История математической записи

История математической записи ^[1] включает в себя возникновение, прогресс и культурное распространение математических символов , а также конфликт методов записи, с которыми сталкивается при движении обозначения к популярности или незаметности. Математические обозначения ^[2] Содержит символы, используемые для записи математических уравнений и формул . Обозначения обычно подразумевают набор четко определенных представлений величин и операторов символов. ^[3] История включает в себя индийско-арабские цифры , буквы римского , греческого , еврейского и немецкого алфавитов , а также множество символов, изобретенных математиками за последние несколько столетий.

Развитие математической записи можно разделить на этапы: ^[4]^[5]

На « риторическом » этапе расчеты выполняются словами и символы не используются. ^[6]
На этапе « синкопирования » часто используемые операции и количества представляются символическими синтаксическими сокращениями. С древнейших времен до постклассической эпохи, ^{[примечание 1]} Всплески математического творчества часто сменялись столетиями застоя. Когда началась ранняя современная эпоха и началось всемирное распространение знаний, стали появляться письменные примеры математических разработок.
На « символической » стадии риторика вытесняется комплексными системами обозначений. Начиная с Италии в 16 веке, новые математические разработки, взаимодействующие с новыми научными открытиями, происходили с возрастающей скоростью, которая продолжается и по сей день. Эта символическая система использовалась средневековыми индийскими математиками и в Европе с середины 17 века. ^[7] и продолжает развиваться в современную эпоху .

Область исследования, известная как история математики, представляет собой прежде всего исследование происхождения открытий в математике, и основное внимание здесь уделяется исследованию математических методов и обозначений прошлого.

Риторический этап [ править ]

Хотя история начинается с ионических школ , нет сомнения, что те древние греки, которые обратили на нее внимание, во многом были обязаны предшествующим исследованиям древних египтян и древних финикийцев . Отличительная особенность числовой записи, то есть символы, имеющие как локальные, так и внутренние значения ( арифметика ), предполагает состояние цивилизации на момент ее изобретения. Наши знания о математических достижениях этих древних народов, которым посвящен этот раздел, несовершенны, и следующие краткие примечания следует рассматривать как резюме выводов, которые кажутся наиболее вероятными, а история математики начинается с символических разделов.

Многие области математики начинались с изучения проблем реального мира , прежде чем основные правила и концепции были идентифицированы и определены как абстрактные структуры . Например, геометрия берет свое начало в вычислении расстояний и площадей в реальном мире; Алгебра началась с методов решения арифметических задач .

Не может быть сомнения, что большинство древних народов, оставивших записи, знали что-то о счете и механике , а некоторые были также знакомы с элементами землемерия . В частности, египтяне уделяли внимание геометрии и числам, а финикийцы — практической арифметике, бухгалтерскому учету , навигации и землемерию. Результаты , достигнутые этими людьми, по-видимому, при определенных условиях были доступны путешественникам. Вполне вероятно, что знания египтян и финикийцев были во многом результатом наблюдений и измерений и представляли собой накопленный за многие века опыт.

Начало обозначений [ править ]

Вавилонская табличка (ок. 1800–1600 гг. до н. э.), показывающая приближение к квадратному корню из 2 (1 24 51 10 w: шестидесятеричное число ) в контексте теоремы Пифагора для равнобедренного треугольника .

Письменная математика началась с чисел, выраженных в виде меток , где каждая цифра представляла одну единицу. Числовые символы, вероятно, состояли из штрихов или насечек, вырезанных на дереве или камне, и были понятны всем народам. ^{[примечание 2]} Например, одна выемка на кости обозначала одно животное, человека или что-то еще. Народы, с которыми греки Малой Азии (среди которых и начинаются обозначения в западной истории), вероятно, вступали в частые контакты, были народами, населявшими восточное побережье Средиземноморья: и греческая традиция единообразно приписывала египтянам особое развитие геометрии, и наука о числах ^{[примечание 3]} либо египтянам, либо финикийцам.

