Таблица синусов Арьябхаты

Таблица синусов Арьябхаты представляет собой набор из двадцати четырех чисел, приведенных в астрономическом трактате « Арьябхатия», составленном индийским математиком и астрономом пятого века Арьябхатой (476–550 гг. н.э.) для вычисления полухорд определенного набора дуг круг. Набор чисел появляется в стихе 12 главы 1 «Дашагитика Арьябхатии». ^{[ 1 ]} Это не таблица в современном понимании математической таблицы; то есть это не набор чисел, упорядоченных по строкам и столбцам. ^{[ 2 ]} ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Таблица Арьябхаты также не является набором значений тригонометрической функции синуса в общепринятом смысле; это таблица первых разностей значений тригонометрических синусов, выраженных в угловых минутах , и из-за этого таблицу также называют таблицей синус-разностей Арьябхаты . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Таблица Арьябхаты была первой таблицей синуса, когда-либо построенной в истории математики . ^{[ 7 ]} Ныне утерянные таблицы Гиппарха (ок. 190 г. до н. э. – ок. 120 г. до н. э.) и Менелая (ок. 70–140 н. э.), а также таблицы Птолемея (ок. 90 г. н. э. – ок. 168 г.) представляли собой таблицы аккордов , а не половинных таблиц. -аккорды. ^{[ 7 ]} Таблица Арьябхаты осталась стандартной таблицей синуса древней Индии. Постоянно предпринимались попытки повысить точность этой таблицы. Кульминацией этих усилий стало открытие , разложения функций синуса и косинуса Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 – ок. 1425), основателя керальской школы астрономии и математики в степенной ряд , а также составление таблицы синуса. Мадхавой со значениями с точностью до семи или восьми десятичных знаков.

Некоторые историки математики утверждают, что таблица синуса, приведенная в «Арьябхатия», была адаптацией более ранних таких таблиц, построенных математиками и астрономами Древней Греции. ^{[ 8 ]} Дэвид Пингри , один из выдающихся американских историков точных наук древности, был сторонником такой точки зрения. Предполагая эту гипотезу, Г.Дж. Тумер ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} пишет: «Вряд ли существует какая-либо документация о самом раннем прибытии греческих астрономических моделей в Индию или о том, как эти модели могли бы выглядеть. Поэтому очень трудно установить, в какой степени то, что дошло до нас, представляет собой переданные знания. , и что оригинально у индийских учёных... Правда, вероятно, представляет собой запутанную смесь того и другого». ^{[ 12 ]}

Стол

В современных обозначениях

Значения, закодированные в санскритском стихе Арьябхаты, можно расшифровать с помощью числовой схемы, объясненной в «Арьябхатия» , а декодированные числа перечислены в таблице ниже. В таблице во втором столбце перечислены угловые меры, соответствующие таблице синусов Арьябхаты. Третий столбец содержит список чисел, содержащихся в санскритском стихе, приведенном выше в письме деванагари . Для удобства пользователей, не умеющих читать деванагари, эти слова-цифры воспроизводятся в четвертом столбце в транслитерации ISO 15919 . В следующем столбце эти числа записаны индийско-арабскими цифрами . Числа Арьябхаты — это первые различия в значениях синусов. Соответствующее значение синуса (или, точнее, jya ) можно получить, суммируя разности до этой разности. Таким образом, значение jya, соответствующее 18°45′ — это сумма 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Для оценки точности вычислений Арьябхаты современные значения jya в последнем столбце таблицы приведены s.

