История теории топоса
 | Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Август 2017 г. ) |
Эта статья дает некоторые общие сведения о математической идее топоса . Это аспект теории категорий , имеющий репутацию запутанного. Уровень абстракции не может быть снижен до определенной точки; но, с другой стороны, можно указать контекст. Частично это связано с историческим развитием, но также и в некоторой степени объясняет различное отношение к теории категорий. [ нужна ссылка ]
В школе Гротендика [ править ]
Во второй половине 1950-х годов основы алгебраической геометрии переписывались; и именно здесь топоса следует искать истоки концепции . В то время гипотезы Вейля были выдающимся стимулом для исследований. Как мы теперь знаем, путь к их доказательству и другим достижениям лежит через построение этальных когомологий .
Оглядываясь назад, можно сказать, что алгебраическая геометрия долгое время боролась с двумя проблемами. Первое было связано с его точками : еще во времена проективной геометрии было ясно, что отсутствие «достаточного» количества точек в алгебраическом многообразии было препятствием для создания хорошей геометрической теории (в которой она чем-то напоминала компактное многообразие) . ). Была также трудность, которая стала очевидна, как только топология сформировалась в первой половине двадцатого века, заключающаяся в том, что топология алгебраических многообразий имела «слишком мало» открытых множеств.
К 1950 году вопрос о баллах был близок к разрешению; Александр Гротендик предпринял решительный шаг (применив лемму Йонеды ), который избавился от нее — естественно, ценой того, что каждое многообразие или более общая схема должна стать функтором . было невозможно Однако добавить открытые наборы . Дальнейший путь был иным.
Определение топоса впервые появилось несколько косвенно, примерно в 1960 году. Общие проблемы так называемого « спуска » в алгебраической геометрии рассматривались в тот же период, когда фундаментальная группа была обобщена до уровня алгебраической геометрии (как проконечная группа ). В свете более поздних работ (около 1970 г.) «происхождение» является частью теории комонад ; здесь мы можем увидеть один из способов, которым школа Гротендика расходится в своем подходе с теоретиками «чистых» категорий, и эта тема важна для понимания того, как позже трактовалась концепция топоса.
Возможно, существовал более прямой путь: концепция абелевых категорий была введена Гротендиком в его основополагающей работе по гомологической алгебре для объединения категорий пучков абелевых групп и модулей . Предполагается, что абелева категория замкнута при определенных теоретико-категорных операциях — используя такого рода определения, можно полностью сосредоточиться на структуре, вообще ничего не говоря о природе задействованных объектов. Этот тип определения можно проследить, в одной строке, до концепции решетки 1930-х годов. Примерно в 1957 году можно было задаться вопросом о чисто теоретико-категорной характеристике категорий , причем пучков множеств случай пучков абелевых групп был включен в работу Гротендика ( Тохоку статья ).
Такое определение топоса в конечном итоге было дано пятью годами позже, примерно в 1962 году, Гротендиком и Вердье Вердье Николя Бурбаки (см. семинар «Анализ положения» ). Характеристика проводилась с помощью категорий «с достаточным количеством копределов » и применялась к тому, что сейчас называется топосом Гротендика . Теория была дополнена установлением того, что топос Гротендика представляет собой категорию пучков, причем теперь слово « пучок» приобрело расширенное значение, поскольку оно включало топологию Гротендика .
Идея топологии Гротендика (также известной как сайт ) была охарактеризована Джоном Тейтом как смелый каламбур на двух смыслах римановой поверхности . [ нужна ссылка ] Технически говоря, это позволило построить искомые этальные когомологии (а также другие уточненные теории, такие как плоские когомологии и кристаллические когомологии ). К этому моменту — примерно в 1964 году — развитие алгебраической геометрии в основном исчерпало себя. Дискуссия об «открытом множестве» фактически была подведена к выводу, что разновидности имеют достаточно богатое местонахождение открытых множеств в неразветвленных оболочках их (обычных) открытых по Зарискому множеств .
чистой теории категорий к категориальной От логике
Современное определение топоса восходит к Уильяму Ловеру и Майлсу Тирни . Хотя время во многом соответствует описанному выше, с исторической точки зрения отношение иное, а определение более широкое. То есть существуют примеры топосов , не являющихся топосами Гротендика . Более того, они могут представлять интерес для ряда логических дисциплин.
Определение Лоувера и Тирни выделяет центральную роль в теории топоса классификатора подобъектов . В обычной категории множеств это двухэлементный набор логических значений истинности : true и false . Было бы почти тавтологично сказать, что подмножества данного множества X такие же (так же хорошие, как) функции на X для любого такого заданного двухэлементного набора: зафиксируйте «первый» элемент и сделайте подмножество Y соответствующим функция, отправляющая Y туда и его дополнение в X другому элементу.