У древних египтян существовала символическая система обозначений, которая представляла собой нумерацию иероглифами . ^[8]^[9] В египетской математике были символы одного, десяти, ста, одной тысячи, десяти тысяч, ста тысяч и одного миллиона. Меньшие цифры помещались слева от числа, как и в индийско-арабских цифрах. Позже египтяне использовали иератику вместо иероглифического письма для обозначения чисел. Иератика больше походила на скоропись и заменяла несколько групп символов отдельными. Например, четыре вертикальные линии, обозначающие четыре, были заменены одной горизонтальной линией. Это можно найти в Математическом папирусе Ринда (ок. 2000–1800 до н. э.) и Московском математическом папирусе (ок. 1890 до н. э.). Система, которую использовали египтяне, была открыта и модифицирована многими другими цивилизациями Средиземноморья. У египтян также были символы для основных операций: движение ног вперед символизировало сложение, а движение ног назад — вычитание.

У жителей Месопотамии были символы каждой степени десяти. ^[10] Позже они записывали свои числа почти точно так же, как это делают в наше время. Вместо символов для каждой степени десяти они просто помещали коэффициент этого числа. Каждая цифра была разделена только пробелом, но ко времени Александра Македонского был создан символ, который представлял ноль и был заполнителем. Месопотамцы также использовали шестидесятеричную систему счисления, то есть шестидесятиричную. Именно эта система используется в наше время при измерении времени и углов. Вавилонская математика основана на более чем 400 глиняных табличках, раскопанных с 1850-х годов. ^[11] Таблички, написанные клинописью , наносились на влажную глину и обжигались в печи или под воздействием солнечного тепла. Некоторые из них выглядят как домашнее задание. Самые ранние свидетельства письменной математики относятся к древним шумерам и системе метрологии 3000 г. до н. э. Примерно с 2500 г. до н.э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках, решали геометрические упражнения и задачи на деление . К этому же периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр. ^[12]

Большинство месопотамских глиняных табличек датируются 1800–1600 гг. до н. э. и охватывают такие темы, как дроби, алгебра, квадратные и кубические уравнения, а также вычисление правильных , обратных и парных чисел . ^[13] В планшетах также имеются таблицы умножения и методы решения линейных и квадратных уравнений . Вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение √ 2 с точностью до шести десятичных знаков. Вавилонская математика была написана с использованием шестидесятеричной (с основанием 60) системы счисления . Отсюда происходит современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 (60 × 6) градусов в круге, а также использование угловых минут и секунд для обозначения долей градуса. . Прогрессу вавилонской математики способствовал тот факт, что число 60 имеет много делителей: обратное число любого целого числа, кратного делителям 60, имеет конечное разложение по основанию 60. (В десятичной арифметике только обратные числа, кратные 2 и 5, имеют конечные десятичные расширения.) Кроме того, в отличие от египтян, греков и римлян, вавилоняне имели настоящую систему разрядов, где цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения, так же, как и в десятичной системе. Однако у них не было эквивалента десятичной точки, и поэтому позиционное значение символа часто приходилось выводить из контекста.

Синкопированная сцена [ править ]

Историю математики нельзя с уверенностью проследить до какой-либо школы или периода до школы ионийских греков, но последующую историю можно разделить на периоды, различия между которыми достаточно хорошо заметны. Греческая математика, зародившаяся в результате изучения геометрии, с самого начала имела тенденцию быть дедуктивной и научной. Начиная с четвертого века нашей эры, Пифагору приписывают открытие теоремы Пифагора , теоремы в геометрии, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике площадь квадрата на гипотенузе (стороне, противоположной прямому углу) равна сумма площадей квадратов двух других сторон. ^{[примечание 5]} Древние математические тексты доступны в ранее упомянутых обозначениях Древнего Египта и в Plimpton 322 (вавилонская математика около 1900 г. до н.э.). Изучение математики как самостоятельного предмета начинается в VI веке до нашей эры пифагорейцами , которые ввели термин «математика» от древнегреческого μάθημα ( матема ), что означает «предмет обучения». ^[14]

Влияние Платона было особенно сильным в математике и естественных науках. Он помог провести различие между чистой и прикладной математикой , расширив разрыв между «арифметикой», теперь называемой теорией чисел , и «логистикой», теперь называемой арифметикой . Греческая математика значительно усовершенствовала методы (особенно за счет введения дедуктивных рассуждений и математической строгости в доказательствах ) и расширила предмет математики. ^[15] Аристотелю приписывают то, что позже назовут законом исключенного третьего .