В индийской математической традиции синус (или джья ) угла не является отношением чисел. Это длина определенного отрезка линии, определенной полухорды. Радиус базовой окружности является основным параметром для построения таких столов. Исторически сложилось так, что несколько таблиц были построены с использованием разных значений этого параметра. Арьябхата выбрал число 3438 в качестве значения радиуса базовой окружности для расчета своей таблицы синусоид. Обоснованием выбора этого параметра является идея измерения длины окружности в угловых мерах. В астрономических вычислениях расстояния измеряются в градусах , минутах , секундах и т. д. В этой мере длина окружности равна 360° = (60 × 360) минут = 21600 минут. Радиус круга, мера окружности которого равна 21600 минут, равен 21600/2π минут. Вычислив это с использованием значения π = 3,1416, известного Арьябхате, можно получить радиус круга примерно равный 3438 минутам. Таблица синусов Арьябхаты основана на этом значении радиуса базовой окружности. Пока не установлено, кто первым использовал это значение для базового радиуса. Но Арьябхатия — самый ранний сохранившийся текст, содержащий ссылку на эту базовую константу. ^{[ 13 ]}

Сл. Нет	Угол (А) (в градусах , угловые минуты )	Ценность в Арьябхате числовое обозначение (в Деванагари )	Ценность в Арьябхате числовое обозначение (в ISO 15919 транслитерации )	Стоимость в Индо-арабские цифры	Арьябхаты ценность Джон (А)	Современная ценность джья ) (А (3438 × грех (А))
1	03° 45′	летать	мачи	225	225′	224.8560
2	07° 30′	бхикхи	преданный	224	449′	448.7490
3	11° 15′	Фахи	пакет	222	671′	670.7205
4	15° 00′	Дакхи	дакхи	219	890′	889.8199
5	18° 45′	нахи	Нахи	215	1105′	1105.1089
6	22° 30′	нхи	Нахи	210	1315′	1315.6656
7	26° 15′	нхи	Нахи	205	1520′	1520.5885
8	30° 00′	худжх	хаджха	199	1719′	1719.0000
9	33° 45′	лыжи	скаки	191	1910′	1910.0505
10	37° 30′	Кишг	кишга	183	2093′	2092.9218
11	41° 15′	шгки	Сгаки	174	2267′	2266.8309
12	45° 00′	окей	посмотри что	164	2431′	2431.0331
13	48° 45′	глки	глаки	154	2585′	2584.8253
14	52° 30′	кг	кг	143	2728′	2727.5488
15	56° 15′	права	хакья	131	2859′	2858.5925
16	60° 00′	толкать	Даки	119	2978′	2977.3953
17	63° 45′	китч	убийство	106	3084′	3083.4485
18	67° 30′	сг	сга	93	3177′	3176.2978
19	71° 15′	тсссс	джаша	79	3256′	3255.5458
20	75° 00′	Нет	Нва	65	3321′	3320.8530
21	78° 45′	кл.	жаловаться	51	3372′	3371.9398
22	82° 30′	Пт	ПТА	37	3409′	3408.5874
23	86° 15′	Ф	фаза	22	3431′	3430.6390
24	90° 00′	является	нет	7	3438′	3438.0000

Вычислительный метод Арьябхаты

Второй раздел «Арьябхатьи», озаглавленный «Ганитападд», содержит строфу, указывающую метод вычисления таблицы синуса. Есть несколько неясностей в правильном толковании значения этого стиха. Например, ниже приводится перевод стиха, данный Кацем, в котором слова в квадратных скобках являются вставками переводчика, а не переводами текстов в стихе. ^{[ 13 ]}

«Когда разделенная вторая полухорда меньше первой полухорды, которая [приблизительно равна] [соответствующей] дуге, на определенную величину, оставшиеся [синусоидальные разности] меньше [чем предыдущие единицы] каждый на ту сумму, которую делят на первый полуаккорд».

Возможно, это связано с тем, что вторая производная синусоидальной функции равна отрицательному значению синусоидальной функции.

