d_{8}$

Тогда по правилам системы Катапаяди их следует брать справа налево и имеем:

${\begin{aligned}m&=d_{8}\times 1000+d_{7}\times 100+d_{6}\times 10+d_{5}\\s&=d_{4}\times 10+d_{3}\\t&=d_{2}\times 10+d_{1}\end{aligned}}$

$B=m^{\prime }s^{\prime \prime }t^{\prime \prime \prime }={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(m+{\frac {s}{60}}+{\frac {t}{60\times 60}}\right)$

Значение вышеуказанного угла B, будет соответствовать значению синуса A. выраженное в радианах ,

$\sin A={\frac {\pi }{180}}B$

Как было сказано ранее, это то же самое, что разделить закодированное значение на взятое значение R :

$\sin A={\frac {B}{\frac {21600^{\prime }}{2\pi }}}$

Пример

В таблице указаны следующие цифры, соответствующие углу А = 45,00°:

$5\quad 1\quad 1\quad 5\quad 0\quad 3\quad 4\quad 2$

Это дает угол с мерой:

${\begin{aligned}m&=2\times 1000+4\times 100+3\times 10+0{\text{ arcminutes}}\\&=2430{\text{ arcminutes}}\\s&=5\times 10+1{\text{ arcseconds}}\\&=51{\text{ arcseconds}}\\t&=1\times 10+5{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\\&=15{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\end{aligned}}$

Из чего мы получаем:

$B={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(2430+{\frac {51}{60}}+{\frac {15}{60\times 60}}\right)={\frac {116681}{2880}}$

Значение синуса A = 45,00 °, как указано в таблице Мадхавы, тогда представляет собой просто B, преобразованное в радианы:

$\sin 45^{\circ }={\frac {\pi }{180}}B={\frac {\pi }{180}}\times {\frac {116681}{2880}}$

Оценивая вышесказанное, можно обнаружить, что sin 45° равен 0,70710681… Это с точностью до 6 знаков после запятой.

Метод вычислений Мадхавы

Никакой работы Мадхавы, подробно описывающей методы, использованные им для вычисления таблицы синуса, не сохранилось. Однако из сочинений более поздних математиков Кералы, в том числе Нилакантхи Сомаяджи ( Тантрасанграха ) и Джьештадевы ( Юктибхаша ), в которых содержится множество ссылок на достижения Мадхавы, предполагается, что Мадхава вычислил свою таблицу синусов, используя разложение греха x в степенной ряд :

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

См. также

• Серия Мадхава
• Срок исправления Мадхавы
• Значение π по Мадхаве
• Таблица синусов Арьябхаты
• Таблица аккордов Птолемея

Дальнейшие ссылки

• Сумка, АК (1976). «Ряд синусов и косинусов Мадхавы» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 11 (1). Индийская национальная академия наук: 54–57. Архивировано из оригинала (PDF) 5 июля 2015 года . Проверено 21 августа 2016 г.
• О расчете Мадхавой таблицы синуса см.: Ван Браммелен, Глен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Принстон: Издательство Принстонского университета . стр. 113–120. ISBN  978-0-691-12973-0 .
• Для подробного обсуждения вычисления таблицы синусов Мадхавы с историческими ссылками: СК Раджу (2007). Культурные основы математики: природа математического доказательства и распространение исчисления из Индии в Европу в 16 веке. СЕ . История философии, науки и культуры в индийской цивилизации. Том. X Часть 4. Дели: Центр исследований цивилизаций. стр. 114–123.