Вавилонская математика

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Диагональ отображает приближение квадратного корня из 2 в четырех шестидесятеричных цифрах, 1 24 51 10, что соответствует примерно шести десятичным цифрам.
1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1,41421296... В табличке также приведен пример, где одна сторона квадрата равна 30, а полученная диагональ равна 42 25 35 или 42,4263888...

Вавилонская математика (также известная как ассиро-вавилонская математика ) ^[1]^[2]^[3]^[4]— это математика, разработанная или практикуемая жителями Месопотамии , о чем свидетельствуют источники, в основном сохранившиеся от периода Старого Вавилона (1830–1531 до н.э.) до Селевкидов последних трех или четырех веков до нашей эры. Что касается содержания, то между двумя группами текстов практически нет различий. Вавилонская математика оставалась неизменной по своему характеру и содержанию на протяжении более тысячелетия. ^[5]

В отличие от нехватки источников по египетской математике , знания по вавилонской математике основаны на сотнях глиняных табличек , раскопанных с 1850-х годов. Таблички, написанные клинописью , писались, пока глина была влажной, и обжигались в печи или под воздействием солнечного тепла. Большинство обнаруженных глиняных табличек датируются периодом с 1800 по 1600 год до нашей эры и охватывают такие темы, как дроби , алгебра , квадратные и кубические уравнения и теорема Пифагора . Вавилонская табличка YBC 7289 дает приблизительное представление о ${\sqrt {2}}$ с точностью до трех значащих шестидесятеричных цифр (около шести значащих десятичных цифр).

Истоки вавилонской математики [ править ]

Вавилонская математика представляет собой ряд числовых и более продвинутых математических практик на древнем Ближнем Востоке , написанных клинописью . Исторически исследование было сосредоточено на древневавилонском периоде в начале второго тысячелетия до нашей эры из-за большого количества доступных данных. Были споры по поводу самого раннего появления вавилонской математики, при этом историки предполагают диапазон дат между 5-м и 3-м тысячелетиями до нашей эры. ^[6] Вавилонская математика в основном записывалась на глиняных табличках клинописью на аккадском или шумерском языках.

«Вавилонская математика», пожалуй, бесполезный термин, поскольку самые ранние предположения о ее происхождении относятся к использованию учетных устройств, таких как буллы и жетоны , в 5-м тысячелетии до нашей эры. ^[7]

Вавилонские цифры [ править ]

Вавилонская система математики представляла собой шестидесятеричную (по основанию 60) систему счисления . Отсюда мы получаем современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 градусов в круге. ^[8]Вавилоняне смогли добиться больших успехов в математике по двум причинам. Во-первых, число 60 — это превосходное весьма составное число , имеющее делители 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (включая те, которые сами являются составными), что облегчает вычисления с дроби . Кроме того, в отличие от египтян и римлян, вавилоняне имели настоящую систему разрядов , где цифры, написанные в левом столбце, представляли большие значения (так же, как в нашей десятичной системе 734 = 7×100 + 3×10 + 4× 1). ^[9]

Древневавилонская математика (2000–1600 до н.э. )

Арифметика [ править ]

Вавилоняне использовали заранее рассчитанные таблицы для помощи в арифметике . Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрате в 1854 году и датированные 2000 годом до нашей эры, содержат списки квадратов чисел до 59 и кубов чисел до 32. Вавилоняне использовали списки квадратов вместе с формулами:

ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}

ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}

упростить умножение.

У вавилонян не было алгоритма деления в столбики . ^[10] Вместо этого они основывали свой метод на том факте, что:

{\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}

вместе с таблицей обратных величин . Числа, единственными простыми делителями которых являются 2, 3 или 5 (известные как 5- гладкие или регулярные числа ), имеют конечные обратные величины в шестидесятеричной записи, и были найдены таблицы с обширными списками этих обратных чисел.

Обратные числа, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т. д., не имеют конечных представлений в шестидесятеричной системе счисления. Чтобы вычислить 1/13 или разделить число на 13, вавилоняне использовали такое приближение:

{\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.