См. также

Ссылки

^ Крипа Шанкар Шукла и К.В. Сарма (1976). Арьябхатия Арьябхаты (критическая редакция с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателем) . Дели: Индийская национальная академия наук. стр. 29 . Проверено 25 января 2023 г.
^ Хелейн Селин (ред.) (2008). Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 986–988. ISBN 978-1-4020-4425-0 .
^ Селин, Хелейн , изд. (2008). Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 986–988 . ISBN 978-1-4020-4425-0 .
^ Юджин Кларк (1930). Астрономия . Чикаго: Издательство Чикагского университета.
^ Такао Хаяши, Т. (ноябрь 1997 г.). «Правило Арьябхаты и таблица синус-разностей» . История Математики . 24 (4): 396–406. дои : 10.1006/hmat.1997.2160 .
^ Б.Л. ван дер Варден, Б.Л. (март 1988 г.). «Реконструкция греческой таблицы аккордов» . Архив истории точных наук . 38 (1): 23–38. Бибкод : 1988AHES...38...23В . дои : 10.1007/BF00329978 . S2CID 189793547 .
^ Jump up to: ^а ^б Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» . Проверено 4 марта 2010 г.
^ «Гиппарх и тригонометрия» . Проверено 6 марта 2010 г.
^ Дж. Дж. Тумер, GJ (июль 2007 г.). «Таблица аккордов Гиппарха и ранняя история греческой тригонометрии». Центавр . 18 (1): 6–28. дои : 10.1111/j.1600-0498.1974.tb00205.x .
^ Б. Н. Нарахари Ачар (2002). «Арьябхата и таблица Рсинеса» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 37 (2): 95–99 . Проверено 6 марта 2010 г.
^ Глен Ван Браммелен (март 2000 г.). «[HM] Радианная мера» . Архив списка рассылки Historia Mathematica . Проверено 6 марта 2010 г.
^ Глен Ван Браммелен (25 января 2009 г.). Математика неба и земли: начало 0 . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691129730 .
^ Jump up to: ^а ^б Кац, Виктор Дж., изд. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 405–408. ISBN 978-0-691-11485-9 .

[1] Крипа Шанкар Шукла и К.В. Сарма (1976). Арьябхатия Арьябхаты (критическая редакция с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателем) . Дели: Индийская национальная академия наук. стр. 29 . Проверено 25 января 2023 г.

[2] Хелейн Селин (ред.) (2008). Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 986–988. ISBN 978-1-4020-4425-0 .

[3] Селин, Хелейн , изд. (2008). Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Спрингер. стр. 986–988 . ISBN 978-1-4020-4425-0 .

[4] Юджин Кларк (1930). Астрономия . Чикаго: Издательство Чикагского университета.

[5] Такао Хаяши, Т. (ноябрь 1997 г.). «Правило Арьябхаты и таблица синус-разностей» . История Математики . 24 (4): 396–406. дои : 10.1006/hmat.1997.2160 .

[6] Б.Л. ван дер Варден, Б.Л. (март 1988 г.). «Реконструкция греческой таблицы аккордов» . Архив истории точных наук . 38 (1): 23–38. Бибкод : 1988AHES...38...23В . дои : 10.1007/BF00329978 . S2CID 189793547 .

[mcs-7] Jump up to: ^а ^б Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» . Проверено 4 марта 2010 г.

[8] «Гиппарх и тригонометрия» . Проверено 6 марта 2010 г.

[9] Дж. Дж. Тумер, GJ (июль 2007 г.). «Таблица аккордов Гиппарха и ранняя история греческой тригонометрии». Центавр . 18 (1): 6–28. дои : 10.1111/j.1600-0498.1974.tb00205.x .

[10] Б. Н. Нарахари Ачар (2002). «Арьябхата и таблица Рсинеса» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 37 (2): 95–99 . Проверено 6 марта 2010 г.

[11] Глен Ван Браммелен (март 2000 г.). «[HM] Радианная мера» . Архив списка рассылки Historia Mathematica . Проверено 6 марта 2010 г.

[12] Глен Ван Браммелен (25 января 2009 г.). Математика неба и земли: начало 0 . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691129730 .

[Katz-13] Jump up to: ^а ^б Кац, Виктор Дж., изд. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 405–408. ISBN 978-0-691-11485-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]