Шульба Сутры

Шулва -сутры или Шулбасутры ( санскрит : शुल्बसूत्र; śulba : «нитка, шнур, веревка») — это тексты сутр , принадлежащие ритуалу Шраута и содержащие геометрию, связанную со строительством огненного алтаря .

Цель и происхождение

Шульба-сутры являются частью более крупного корпуса текстов, называемых Шраута-сутры , которые считаются приложениями к Ведам . Они являются единственными источниками знаний индийской математики ведического периода . Уникальные формы огненного алтаря ассоциировались с уникальными дарами богов. Например, «кто желает неба, тот должен построить огненный жертвенник в виде сокола»; «огненный алтарь в форме черепахи должен быть построен тем, кто желает завоевать мир Брахмана» и «те, кто желает уничтожить существующих и будущих врагов, должны построить огненный алтарь в форме ромба».

Четыре основные Шулба-сутры, которые являются наиболее значимыми с математической точки зрения, принадлежат Баудхаяне , Манаве , Апастамбе и Катьяяне . Их язык – поздний ведический санскрит , что указывает на то, что они возникли примерно в первом тысячелетии до нашей эры . Самая старая из них — сутра, приписываемая Баудхаяне, возможно, составленная примерно между 800 и 500 годами до нашей эры. Пингри говорит, что Апастамба, вероятно, следующий по возрасту; он помещает Катьяяну и Манаву на третье и четвертое места в хронологическом порядке на основании очевидных заимствований. По словам Плофкера, Катьяяна была составлена ​​после «великой грамматической кодификации санскрита Панини , вероятно, в середине четвертого века до нашей эры», но она относит Манаву к тому же периоду, что и Баудхаяну.

Что касается состава ведических текстов, Плофкер пишет:

Ведическое почитание санскрита как священной речи, чьи божественно открытые тексты предназначались для чтения, прослушивания и запоминания, а не для передачи в письменной форме, помогло сформировать санскритскую литературу в целом. ... Таким образом, тексты составлялись в форматах, которые можно было легко запомнить: либо сжатые прозаические афоризмы ( сутры , слово, позже примененное для обозначения правила или алгоритма в целом), либо стихи, особенно в классический период. Естественно, простота запоминания иногда мешала легкости понимания. В результате большинство трактатов были дополнены одним или несколькими комментариями в прозе...»

К каждой из «Шульба-сутр» имеется множество комментариев, но они были написаны намного позже оригинальных произведений. Например, комментарий Сундарараджи к Апастамбе датируется концом 15 века нашей эры. а комментарий Дваракнатхи к Баудхаяне, по-видимому, заимствован у Сундарараджи. По мнению Стаала, некоторые аспекты традиции, описанной в «Шульба-сутрах», могли «передаваться устно», и он указывает на места на юге Индии, где до сих пор практикуется ритуал огненного алтаря и сохранилась устная традиция. Однако традиция огненного алтаря в Индии в значительной степени вымерла, и Плофкер предупреждает, что те районы, где эта практика сохранилась, могут отражать более позднее ведическое возрождение, а не непрерывную традицию. Археологические свидетельства алтарных конструкций, описанных в «Шулба-сутрах», немногочисленны. Большой огненный алтарь в форме сокола ( śyenaciti ), датируемый вторым веком до нашей эры, был найден при раскопках Г. Р. Шармой в Каусамби , но этот алтарь не соответствует размерам, предписанным Шулба-сутрами.

Обложка договора Шулбасутры индийского математика Катьяяны, датированного примерно II веком до нашей эры.

Содержание Шульба-сутр, вероятно, старше самих произведений. « Сатапатха -брахмане» и «Тайттирия-самхите» , содержание которых датируется концом второго тысячелетия или началом первого тысячелетия . В до н Баудхаяна Шульба Сутра.