Абстрактная математика ^[16] это то, что относится к величине ^{[примечание 6]} или количество , абсолютно и вообще присвоенное, безотносительно к каким-либо видам конкретной величины, таким как арифметика и геометрия . В этом смысле абстрактная математика противопоставляется смешанной математике , в которой простые и абстрактные свойства и отношения величин, примитивно рассматриваемые в математике, , применяются к разумным объектам и, таким образом, смешиваются с физическими соображениями, например, в гидростатике , оптике и навигации . ^[16]

Архимед обычно считается величайшим математиком древности и одним из величайших математиков всех времен. ^[17]^[18] Он использовал метод истощения для вычисления площади под дугой параболы при суммировании бесконечного ряда и дал удивительно точное приближение числа Пи . ^[19] Он также определил спираль, носящую его имя, формулы объемов поверхностей вращения и изобретательную систему выражения очень больших чисел.

В историческом развитии геометрии шаги к абстракции геометрии были сделаны древними греками. «Начала» Евклида являются самой ранней дошедшей до нас документацией аксиом плоской геометрии, хотя Прокл рассказывает о более ранней аксиоматизации Гиппократа Хиосского . ^[20] » Евклида «Начала (ок. 300 г. до н. э.) — один из старейших сохранившихся греческих математических трактатов. ^{[примечание 7]} и состоял из 13 книг, написанных в Александрии; сбор теорем, доказанных другими математиками, дополненных некоторыми оригинальными работами. ^{[примечание 8]} Документ представляет собой удачный сборник определений, постулатов (аксиом), утверждений (теорем и конструкций) и математических доказательств утверждений. Первая теорема Евклида — это лемма , обладающая свойствами простых чисел . Влиятельные тринадцать книг охватывают евклидову геометрию, геометрическую алгебру, древнегреческую версию алгебраических систем и элементарную теорию чисел. Он был повсеместно распространен в Квадривиуме и сыграл важную роль в развитии логики, математики и естественных наук.

Диофант Александрийский был автором серии книг под названием «Арифметика» , многие из которых сейчас утеряны. Эти тексты посвящены решению алгебраических уравнений . Боэций предоставил место математике в учебной программе в VI веке, когда он ввел термин квадривиум для описания изучения арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Он написал «De Institutione arithmetica» , вольный перевод с греческого « Никомаха Введения в арифметику» ; De Institutione Musica , также полученная из греческих источников; и серия выдержек из «Начал» Евклида . Его работы были скорее теоретическими, чем практическими, и составляли основу математических исследований до восстановления греческих и арабских математических работ. ^[21]^[22]

и Акрофоническая нумерация милетская

Греки аттическую использовали нумерацию . ^[23] которая была основана на системе египтян и позже была адаптирована и использована римлянами . Греческие цифры от первого до четвертого представляли собой вертикальные линии, как в иероглифах. Символом пяти была греческая буква Π (пи), которая является буквой греческого слова «пять», pente . Числа с шестого по девятый представляли собой пенте с вертикальными линиями рядом с ними. Десять обозначалось буквой (Δ) слова «десять», дека , сто буквой слова «сто» и т. д.

Ионическая нумерация использовала весь алфавит, включая три архаичные буквы. Цифровая система записи греков, хотя и гораздо менее удобная, чем та, которая используется сейчас, формировалась по совершенно правильному и научному плану. ^[24] и мог с сносным эффектом использоваться в качестве инструмента расчета, для чего римская система была совершенно неприменима. Греки разделили двадцать четыре буквы своего алфавита на три класса и, добавив к каждому классу еще один символ, они получили символы для обозначения единиц, десятков и сотен. ( Жана Батиста Жозефа Деламбра «Древняя астрономия» , т. ii.)

