Формула синусоидального приближения Бхаскары I

В математике открытых формула аппроксимации синуса Бхаскары I представляет собой рациональное выражение с одной переменной для вычисления приблизительных значений тригонометрических синусов, Бхаскарой I седьмого века (ок. 600 – ок. 680), индийским математиком . ^{[ 1 ]} Эта формула дана в его трактате под названием «Махабхаскария» . Неизвестно, как Бхаскара I пришел к своей аппроксимационной формуле. Однако несколько историков математики . выдвинули разные гипотезы относительно метода, который Бхаскара мог использовать для получения своей формулы Формула элегантна и проста и позволяет вычислять достаточно точные значения тригонометрических синусов без использования геометрии. ^{[ 2 ]}

Формула аппроксимации

Формула приведена в стихах 17–19 главы VII Махабхаскарии Бхаскары I. Перевод стихов приведен ниже: ^{[ 3 ]}

(Теперь) Я кратко изложу правило (для нахождения бхуджапхалы , котифалы и т. д.), не прибегая к использованию синус-разностей 225 и т. д. Вычтите степени бхуджи ( или коти ) из степеней полукруга ( то есть 180 градусов). Затем умножьте остаток на степени бхуджи или коти и запишите результат в двух местах. В одном месте вычтите результат из 40500. На одну четверть остатка (полученного таким образом) разделите результат в другом месте, умноженный на антиапхалу (то есть эпициклический радиус). Таким образом получается вся бахуфала (или котифала ) для Солнца, Луны или звезд-планет. Так же получаются прямой и обратный Rсинусы.

(Ссылка «Rsine-разности 225» является намеком на таблицу синусов Арьябхаты .)

В современных математических обозначениях для угла x в градусах эта формула дает ^{[ 3 ]}

\sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}.

Эквивалентные формы формулы

Формулу синуса Бхаскары I можно выразить с использованием радианской меры углов следующим образом: ^{[ 1 ]}

\sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.

Для положительного целого числа n это принимает следующий вид: ^{[ 4 ]}

\sin {\frac {\pi }{n}}\approx {\frac {16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.

Формула приобретает еще более простой вид, если выражать ее через косинус, а не через синус. Используя радианную меру для углов от $-{\frac {\pi }{2}}$ к ${\frac {\pi }{2}}$ и положить $x={\tfrac {1}{2}}\pi +y$ , человек получает

\cos y\approx {\frac {\pi ^{2}-4y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}.

Чтобы выразить предыдущую формулу с помощью константы $\tau =2\pi ,$ можно использовать

\cos y\approx 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\tau ^{2}}}.

Эквивалентные формы формулы Бхаскары I были даны почти всеми последующими астрономами и математиками Индии. Например, Брахмагупта (598–668 гг. Н. Э. ). Брихма-Спхута-Сиддханта (стихи 23–24, глава XIV) ^{[ 3 ]} дает формулу в следующем виде:

R\sin x^{\circ }\approx {\frac {Rx(180-x)}{10125-{\frac {1}{4}}x(180-x)}}.

Кроме того, Бхаскара II (1114–1185 гг. н.э. ) привел эту формулу в своей «Лилавати» (Кшетра-вьявахара, Сока № 48) в следующей форме:

2R\sin x^{\circ }\approx {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times (360R)^{2}-2Rx\times (360R-2Rx)}}={\frac {5760Rx-32Rx^{2}}{162000-720x+4x^{2}}}

Точность формулы

Рисунок иллюстрирует уровень точности формулы аппроксимации синуса Бхаскары I. Сдвинутые кривые 4 x (180 − x )/(40500 − x (180 − x )) − 0,2 и sin x + 0,2 выглядят как точные копии кривой sin x .

График относительной ошибки в формуле синусоидального приближения Бхаскары I

Формула применима для значений х ° в диапазоне от 0° до 180°. Формула удивительно точна в этом диапазоне. Графики sin x и формулы аппроксимации визуально неразличимы и практически идентичны. На одном из сопроводительных рисунков приведен график функции ошибок, а именно функции

\sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}

в использовании формулы. Из него видно, что максимальная абсолютная ошибка при использовании формулы составляет около 0,0016. Из графика процентного значения абсолютной ошибки видно, что максимальная относительная ошибка составляет менее 1,8%. Таким образом, аппроксимационная формула дает достаточно точные значения синусов для большинства практических целей. Однако этого было недостаточно для более точных вычислительных потребностей астрономии. Поиски более точных формул индийскими астрономами в конечном итоге привели к открытию разложения в степенные ряды sin x и cos x. Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 — ок. 1425), основателем керальской школы астрономии и математики ,

Вывод формулы

Бхаскара не указал никакого метода, с помощью которого он пришел к своей формуле. Историки высказывают различные предположения. Окончательных ответов пока не получено. Помимо исторической важности, поскольку она является ярким примером математических достижений древнеиндийских астрономов, эта формула имеет значение и с современной точки зрения. Математики попытались вывести это правило, используя современные концепции и инструменты. Было предложено около полудюжины методов, каждый из которых основан на отдельном наборе предпосылок. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Большинство этих выводов используют только элементарные понятия.