Алгебра [ править ]

Вавилонская , глиняная табличка YBC 7289 ( ок. 1800–1600 до н. э. ) дает приблизительное значение $\sqrt 2$ в четырех шестидесятеричных цифрах: 1; 24, 51, 10 ^[11] что с точностью до шести десятичных цифр, ^[12] и является ближайшим возможным трехзначным шестидесятеричным представлением $\sqrt 2$ :

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.

Помимо арифметических вычислений, вавилонские математики разработали также алгебраические методы решения уравнений . Опять же, они были основаны на заранее рассчитанных таблицах.

Для решения квадратного уравнения вавилоняне по существу использовали стандартную квадратную формулу . Они рассматривали квадратные уравнения вида:

\ x^{2}+bx=c

где b и c не обязательно были целыми числами, но c всегда было положительным. Они знали, что решение этой формы уравнения: ^[13]

x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}

и они эффективно находили квадратные корни, используя деление и усреднение. ^[14] Задачи этого типа включали в себя нахождение размеров прямоугольника по его площади и на сколько длина превышает ширину.

Таблицы значений n ³ + н ²использовались для решения некоторых кубических уравнений . Например, рассмотрим уравнение:

\ ax^{3}+bx^{2}=c.

Умножив уравнение на ² и разделив на b ³ дает:

\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.

Замена y = ax / b дает:

y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}

которую теперь можно было решить, найдя n ³ + н ²таблицу, чтобы найти значение, ближайшее к правой части. Вавилоняне сделали это без алгебраических обозначений, продемонстрировав поразительную глубину понимания. Однако у них не было метода решения общего кубического уравнения.

Рост [ править ]

Вавилоняне моделировали экспоненциальный рост, ограниченный рост (посредством формы сигмовидной функции ) и время удвоения , последнее в контексте процентов по кредитам.

Глиняные таблички из ок. 2000 г. до н. э. включает упражнение «При процентной ставке 1/60 в месяц (без начисления сложных процентов) вычислите время удвоения». Это дает годовую процентную ставку 12/60 = 20% и, следовательно, время удвоения 100% роста/20% роста в год = 5 лет. ^[15]^[16]

Плимптон 322 [ править ]

Табличка Plimpton 322 содержит список « троек Пифагора », т. е. целых чисел. $(a,b,c)$ такой, что $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Троек слишком много и они слишком велики, чтобы их можно было получить грубой силой.

На эту тему было написано много, включая некоторые предположения (возможно, устаревшие) относительно того, могла ли табличка служить ранней тригонометрической таблицей. Необходимо проявлять осторожность, чтобы просмотреть табличку с точки зрения методов, знакомых или доступных писцам в то время.

[...] вопрос "как рассчитывался планшет?" не обязательно иметь тот же ответ, что и на вопрос "какие проблемы ставит планшет?" На первое можно ответить наиболее удовлетворительно с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а второй из-за каких-то проблем с прямоугольным треугольником. ^[17]

Геометрия [ править ]

Вавилоняне знали общие правила измерения объёмов и площадей. Они измерили длину окружности как трижды диаметра, а площадь как одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если бы $π$ оценивалось как 3. Они знали, что это было приближение, и один древневавилонский математик Табличка, раскопанная недалеко от Суз в 1936 году (датированная между 19 и 17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение $π$ как 25/8 = 3,125, что примерно на 0,5 процента ниже точного значения. ^[18]Объем цилиндра принимался как произведение основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды ошибочно принимался как произведение высоты на половину суммы оснований. Правило Пифагора было известно и вавилонянам. ^[19]^[20]^[21]

«Вавилонская миля» представляла собой меру расстояния, равную примерно 11,3 км (или около семи современных миль). Это измерение расстояний в конечном итоге было преобразовано в «милю времени», используемую для измерения пути Солнца и, следовательно, представляющую время. ^[22]

Вавилонские астрономы вели подробные записи восхода и захода звезд , движения планет , солнечных и лунных затмений , и все это требовало знания угловых расстояний, измеряемых на небесной сфере . ^[23]

Они также использовали форму анализа Фурье для вычисления эфемерид (таблицы астрономических положений), которая была открыта в 1950-х годах Отто Нойгебауэром . ^[24]^[25]^[26]^[27] Для расчета движений небесных тел вавилоняне использовали элементарную арифметику и систему координат, основанную на эклиптике — части небесного свода, по которой проходят Солнце и планеты.