А (а)	Б (б)	Г (с)	Д (д)	Е (е)	Ϝ (ϝ)	З (г)	Η	я (я)	Я (Дж)	К (к)	Л (л)	м (м)	Н (н)	Х (х)	Ο	П (п)	Ϟ (ϟ)	Р (р)	SS )	Т (т)	Й (у)	Ф (Ф)	Х (х)	ψ (ψ)	ох (ох)	Ϡ (ϡ)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	500	600	700	800	900

Эта система появилась в третьем веке до нашей эры, до того, как буквы дигамма (Ϝ), коппа (Ϟ) и сампи (Ϡ) стали устаревшими. Когда строчные буквы стали отличаться от букв верхнего регистра, строчные буквы стали использоваться в качестве символов для обозначений. Числа, кратные тысяче, записывались как девять чисел со штрихом перед ними: таким образом, одна тысяча обозначалась «,α», две тысячи — «,β» и т. д. M (для μὐριοι, как в «мириаде») было используется для умножения чисел на десять тысяч. Например, число 88 888 888 будет записано как M,ηωπη*ηωπη. ^[25]

Математические рассуждения греков были почти полностью геометрическими (хотя их часто использовали для рассуждений о негеометрических предметах, таких как теория чисел ), и, следовательно, греки не интересовались алгебраическими символами. Большим исключением был Диофант Александрийский . , великий алгебраист ^[26] Его «Арифметика» была одним из текстов, в которых в уравнениях использовались символы. Это было не совсем символично, но в гораздо большей степени, чем предыдущие книги. Неизвестный номер позвонил s. ^[27] Квадрат s был $\Delta ^{y}$ ; куб был $K^{y}$ ; четвертая власть была $\Delta ^{y}\Delta$ ; и пятая власть была $\Delta K^{y}$ . ^[28]^{[примечание 9]}

Китайская математическая запись [ править ]

Китайцы использовали цифры, очень похожие на систему подсчета. ^[29] Цифры от первого до четвертого представляли собой горизонтальные линии. Пять — это X между двумя горизонтальными линиями; оно выглядело почти точно так же, как римская цифра десять. В настоящее время система huāmǎ используется только для отображения цен на китайских рынках или в традиционных рукописных счетах.

В истории китайцев были те, кто был знаком с такими науками, как арифметика, геометрия, механика, оптика, навигация и астрономия. Математика в Китае возникла независимо к 11 веку до нашей эры. ^[30] Почти наверняка китайцы были знакомы с несколькими геометрическими или, скорее, архитектурными орудиями; ^{[примечание 10]} с механическими машинами; ^{[примечание 11]} что они знали об характерном свойстве магнитной стрелки; и знали, что астрономические события происходят циклично. Китайцы того времени предпринимали попытки классифицировать или расширить известные им правила арифметики и геометрии и объяснить причины явлений, с которыми они были знакомы заранее. Китайцы самостоятельно разработали очень большие и отрицательные числа , десятичные дроби , десятичную систему разрядов, двоичную систему , алгебру , геометрию и тригонометрию .

Китайская математика внесла ранний вклад, включая систему разрядов . ^[31]^[32] Геометрическая теорема, известная еще древним китайцам, была применима в определенных случаях (а именно, о соотношении сторон). ^{[примечание 12]} Дело в том, что им были известны и геометрические теоремы, которые можно доказать квазиэкспериментальным способом суперпозиции. В арифметике их познания, по-видимому, ограничивались искусством вычислений с помощью лебединой сковороды и умением выражать результаты в письменной форме. Наши знания о ранних достижениях китайцев, какими бы незначительными они ни были, более полны, чем у большинства их современников. Таким образом, это поучительно и служит иллюстрацией того факта, что можно знать, что нация может обладать значительными навыками в прикладных искусствах, но наши знания позднейшей математики, на которой основаны эти искусства, могут быть скудными. Знания о китайской математике до 254 г. до н. э. несколько фрагментарны, и даже после этой даты рукописные традиции неясны. Даты за несколько столетий до классического периода обычно считаются предположительно китайскими учеными, если они не сопровождаются проверенными археологическими свидетельствами.

Как и в других ранних обществах, основное внимание уделялось астрономии для совершенствования сельскохозяйственного календаря и других практических задач, а не созданию формальных систем . Обязанности Китайского математического совета ограничивались ежегодной подготовкой альманаха, датами и предсказаниями, которые он регулировал. Древние китайские математики не разработали аксиоматический подход, но добились успехов в разработке алгоритмов и алгебре. Достижения китайской алгебры достигли своего апогея в 13 веке, когда Чжу Шицзе изобрел метод четырех неизвестных.