Некоторые математики и историки отмечают, что самые ранние тексты были написаны начиная с 800 г. до н.э. ведическими индуистами на основе компиляций устной традиции, датируемой 2000 г. до н.э. Возможно, как предположил Гупта, геометрия была разработана для удовлетворения потребностей ритуала. Некоторые ученые идут еще дальше: Стаал выдвигает гипотезу об общем ритуальном происхождении индийской и греческой геометрии, ссылаясь на схожий интерес и подход к удвоению и другим проблемам геометрического преобразования. Зайденберг, а затем ван дер Варден, рассматривают ритуальное происхождение математики в более широком смысле, постулируя, что основные достижения, такие как открытие теоремы Пифагора, произошли только в одном месте и распространились оттуда по остальному миру. Ван дер Варден упоминает, что автор сутр Сульбха существовал до 600 г. до н.э. и не мог находиться под влиянием греческой геометрии. Хотя Бойер упоминает древневавилонскую математику (ок. 2000 г. до н.э. – 1600 г. до н.э.) как возможное происхождение, однако также утверждает, что сутры Шульбы содержат формулу, которой нет в вавилонских источниках. К. С. Кришнан отмечает, что сутры Шульбы предшествуют месопотамским тройкам Пифагора. Зайденберг утверждает, что либо «Старая Вавилония получила теорему Пифагора из Индии, либо Старая Вавилония и Индия получили ее из третьего источника». Зайденберг предполагает, что этот источник может быть шумерским и датироваться более 1700 годом до нашей эры. Напротив, Пингри предупреждает, что «было бы ошибкой видеть в работах [строителей алтарей] уникальное происхождение геометрии; другие в Индии и других местах, будь то в ответ на практические или теоретические проблемы, вполне могли продвинуться так далеко без их решения были запомнены или в конечном итоге записаны в рукописях». Плофкер также предполагает, что «существующие геометрические знания [были] сознательно включены в ритуальную практику».

Список Шульба-сутр

1. Апастамба
2. Баудхаяна
3. Дыхание
4. Катяна
5. Майтраяния (чем-то похож на текст Манавы)
6. Вараха (в рукописи)
7. Вадхула (в рукописи)
8. Хираньякешин (похож на Апастамба Шулба Сутры)

Математика

Теорема Пифагора и тройки Пифагора

Сутры содержат утверждения теоремы Пифагора , как в случае равнобедренного прямоугольного треугольника , так и в общем случае, а также списки пифагорейских троек . В Баудхаяне, например, правила сформулированы следующим образом:

1.9. Диагональ квадрата дает двойную площадь [квадрата].
[...]
1.12. Площади [квадратов], полученные по отдельности из длин ширины прямоугольника, вместе равны площади [квадрата], полученной из диагонали.
1.13. Это наблюдается у прямоугольников, имеющих стороны 3 и 4, 12 и 5, 15 и 8, 7 и 24, 12 и 35, 15 и 36.

Точно так же в правилах Апастамбы для построения прямых углов в огненных алтарях используются следующие пифагорейские тройки:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(12,35,37)$

Кроме того, в сутрах описаны процедуры построения квадрата, площадь которого равна сумме или разности двух данных квадратов. Обе конструкции основаны на том, что самый большой из квадратов является квадратом на диагонали прямоугольника, а два меньших квадрата — квадратами на сторонах этого прямоугольника. Утверждение о том, что каждая процедура дает квадрат нужной площади, эквивалентно утверждению теоремы Пифагора. Другая конструкция дает квадрат с площадью, равной площади данного прямоугольника. Процедура заключается в том, чтобы отрезать прямоугольный кусок от конца прямоугольника и приклеить его сбоку, чтобы сформировать гномон с площадью, равной исходному прямоугольнику. Поскольку гномон — это разность двух квадратов, задачу можно решить, используя одну из предыдущих конструкций.

Геометрия

Сутра Баудхаяны Шульбы дает построение геометрических фигур, таких как квадраты и прямоугольники. Он также дает, иногда приблизительные, сохраняющие геометрическую площадь преобразования одной геометрической формы в другую. К ним относятся преобразование квадрата в прямоугольник , равнобедренную трапецию , равнобедренный треугольник , ромб и круг , а также преобразование круга в квадрат. В этих текстах приближения, такие как преобразование круга в квадрат, встречаются рядом с более точными утверждениями. Например, утверждение об кружении по квадрату дано в Баудхаяне следующим образом:

2.9. Если желательно превратить квадрат в круг, [шнур длиной в половину диагонали [квадрата] протягивается от центра к востоку [часть его, лежащая за пределами восточной стороны квадрата]; прибавив одну треть [части, лежащей снаружи] к остатку [половины диагонали], рисуется [нужный] круг.

а утверждение квадратуры круга задается как:

2.10. Чтобы превратить круг в квадрат, диаметр делят на восемь частей; одна [такая] часть после разделения на двадцать девять частей уменьшается на двадцать восемь из них и далее на шестую [из оставшейся части] за вычетом восьмой [из шестой части].
2.11. Альтернативно разделите [диаметр] на пятнадцать частей и уменьшите его на две из них; это дает приблизительную сторону квадрата [желаемая].

Конструкции в 2.9 и 2.10 дают значение π как 3,088, а конструкция в 2.11 дает π как 3,004.

Квадратные корни

Строительство алтаря также привело к оценке квадратного корня из 2, как это указано в трех сутрах. В сутре Баудаяны это звучит так:

2.12. Меру следует увеличить на треть, а эту [третью] снова на свою четверть за вычетом тридцать четвертой части [этой четверти]; это [значение] диагонали квадрата, [сторона которого является мерой].