Таблички, хранящиеся в Британском музее, свидетельствуют о том, что вавилоняне даже зашли так далеко, что создали концепцию объектов в абстрактном математическом пространстве. Таблички датируются периодом между 350 и 50 годами до нашей эры, что показывает, что вавилоняне понимали и использовали геометрию даже раньше, чем считалось ранее. Вавилоняне использовали метод оценки площади под кривой путем рисования под ней трапеции - метод, который, как ранее считалось, возник в Европе 14 века. Этот метод оценки позволил им, например, определить расстояние, которое Юпитер прошел за определенный промежуток времени. ^[28]

См. также [ править ]

Вавилония
Вавилонская астрономия
История математики
Исламская математика для математики в исламском Ираке/Месопотамии

Примечания [ править ]

^ Леви, Х. (1949). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Ориенталия . Н.С. 18 : 40–67, 137–170.
^ Леви, Х. (1951). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Ориенталия . Н.С. 20 : 1–12.
^ Брюинз, EM (1953). «Классификация чисел в вавилонской математике». Ревю д’Ассириологии . 47 (4): 185–188. JSTOR 23295221 .
^ Робсон, Э. (2002). «Гарантированные подлинные оригиналы: Коллекция Плимптона и ранняя история математической ассириологии». В Вунше, К. (ред.). Разбирая архивы: Фестиваль Кристофера Уокера по случаю его 60-летия . Дрезден: ОСТРОВ. стр. 245–292. ISBN 3-9808466-0-1 .
^ Аабо, Асгер (1991). «Вавилонская математика, астрология и астрономия». В Бордмане, Джон; Эдвардс, IES; Хаммонд, ШФЛУ; Соллбергер, Э.; Уокер, CBF (ред.). Кембриджская древняя история: Том 3, Часть 2: Ассирийская и Вавилонская империи и другие государства Ближнего Востока, с восьмого по шестой века до нашей эры . Издательство Кембриджского университета. стр. 276–277. ISBN 0-521-22717-8 .
^ Генрик Драунел (2004). Арамейский текст мудрости из Кумрана: новая интерпретация документа Леви . Приложения к журналу изучения иудаизма. Том. 86 (иллюстрированное изд.). БРИЛЛ. ISBN 978-90-04-13753-0 .
^ Джейн Макинтош (2005). Древняя Месопотамия: новые перспективы . Понимание древних цивилизаций (иллюстрировано под ред.). АВС-КЛИО. п. 265. ИСБН 978-1-57607-965-2 .
^ Майкл А. Ломбарди, «Почему минута разделена на 60 секунд, час на 60 минут, а в сутках всего 24 часа?» , «Scientific American», 5 марта 2007 г.
^ Лукас Н. Х. Бунт, Филип С. Джонс, Джек Д. Бедьен (2001). Исторические корни элементарной математики (переиздание). Курьерская корпорация. п. 44. ИСБН 978-0-486-13968-5 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ «Вавилонская математика» . История математики .
^ Стандартная шестидесятеричная система записи с использованием точки с запятой и запятой была введена Отто Нойгебауэром в 1930-х годах. Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945). Математические клинописные тексты . Американский восточный сериал. Том. 29. Нью-Хейвен: Американское восточное общество. п. 2. ISBN 978-0-940490-29-1 .
^ Фаулер и Робсон, с. 368.
Фотография, иллюстрация и описание таблички root(2) из Йельской вавилонской коллекции.
Фотографии, описания и анализ таблички с корнем (2) (YBC 7289) в высоком разрешении из Йельской вавилонской коллекции.
^ Берриман, А.Э. (1956). «Вавилонское квадратное уравнение». Математический вестник . 40 (333): 185–192. дои : 10.2307/3608807 . JSTOR 3608807 . МР 0080587 .
^ Аллен, Арнольд (январь 1999 г.). «Обзоры: Математика: от рождения чисел. Ян Галлберг». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 77–85. дои : 10.2307/2589607 . JSTOR 2589607 .
↑ Почему «чудо сложных процентов» приводит к финансовым кризисам. Архивировано 10 мая 2012 года в Wayback Machine , Майкл Хадсон.
^ Мы вас заинтересовали? Джон Х. Уэбб
^ Э. Робсон, «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322», Historia Math. 28 (3), с. 202
