Увидеть Каумуди

Ганита Каумуди ( санскрит : गणितकौमदी ) — трактат по математике, написанный индийским математиком Нараяной Пандитом в 1356 году. Это был трактат по арифметике наряду с другим алгебраическим трактатом Нараяны Пандита под названием «Биджганита Ватамса» .

Содержание

Ганита Каумуди содержит около 475 стихов сутры (правил) и 395 стихов удахараны (примеров). Он разделен на 14 глав ( вьявахара ):

1. Пракирнака-вьявахара

Меры и веса, длина, площадь, объем и т. д. Описываются сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат, квадратный корень, куб и кубический корень. Описанные здесь задачи линейных и квадратных уравнений более сложны, чем в более ранних работах. 63 правила и 82 примера

2. Мишрака-вьявахара

Математика, относящаяся к повседневной жизни: «смешение материалов, проценты по основной сумме, оплата в рассрочку, смешивание золотых предметов разной чистоты и другие проблемы, относящиеся к линейным неопределенным уравнениям со многими неизвестными». 42 правила и 49 примеров

3. Шредхи-вьявахара

Арифметические и геометрические прогрессии, последовательности и ряды. Это обобщение имело решающее значение для нахождения бесконечного ряда для синуса и косинуса. 28 правил и 19 примеров.

4. Кшетра-вьявахара

Геометрия. 149 правил и 94 примера. Включает специальный материал по циклическим четырехугольникам, таким как «третья диагональ».

5. Кхата-вьявахара

Раскопки. 7 правил и 9 примеров.

6. Сити-вьявахара

Стеки. 2 правила и 2 примера.

7. Раши-вьявахара

Кучки зерна. 2 правила и 3 примера.

8. Чая-вьявахара

Проблемы с тенью. 7 правил и 6 примеров.

9. Куттака

Линейные целочисленные уравнения. 69 правил и 36 примеров.

10. Варгапракрити

Квадратичный. 17 правил и 10 примеров. Включает вариант метода Чакравалы . Ганита Каумуди содержит множество результатов из цепных дробей . В тексте Нараяна Пандит использовал знания о простой повторяющейся цепной дроби при решении неопределенных уравнений типа $nx^{2}+k^{2}=y^{2}$.

11. Бхагаган

Содержит метод факторизации, 11 правил и 7 примеров.

12. Рупадьямшаватара

Содержит правила записи дроби в виде суммы единичных дробей. 22 правила и 14 примеров.

Дроби были известны в индийской математике в ведический период: Шулба -сутры дают приближение √ 2, эквивалентное $1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3\cdot 4}}-{\tfrac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}$. правила выражения дроби как суммы единичных дробей ранее были даны в Ганита-сара-санграхе Махавиры Систематические ( ок. 850 г. ). Нараяны В «Ганита-каумуди» дано еще несколько правил: раздел «Бхагаджати» в двенадцатой главе под названием «Амшаватара-вьявахара» содержит восемь правил. Первые несколько:

• Правило 1. Выразить 1 как сумму n долей единицы:

$1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\dots +{\frac {1}{(n-1)\cdot n}}+{\frac {1}{n}}$

• Правило 2. Выразить 1 как сумму n долей единицы:

$1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{2\cdot 3^{n-2}}}$

• Правило 3. Выразить дробь $p/q$ как сумма долей единицы :

Выберите произвольное число i такое, что $(q+i)/p$ целое число r , напишите

${\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{qr}}$

и таким же образом найдите последовательные знаменатели, действуя на новую дробь. Если i всегда выбирается как наименьшее такое целое число, это эквивалентно жадному алгоритму для египетских дробей , но правило Ганиты-Каумуди не дает уникальной процедуры и вместо этого утверждает эвам иштавашад бахудха («Таким образом, существует много способов, по своему выбору»).

• Правило 4. Учитывая $n$ произвольные числа $k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}$,

$1={\frac {(k_{2}-k_{1})k_{1}}{k_{2}\cdot k_{1}}}+{\frac {(k_{3}-k_{2})k_{1}}{k_{3}\cdot k_{2}}}+\dots +{\frac {(k_{n}-k_{n-1})k_{1}}{k_{n}\cdot k_{n-1}}}+{\frac {1\cdot k_{1}}{k_{n}}}$

• Правило 5. Выразить 1 как сумму дробей с заданными числителями $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$:

Рассчитать $i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}$ как $i_{1}=a_{1}+1$, $i_{2}=a_{2}+i_{1}$, $i_{3}=a_{3}+i_{2}$и так далее, и напишите

$1={\frac {a_{1}}{1\cdot i_{1}}}+{\frac {a_{2}}{i_{1}\cdot i_{2}}}+{\frac {a_{3}}{i_{2}\cdot i_{3}}}+\dots +{\frac {a_{n}}{i_{n-1}\cdot i_{n}}}+{\frac {1}{i_{n}}}$

13. Анка-паша

Комбинаторика. 97 правил и 45 примеров. Генерация перестановок (в том числе мультимножеств), комбинаций, целочисленных разбиений , биномиальных коэффициентов, обобщенных чисел Фибоначчи.

Нараяна Пандит отметил эквивалентность фигурных чисел и формул количества комбинаций разных вещей, взятых в таком количестве за раз.

Книга содержит правило для определения количества перестановок n объектов и классический алгоритм поиска следующей перестановки в лексикографическом порядке, хотя вычислительные методы значительно продвинулись за пределы этого древнего алгоритма. Дональд Кнут описывает множество алгоритмов, посвященных эффективной генерации перестановок, и обсуждает их историю в своей книге «Искусство компьютерного программирования» .

14. Бхадраганита

Магические квадраты. 60 правил и 17 примеров.

Издания

• «Перевод Ганиты Каумуди с обоснованием по современной математике и историческим примечаниям», С.Л. Сингх, директор Научного колледжа, Гурукул Кангри Вишвавидьялая , Харидвар
• Ганита Каумуди, Том 1–2, Нараяна Пандит (Выпуск 57 принцессы Уэльской Сарасвати Бхавана Грантхамала : Абхинава нибандхамала Падмакара Двиведи Джьяутишачарья, 1936)

Ссылки

Примечания

Библиография

• Кусуба, Таканори (2004), «Индийские правила разложения фракций», у Чарльза Бернетта; Ян П. Хогендейк; Ким Плофкер ; и др. (ред.), Исследования по истории точных наук в честь Дэвида Пингри , Брилл , ISBN  9004132023 , ISSN   0169-8729
• М.Д. Шринивас, М.С. Шрирам, К. Рамасубраманиан, Математика в Индии - от ведического периода до наших дней . Лекции 25–27.

Внешние ссылки

• Ганита Каумуди, часть 1 (1936)
• Ганита Каумуди, часть 2 (1942)
• Ганита Каумуди и продолжающаяся фракция