Вывод на основе элементарной геометрии

Пусть длина окружности градусах измерена в и радиус R круга также градусах измерен в . Выбрав фиксированный диаметр AB и произвольную точку P на окружности и опустив перпендикуляр PM к AB , мы можем вычислить площадь треугольника APB двумя способами. Приравнивая два выражения для площади, получаем (1/2) AB × PM = (1/2) AP × BP . Это дает

{\frac {1}{PM}}={\frac {AB}{AP\times BP}}.

Полагая x длиной дуги AP , длина дуги BP равна 180 − x . Эти дуги намного больше соответствующих хорд. Следовательно, человек получает

{\frac {1}{PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}.

Теперь мы ищем две константы α и β такие, что

{\frac {1}{PM}}=\alpha {\frac {2R}{x(180-x)}}+\beta .

Действительно, получить такие константы невозможно. Однако можно выбрать значения α и β так, чтобы приведенное выше выражение было справедливым для двух выбранных значений длины дуги x . Выбрав в качестве этих значений 30° и 90° и решив полученные уравнения, сразу же получаем формулу аппроксимации синуса Бхаскары I. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Вывод, начиная с общего рационального выражения

Предполагая, что x выражен в радианах, можно найти приближение к sin x в следующей форме:

\sin x\approx {\frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+rx^{2}}}.

Константы a , b , c , p , q и r (из них только пять являются независимыми) можно определить, предположив, что формула должна быть точно справедливой при x = 0, π/6, π/2, π и далее предполагая, что он должен удовлетворять свойству sin( x ) = sin(π − x ). ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Эта процедура дает формулу, выраженную с использованием радианской меры углов.

Элементарный аргумент

Сравнение графиков парабол x (180 − x )/8100 и x (180 − x )/9000 с графиком sin x (где x в градусах)

Часть графика sin x в диапазоне от 0° до 180° «выглядит» как часть параболы через точки (0, 0) и (180, 0). Общий вид такой параболы:

kx(180-x).

Парабола, которая также проходит через (90, 1) (которая является точкой, соответствующей значению sin(90°) = 1), равна

{\frac {x(180-x)}{90\times 90}}={\frac {x(180-x)}{8100}}.

Парабола, которая также проходит через (30, 1/2) (которая является точкой, соответствующей значению sin(30°) = 1/2), равна

{\frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}}={\frac {x(180-x)}{9000}}.

Эти выражения предполагают переменный знаменатель, который принимает значение 90 × 90, когда x = 90, и значение 2 × 30 × 150, когда x = 30. То, что это выражение также должно быть симметрично относительно прямой x = 90, исключает возможность выбора линейное выражение по x . Вычисления с участием x (180 − x ) могли бы сразу предположить, что выражение может иметь вид

8100a+bx(180-x).

Небольшое экспериментирование (или составление и решение двух линейных уравнений относительно a и b ) даст значения a = 5/4, b = −1/4. Это дает формулу аппроксимации синуса Бхаскары I. ^{[ 4 ]}

Карел Строетхофф (2014) предлагает аналогичный, но более простой аргумент в пользу выбора Бхаскары I. Он также предлагает аналогичное приближение для косинуса и распространяет эту технику на полиномы второго и третьего порядка. ^{[ 5 ]}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (ноябрь 2000 г.). «Бхаскара I» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 23 марта 2010 года . Проверено 22 апреля 2010 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Глен Ван Браммелен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12973-0 . (стр. 104)
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Р.Ц. Гупта (1967). «Приближение Бхаскары I к синусу» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 2 (2). Архивировано из оригинала (PDF) 16 марта 2012 года . Проверено 20 апреля 2010 г.
^ Jump up to: ^а ^б Джордж Гевергезе Джозеф (2009). Переход в бесконечность: Средневековая индийская математика из Кералы и ее влияние . Нью-Дели: SAGE Publications India Pvt. ООО ISBN 978-81-321-0168-0 . (стр.60)
^ Строетхофф, Карел (1 декабря 2014 г.). «Приближение Бхаскары для синуса» . Любитель математики . 11 (3): 485–494. дои : 10.54870/1551-3440.1313 .

Дальнейшие ссылки

Р.Ц.Гупта, О выводе формулы синуса Бхаскары I, Ганита Бхарати 8 (1-4) (1986), 39–41.
Т. Хаяши, Заметка о рациональном приближении Бхаскары I к синусу, Historia Sci. № 42 (1991), 45–48.
К. Строетхофф, Приближение Бхаскары для синуса, Энтузиаст математики, Том. 11, № 3 (2014), 485–492.

[mcs-1] Jump up to: ^а ^б Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (ноябрь 2000 г.). «Бхаскара I» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 23 марта 2010 года . Проверено 22 апреля 2010 г.

[Brummelen-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Глен Ван Браммелен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12973-0 . (стр. 104)

[Gupta-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Р.Ц. Гупта (1967). «Приближение Бхаскары I к синусу» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 2 (2). Архивировано из оригинала (PDF) 16 марта 2012 года . Проверено 20 апреля 2010 г.

[Joseph-4] Jump up to: ^а ^б Джордж Гевергезе Джозеф (2009). Переход в бесконечность: Средневековая индийская математика из Кералы и ее влияние . Нью-Дели: SAGE Publications India Pvt. ООО ISBN 978-81-321-0168-0 . (стр.60)

[5] Строетхофф, Карел (1 декабря 2014 г.). «Приближение Бхаскары для синуса» . Любитель математики . 11 (3): 485–494. дои : 10.54870/1551-3440.1313 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]