Теперь классификаторы подобъектов можно найти в теории пучков . По-прежнему тавтологично, хотя, конечно, более абстрактно, для топологического пространства X существует прямое описание пучка на X который играет роль по отношению ко всем пучкам множеств на X. , Его набор секций над открытым множеством U из X это просто набор открытых подмножеств U. — Пространство , связанное со снопом , для него описать сложнее.
Поэтому Лоувер и Тирни сформулировали аксиомы для топоса , предполагающие классификатор подобъектов и некоторые предельные условия ( для создания декартово замкнутой категории по крайней мере, ). Некоторое время это понятие топоса называлось «элементарным топосом».
После того, как была сформулирована идея связи с логикой, произошло несколько разработок, «проверяющих» новую теорию:
- модели теории множеств, соответствующие доказательствам независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума методом Пола Коэна принуждения .
- признание связи с семантикой Крипке , интуиционистским квантором существования и интуиционистской теорией типов .
- объединяя их, обсуждение интуиционистской теории действительных чисел с помощью пучковых моделей.
Позиции теории топоса [ править ]
Была некоторая ирония в том, что в ходе реализации Дэвида Гильберта долгосрочной программы был найден естественный дом для центральных идей интуиционистской логики : Гильберт ненавидел школу Л. Дж. Брауэра . Существование как «локальное» существование в смысле теории снопов, известное сейчас под названием семантики Крипке-Джояла , является хорошим совпадением. С другой стороны, длительные усилия Брауэра по «видам», как он назвал интуиционистскую теорию реальности, по-видимому, каким-то образом отнесены к категории и лишены статуса за пределами исторического. В каждом топосе существует теория действительных чисел, и поэтому никто не владеет интуиционистской теорией.
Более поздние работы по этальным когомологиям склонны предполагать, что полная общая теория топоса не требуется. С другой стороны, используются другие сайты, и топос Гротендика занял свое место в гомологической алгебре.
Программа Ловера заключалась в написании логики высшего порядка в терминах теории категорий. То, что это можно сделать чисто, показывает трактовка книги Йоахима Ламбека и П. Дж. Скотта . В результате получается, по существу, интуиционистская (т.е. конструктивная логика ) теория, содержание которой проясняется существованием свободного топоса . Это теория множеств в широком смысле, но она также принадлежит области чистого синтаксиса . Структура его классификатора подобъектов соответствует структуре алгебры Гейтинга . Чтобы получить более классическую теорию множеств, можно рассмотреть топосы, в которых она, кроме того, является булевой алгеброй , или еще более специализироваться на топосах, имеющих всего два истинностных значения. В этой книге речь идет о конструктивной математике ; но на самом деле это можно считать фундаментальной информатикой (о которой не упоминается). Если кто-то хочет обсудить теоретико-множественные операции, такие как формирование образа (диапазона) функции, топос гарантированно сможет выразить это, причем вполне конструктивно.
Это также привело к появлению более доступного побочного продукта в области бессмысленной топологии , где концепция локали изолирует некоторые идеи, полученные при рассмотрении топоса как значительного развития топологического пространства . Слоган: «Очки приходят позже»: это завершает круг обсуждения на этой странице. Эта точка зрения изложена в книге Питера Джонстона « Каменные пространства », которую лидер в области компьютерных наук назвал «трактатом об экстенсиональности ». Экстенсиональное рассматривается в математике как окружающее — это не то, о чем математики действительно ожидают иметь теорию. Возможно, именно поэтому теорию топоса считали странностью; оно выходит за рамки того, что позволяет традиционное геометрическое мышление. Потребности полностью интенсиональных теорий, таких как нетипизированное лямбда-исчисление, были удовлетворены в денотационной семантике . Теория топоса уже давно выглядит возможной «главной теорией» в этой области.
Резюме [ править ]
Понятие топоса возникло в алгебраической геометрии как следствие объединения понятия пучка и замыкания при категориальных операциях . Определенную роль он играет в теориях когомологий. «Убийственное приложение» — это этальные когомологии .
Последующие разработки, связанные с логикой, носят более междисциплинарный характер. Они включают примеры, основанные на теории гомотопий ( классификации топосов ). Они включают связи между теорией категорий и математической логикой, а также (как организационное обсуждение высокого уровня) между теорией категорий и теоретической информатикой, основанной на теории типов . Учитывая общее мнение Сондерса Мак Лейна о повсеместности понятий, это придает им определенный статус. Впервые использование топосов в качестве объединяющих мостов в математике было предложено Оливией Карамелло в ее книге 2017 года. [1]
Ссылки [ править ]
- ^ Карамелло, Оливия (2017). Теории, сайты, топосы: связывание и изучение математических теорий через теоретико-топосные «мосты» . Издательство Оксфордского университета. дои : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914 .