^ Дэвид Гилман Романо, Легкая атлетика и математика в архаическом Коринфе: истоки греческого стадиона , Американское философское общество, 1993, стр. 78 . «Группа математических глиняных табличек древневавилонского периода, раскопанных в Сузах в 1936 году и опубликованных Э. М. Брюинсом в 1950 году, предоставляет информацию о том, что вавилонское приближение 3 + 1/8 3,125 или ». Э. М. Брюинз, Некоторые математические тексты из Сузской миссии , 1950. Э. М. Брюинз и М. Руттен, Математические тексты Суз , Мемуары археологической миссии в Иране, т. 1, с. XXXIV (1961). Смотрите также Бекманн, Петр (1971). История Пи . Нью-Йорк: Пресса Святого Мартина. стр. 12, 21–22. «в 1936 году примерно в 200 милях от Вавилона была раскопана табличка. [...] В упомянутой табличке, перевод которой был частично опубликован лишь в 1950 году, [...] утверждается, что отношение периметра правильного шестиугольника к длина описанной окружности равна числу, которое в современных обозначениях определяется как 57/60 + 36/(60). ²[т.е. $π$ = 3/0,96 = 25/8]". Джейсон Дайер, О древневавилонском значении числа Пи , 3 декабря 2008 г.
^ Нойгебауэр 1969 , с. 36. «Другими словами, во все времена существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы».
^ Хойруп , с. 406. « Судя только по этим свидетельствам, вполне вероятно, что правило Пифагора было обнаружено в среде непрофессионалов-геодезистов, возможно, как побочный продукт проблемы, рассмотренной в Db _2-146 , где-то между 2300 и 1825 годами до нашей эры». ( Db _2-146 посвященная — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны, вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)
^ Робсон 2008 , с. 109. «Многие древневавилонские математики... знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется при решении текстовых задач на вырезал и вставил «алгебру» на семь разных табличек из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места на юге Вавилонии».
^ Евс, Глава 2.
^ Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета . п. 20 . ISBN 0-691-09541-8 .
^ Престини, Елена (2004). Эволюция прикладного гармонического анализа: модели реального мира . Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4125-2 . , п. 62
^ Рота, Джан-Карло ; Паломби, Фабрицио (1997). Нескромные мысли . Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3866-5 . , п. 11
^ Нойгебауэр 1969 .
^ Брэк-Бернсен, Лис ; Брэк, Матиас (2004). «Анализ структуры раковины от Вавилона до наших дней». Международный журнал современной физики Э. 13 (1): 247–260. arXiv : физика/0310126 . Бибкод : 2004IJMPE..13..247B . дои : 10.1142/S0218301304002028 . S2CID 15704235 .
^ Эмспак, Джесси. «Вавилоняне использовали геометрию на несколько столетий раньше, чем считалось» . Смитсоновский институт . Проверено 1 февраля 2016 года .

Ссылки [ править ]

Берриман, А.Е. (1956). Вавилонское квадратное уравнение .
Бойер, CB (1989). Мерцбах, Хоум К. (ред.). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-09763-2 . (1991 ПБК изд. ISBN 0-471-54397-7 ).
Хойруп, Йенс. «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: фокус истории Месопотамии, колыбель ранней науки, миф в наше время. 2-й международный коллоквиум Немецкого восточного общества 24-26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Немецкое общество Востока / Саарбрюккен: типография и издательство SDV Saarbrücker. стр. 393–407.
Джозеф, Г.Г. (2000). Герб павлина . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00659-8 .
Джойс, Дэвид Э. (1995). «Плимптон 322» .
Нойгебауэр, Отто (1969). Точные науки в древности (2-е изд.). Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-22332-2 .
Мурои, Кадзуо (2022). «Шестидесятеричные вычисления в Древнем Шумере». arXiv : 2207.12102 [ math.HO ].
О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (декабрь 2000 г.). «Обзор вавилонской математики» . MacTutor История математики .
Робсон, Элеонора (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322» . История математики . 28 (3): 167–206. дои : 10.1006/hmat.2001.2317 . МР 1849797 .
Робсон, Э. (2002). «Слова и картинки: Новый свет на Плимптон 322». Американский математический ежемесячник . 109 (2). Вашингтон: 105–120. дои : 10.1080/00029890.2002.11919845 . JSTOR 2695324 . S2CID 33907668 .
Робсон, Э. (2008). Математика в древнем Ираке: социальная история . Издательство Принстонского университета.
Тумер, Дж.Дж. (1981). Гиппарх и вавилонская астрономия .