что приводит к тому, что значение квадратного корня из двух равно:

${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}=1.4142...$

Действительно, ранний метод вычисления квадратных корней можно найти в некоторых сутрах. , метод использует рекурсивную формулу: ${\sqrt {x}}\approx {\sqrt {x-1}}+{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x-1}}}}$ для больших значений x, что основано на нерекурсивном тождестве ${\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2\cdot a}}$ для значений r чрезвычайно малых по отношению к a .

Это также было предложено, например, Бюрком. что это приближение √2 подразумевает знание того, что √2 иррационально . Евклида В своем переводе «Начал» Хит выделяет ряд вех, необходимых для того, чтобы иррациональность считалась открытой, и указывает на отсутствие доказательств того, что индийская математика достигла этих вех в эпоху Шульба-сутр.

См. также

• Кальпа (Веданга)

Ссылки

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-54397-7 .
• Бюрк, Альберт (1901). «Апастамба Сулба Сутра, отредактированная, переведенная и с введением» . Журнал Немецкого восточного общества (на немецком языке). 55 :543-591.
• Делир, Жан Мишель (2009). «Хронологические выводы из сравнения комментариев к различным Шулбасутрам ». В Вуястыке, Доминик (ред.). Математика и медицина на санскрите . стр. 37–62.
• Брайант, Эдвин (2001). Поиски истоков ведической культуры: дебаты об индоарийской миграции . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780195137774 .
• Кук, Роджер (2005) [Впервые опубликовано в 1997 году]. История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс . ISBN  0-471-44459-6 .
• Датта, Бибхутибхушан (1932). Наука Сульбы. Исследование ранней индуистской геометрии . Университет Калькутты .
• Гупта, Р.К. (1997). «Баудхайана». В Селин, Хелейн (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Спрингер. ISBN  978-0-7923-4066-9 .
• Хит, сэр Томас Л. (1925) [1908]. Тринадцать книг «Начал» Евклида, перевод с текста Хейберга, с введением и комментариями . Том. Я (2-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Пингри, Дэвид (1981), Гонда, Ян (редактор), Джйотихшастра: астральная и математическая литература , История индийской литературы, том. VI, Научно-техническая литература
• Плофкер, Ким (2007). «Математика в Индии». В Каце, Виктор Дж (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-11485-9 .
• Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691120676 .
• Сарма, КВ (1997). «Сулбасутры». В Селин, Хелейн (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Спрингер. ISBN  978-0-7923-4066-9 .
• Зайденберг, А. (1978). «Происхождение математики». Архив истории точных наук . 18 (4): 301–342. дои : 10.1007/BF00348435 . S2CID   118671661 .
• Зайденберг, А. (1983). «Геометрия ведических ритуалов». В Стаале, Фриц (ред.). Агни: Ведический ритуал огненного алтаря . Беркли: Asian Humanities Press.
• Стаал, Фриц (1999). «Греческая и ведическая геометрия». Журнал индийской философии . 27 : 105–127. дои : 10.1023/А:1004364417713 . S2CID   16466375 .
• Тибо, Джордж (1875). «О Шулвасутрах» . Журнал Азиатского общества Бенгалии . 44 : 227–275.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Спрингер-Верлаг. ISBN  9783642617812 .

Переводы

• «Шулвасутра Баудхаяны с комментарием Двараканатхаяджвана» Джорджа Тибо была опубликована в серии выпусков журнала The Pandit. Ежемесячный журнал Бенаресского колледжа, посвященный санскритской литературе . Обратите внимание, что комментарий остался непереведенным.
  • (1875) 9 (108): 292–298
  • (1875–1876) 10 (109): 17–22 , (110): 44–50 , (111): 72–74 , (114): 139–146 , (115): 166–170 , (116): 186–194 , (117): 209–218
  • (новая серия) (1876–1877) 1 (5): 316–322 , (9): 556–578 , (10): 626–642 , (11): 692–706 , (12): 761–770
• «Шулбапаришишта Катьяяны с комментариями Рамы, сына Сурьядасы» Джорджа Тибо была опубликована в серии выпусков журнала The Pandit. Ежемесячный журнал Бенаресского колледжа, посвященный санскритской литературе . Обратите внимание, что комментарий остался непереведенным.
  • (новая серия) (1882) 4 (1–4): 94–103 , (5–8): 328–339 , (9–10): 382–389 , (9–10): 487–491
• Бюрк, Альберт (1902). «Апастамба Сулба Сутра, отредактированная, переведенная и с введением» . Журнал Немецкого восточного общества (на немецком языке). 56 :327-391. Транскрипция и анализ у Бюрка (1901) .
• Сен, СН; Сумка, АК (1983). , Катьяяны и Манавы с текстом, английским переводом и комментариями Шульба-сутры Баудхаяны, Апастамбы Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.