Предполагается, что в результате очевидных языковых и географических барьеров, а также содержания китайская математика и математика древнего Средиземноморья развивались более или менее независимо до того времени, когда «Девять глав математического искусства» достигли своего расцвета. окончательную форму, в то время как «Сочинения о расчетах» и «Хуайнаньцзы» примерно современны классической греческой математике. Вероятен некоторый обмен идеями по всей Азии посредством известных культурных обменов, по крайней мере, со времен Римской империи. Часто элементы математики ранних обществ соответствуют элементарным результатам, найденным позже в таких областях современной математики, как геометрия или теория чисел . теорема Пифагора Например, была засвидетельствована во времена герцога Чжоу . Также было показано, что знание треугольника Паскаля существовало в Китае за несколько столетий до Паскаля . ^[33] например, Шэнь Го .

Состояние тригонометрии в Китае постепенно начало меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических расчетах. ^[34] Китайский ученый- эрудит , математик и чиновник Шэнь Го (1031–1095) использовал тригонометрические функции для решения математических задач о хордах и дугах. ^[34] Сал Рестиво пишет, что работы Шена по длинам дуг окружностей легли в основу сферической тригонометрии, разработанной в 13 веке математиком и астрономом Го Шоуцзином (1231–1316). ^[35] Как утверждают историки Л. Гоше и Джозеф Нидэм, Го Шоуцзин использовал сферическую тригонометрию в своих расчетах для совершенствования календарной системы и китайской астрономии . ^[36]^[37] Математическая наука Китая будет включать в себя работу и преподавание арабских миссионеров со знаниями сферической тригонометрии, прибывших в Китай в тринадцатом веке.

Индийские и арабские обозначения и цифры

Хотя наша нынешняя система числовых обозначений возникла в древности, нет сомнений в том, что она использовалась индусами более двух тысяч лет назад. Алгебраическая система записи математика Брахмагупты синкопирована была индийского . Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание — установкой точки над вычитаемым ( числом, которое нужно вычесть), а деление — размещением делителя под делимым, аналогично нашим обозначениям, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины обозначались сокращениями соответствующих терминов. ^[38] Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, вероятно, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы на Запад через исламскую математику. ^[39]^[40]

Несмотря на свое название, арабские цифры имеют индийские корни. Причина этого неправильного названия в том, что европейцы видели цифры, используемые в арабской книге Об индуистском искусстве расчета» Мухаммеда ибн-Мусы аль-Хорезми « . Аль-Хорезми написал несколько важных книг об индийско-арабских цифрах и методах решения уравнений. Его книга «О расчетах индуистскими цифрами» , написанная около 825 года, вместе с работой Аль-Кинди , ^{[примечание 13]} сыграли важную роль в распространении индийской математики и индийских цифр на Западе. Аль-Хорезми не утверждал, что эти цифры являются арабскими, но в нескольких латинских переводах тот факт, что цифры были индийскими по происхождению, был утерян. Слово «алгоритм» происходит от латинизации имени Аль-Хорезми, «Алгоритми», а слово «алгебра» — от названия одной из его работ, «Аль-Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-Габр ва'ль-мукабала» ( «Сборник по Расчет по завершению и балансировке ).

Исламская математика развила и расширила математику, известную цивилизациям Центральной Азии . ^[41] Аль-Хорезми дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями: ^[42] и Аль-Хорезми должен был преподавать алгебру в элементарной форме и ради нее самой. ^[43] Аль-Хваризми также обсудил фундаментальный метод « сокращения » и «балансировки», имея в виду перенос вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть сокращение подобных членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хорезми первоначально назвал «аль-Джабр» . ^[44] Его алгебра также больше не занималась «рядом проблем, которые необходимо было решить, а представляла собой изложение , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект исследования». Аль-Хорезми также изучал уравнение само по себе и «в общем виде, поскольку оно не просто возникает в ходе решения проблемы, а специально призвано определить бесконечный класс проблем». ^[45]

Аль-Караджи в своем трактате «Аль-Фахри » расширяет методологию, включив в нее целые степени и целые корни неизвестных величин. ^{[примечание 14]}^[46] Историк Вепке математики Ф. ^[47] похвалил Аль-Караджи за то, что он «первый, кто представил алгебраического исчисления теорию » . Также в X веке Абул Вафа перевел произведения Диофанта на арабский язык. Ибн аль-Хайсам развил аналитическую геометрию . Аль-Хайсам вывел формулу суммы четвертых степеней, используя метод, который легко обобщить для определения общей формулы суммы любых целых степеней. Аль-Хайсам выполнил интегрирование, чтобы найти объем параболоида , и смог обобщить свой результат для интегралов от многочленов до четвертой степени . ^{[примечание 15]}^[48] В конце 11 века Омар Хайям развил алгебраическую геометрию , написал «Обсуждение трудностей Евклида» , ^{[примечание 16]} и написал об общем геометрическом решении кубических уравнений . Насир ад-Дин Туси (Насиреддин) добился успехов в сфере сферической тригонометрии . Мусульманские математики в этот период включили добавление десятичной точки к арабским цифрам .