[1] Леви, Х. (1949). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Ориенталия . Н.С. 18 : 40–67, 137–170.

[2] Леви, Х. (1951). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Ориенталия . Н.С. 20 : 1–12.

[3] Брюинз, EM (1953). «Классификация чисел в вавилонской математике». Ревю д’Ассириологии . 47 (4): 185–188. JSTOR 23295221 .

[4] Робсон, Э. (2002). «Гарантированные подлинные оригиналы: Коллекция Плимптона и ранняя история математической ассириологии». В Вунше, К. (ред.). Разбирая архивы: Фестиваль Кристофера Уокера по случаю его 60-летия . Дрезден: ОСТРОВ. стр. 245–292. ISBN 3-9808466-0-1 .

[Aaboe,_Asger2-5] Аабо, Асгер (1991). «Вавилонская математика, астрология и астрономия». В Бордмане, Джон; Эдвардс, IES; Хаммонд, ШФЛУ; Соллбергер, Э.; Уокер, CBF (ред.). Кембриджская древняя история: Том 3, Часть 2: Ассирийская и Вавилонская империи и другие государства Ближнего Востока, с восьмого по шестой века до нашей эры . Издательство Кембриджского университета. стр. 276–277. ISBN 0-521-22717-8 .

[6] Генрик Драунел (2004). Арамейский текст мудрости из Кумрана: новая интерпретация документа Леви . Приложения к журналу изучения иудаизма. Том. 86 (иллюстрированное изд.). БРИЛЛ. ISBN 978-90-04-13753-0 .

[7] Джейн Макинтош (2005). Древняя Месопотамия: новые перспективы . Понимание древних цивилизаций (иллюстрировано под ред.). АВС-КЛИО. п. 265. ИСБН 978-1-57607-965-2 .

[8] Майкл А. Ломбарди, «Почему минута разделена на 60 секунд, час на 60 минут, а в сутках всего 24 часа?» , «Scientific American», 5 марта 2007 г.

[9] Лукас Н. Х. Бунт, Филип С. Джонс, Джек Д. Бедьен (2001). Исторические корни элементарной математики (переиздание). Курьерская корпорация. п. 44. ИСБН 978-0-486-13968-5 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[10] «Вавилонская математика» . История математики .

[sexagesimal-11] Стандартная шестидесятеричная система записи с использованием точки с запятой и запятой была введена Отто Нойгебауэром в 1930-х годах. Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945). Математические клинописные тексты . Американский восточный сериал. Том. 29. Нью-Хейвен: Американское восточное общество. п. 2. ISBN 978-0-940490-29-1 .

[12] Фаулер и Робсон, с. 368.
Фотография, иллюстрация и описание таблички root(2) из Йельской вавилонской коллекции.
Фотографии, описания и анализ таблички с корнем (2) (YBC 7289) в высоком разрешении из Йельской вавилонской коллекции.

[13] Берриман, А.Э. (1956). «Вавилонское квадратное уравнение». Математический вестник . 40 (333): 185–192. дои : 10.2307/3608807 . JSTOR 3608807 . МР 0080587 .

[Allen-14] Аллен, Арнольд (январь 1999 г.). «Обзоры: Математика: от рождения чисел. Ян Галлберг». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 77–85. дои : 10.2307/2589607 . JSTOR 2589607 .

