Алгебраическая дробь

В алгебре алгебраическая дробь — это дробь , числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями . Два примера алгебраических дробей: ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ и ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$. Алгебраические дроби подчиняются тем же законам, что и арифметические дроби .

Рациональная дробь — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами . Таким образом ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ является рациональной дробью, но не ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},$ потому что числитель содержит функцию квадратного корня.

Терминология

В алгебраической дроби ${\tfrac {a}{b}}$делимое a называется числителем , а делитель b называется знаменателем . Числитель и знаменатель называются членами алгебраической дроби.

Сложная дробь — это дробь, числитель или знаменатель которой (или и то, и другое) содержит дробь. Простая дробь не содержит дробей ни в числителе, ни в знаменателе. Дробь является наименьшей, если единственный общий делитель числителя и знаменателя равен 1.

Выражение, не представленное в дробной форме, является целым выражением . Целое выражение всегда можно записать в дробной форме, придав ему знаменатель 1. Смешанное выражение представляет собой алгебраическую сумму одного или нескольких целых выражений и одного или нескольких дробных членов.

Рациональные дроби

См. Также: Рациональная функция

Если выражения a и b являются полиномами , алгебраическая дробь называется рациональной алгебраической дробью. или просто рациональная дробь . Рациональные дроби также известны как рациональные выражения. Рациональная дробь ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ называется правильным , если $\deg f(x)<\deg g(x)$и неправильно в противном случае. Например, рациональная дробь ${\tfrac {2x}{x^{2}-1}}$ правильная, а рациональные дроби ${\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}$ и ${\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}$являются неправильными. Любую неправильную рациональную дробь можно выразить как сумму многочлена (возможно, постоянного) и правильной рациональной дроби. В первом примере неправильной дроби имеем

${\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},$

где второй член — правильная рациональная дробь. Сумма двух правильных рациональных дробей также является правильной рациональной дробью. Обратный процесс выражения правильной рациональной дроби в виде суммы двух или более дробей называется ее разложением на простейшие дроби . Например,

${\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.$

Здесь два члена справа называются частичными дробями.

Иррациональные дроби

Иррациональная дробь — это дробь, содержащая переменную под дробным показателем. Пример иррациональной дроби:

${\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.$

Процесс преобразования иррациональной дроби в рациональную известен как рационализация . Каждую иррациональную дробь, в которой радикалы являются мономами, можно рационализировать, найдя наименьшее общее кратное индексов корней и заменив эту переменную другой переменной с наименьшим общим кратным в качестве показателя степени. В приведенном примере наименьшее общее кратное равно 6, поэтому мы можем заменить $x=z^{6}$ чтобы получить

${\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.$

См. также

• Частичное дробное разложение

Ссылки

• Бринк, Раймонд В. (1951). «IV. Дроби» . Колледж алгебры .