[hudson-15] Почему «чудо сложных процентов» приводит к финансовым кризисам. Архивировано 10 мая 2012 года в Wayback Machine , Майкл Хадсон.

[16] Мы вас заинтересовали? Джон Х. Уэбб

[17] Э. Робсон, «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322», Historia Math. 28 (3), с. 202

[18] Дэвид Гилман Романо, Легкая атлетика и математика в архаическом Коринфе: истоки греческого стадиона , Американское философское общество, 1993, стр. 78 . «Группа математических глиняных табличек древневавилонского периода, раскопанных в Сузах в 1936 году и опубликованных Э. М. Брюинсом в 1950 году, предоставляет информацию о том, что вавилонское приближение 3 + 1/8 3,125 или ». Э. М. Брюинз, Некоторые математические тексты из Сузской миссии , 1950. Э. М. Брюинз и М. Руттен, Математические тексты Суз , Мемуары археологической миссии в Иране, т. 1, с. XXXIV (1961). Смотрите также Бекманн, Петр (1971). История Пи . Нью-Йорк: Пресса Святого Мартина. стр. 12, 21–22. «в 1936 году примерно в 200 милях от Вавилона была раскопана табличка. [...] В упомянутой табличке, перевод которой был частично опубликован лишь в 1950 году, [...] утверждается, что отношение периметра правильного шестиугольника к длина описанной окружности равна числу, которое в современных обозначениях определяется как 57/60 + 36/(60). ²[т.е. $π$ = 3/0,96 = 25/8]". Джейсон Дайер, О древневавилонском значении числа Пи , 3 декабря 2008 г.

[FOOTNOTENeugebauer196936-19] Нойгебауэр 1969 , с. 36. «Другими словами, во все времена существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы».

[FOOTNOTEHøyrup406-20] Хойруп , с. 406. « Судя только по этим свидетельствам, вполне вероятно, что правило Пифагора было обнаружено в среде непрофессионалов-геодезистов, возможно, как побочный продукт проблемы, рассмотренной в Db _2-146 , где-то между 2300 и 1825 годами до нашей эры». ( Db _2-146 посвященная — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны, вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)

[FOOTNOTERobson2008109-21] Робсон 2008 , с. 109. «Многие древневавилонские математики... знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется при решении текстовых задач на вырезал и вставил «алгебру» на семь разных табличек из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места на юге Вавилонии».

[22] Евс, Глава 2.

[Maor-20-23] Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета . п. 20 . ISBN 0-691-09541-8 .

[24] Престини, Елена (2004). Эволюция прикладного гармонического анализа: модели реального мира . Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4125-2 . , п. 62

[25] Рота, Джан-Карло ; Паломби, Фабрицио (1997). Нескромные мысли . Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3866-5 . , п. 11

[FOOTNOTENeugebauer1969-26] Нойгебауэр 1969 .

[27] Брэк-Бернсен, Лис ; Брэк, Матиас (2004). «Анализ структуры раковины от Вавилона до наших дней». Международный журнал современной физики Э. 13 (1): 247–260. arXiv : физика/0310126 . Бибкод : 2004IJMPE..13..247B . дои : 10.1142/S0218301304002028 . S2CID 15704235 .

[28] Эмспак, Джесси. «Вавилоняне использовали геометрию на несколько столетий раньше, чем считалось» . Смитсоновский институт . Проверено 1 февраля 2016 года .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

v т Это История математики ( хронология )
By topic	Algebra timeline Algorithms timeline Arithmetic timeline Calculus timeline Grandi's series Category theory timeline Topos theory Combinatorics Functions Logarithms Geometry Trigonometry timeline Group theory Information theory timeline Logic timeline Math notation Number theory timeline Statistics timeline Probability Topology Manifolds timeline Separation axioms
Numeral systems	Prehistoric Ancient Hindu-Arabic
By ancient cultures	Mesopotamia Ancient Egypt Ancient Greece China India Medieval Islamic world
Controversies	Brouwer–Hilbert Over Cantor's theory Leibniz–Newton Hobbes–Wallis
Other	Women in mathematics timeline Approximations of π timeline Future of mathematics
Category