Современные арабские цифровые символы, используемые во всем мире, впервые появились в исламской Северной Африке в 10 веке. Характерный западно-арабский вариант восточно-арабских цифр начал появляться примерно в 10 веке в Магрибе и Аль-Андалусе (иногда называемых цифрами губар , хотя этот термин не всегда принимается), которые являются прямым предком используемых современных арабских цифр. во всем мире. ^[49]

Многие греческие и арабские тексты по математике были затем переведены на латынь , что привело к дальнейшему развитию математики в средневековой Европе. В XII веке ученые путешествовали по Испании и Сицилии в поисках научных арабских текстов, в том числе трудов аль-Хорезми. ^{[примечание 17]} и полный текст » Евклида «Начал . ^{[примечание 18]}^[50]^[51] Одной из европейских книг, в которой пропагандировалось использование цифр, была «Liber Abaci » Леонардо Пизанского, более известного как Фибоначчи . Liber Abaci более известна благодаря математической задаче, которую Фибоначчи написал в ней о популяции кроликов. Рост населения в конечном итоге оказался последовательностью Фибоначчи , где член представляет собой сумму двух предыдущих членов.

Символический этап [ править ]

Символы по популярной дате появления

Ранняя арифметика и умножение [ править ]

Переход к символической алгебре, где используются только символы, впервые можно увидеть в работах Ибн аль-Банны аль-Марракуши (1256–1321) и Абу аль-Хасана ибн Али аль-Калашади (1412–1482). ^[52]^[53] Аль-Каласади был последним крупным средневековым арабским алгебраистом , который усовершенствовал алгебраическую систему обозначений, ранее использовавшуюся в Магрибе Ибн аль-Банной. ^[54] В отличие от синкопированных обозначений своих предшественников Диофанта и Брахмагупты , в которых отсутствовали символы для математических операций , ^[55] Алгебраическая система обозначений аль-Каласади была первой, в которой были символы для этих функций, и, таким образом, была «первым шагом на пути к введению алгебраической символики». Он представлял математические символы, используя символы арабского алфавита . ^[54]

В 14 веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем. ^[56] Двумя широко используемыми арифметическими символами являются сложение и вычитание + и –. Знак плюс был использован Николь Орем в 1360 году. ^[57]^{[примечание 19]} в своей работе «Алгорисмус пропорционум» . ^[58] Считается, что это аббревиатура от «et», что на латыни означает «и», почти так же, как знак амперсанда начинался с «et». Ореме из Парижского университета и итальянец Джованни ди Казали независимо представили графическую демонстрацию расстояния, пройденного телом, находящимся в равноускоренном движении, утверждая, что область под линией, изображающей постоянное ускорение, представляет собой общее пройденное расстояние. ^[59] Знак минус был использован в 1489 году Иоганнесом Видманом в «Торговой арифметике» или «Behende und hüpsche rakung auff allen Kauffmanschafft», . ^[60] Видманн использовал символ минус вместе с символом плюс для обозначения дефицита и профицита соответственно. ^[61] В суммах арифметики, геометрии, пропорциях и пропорциях , ^{[примечание 20]}^[62] Лука Пачоли использовал символы плюс и минус и содержал алгебру . ^{[примечание 21]}

В 15 веке Гият аль-Каши вычислил значение числа π с точностью до 16-го знака после запятой. У Каши также был алгоритм вычисления корней n-й степени. ^{[примечание 22]} В 1533 году . была опубликована таблица синусов и косинусов Региомонтануса ^[63] Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья нашли решения кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге Ars Magna 1545 года вместе с решением уравнений четвертой степени , открытым его учеником Лодовико Феррари . Радикальный символ ^{[примечание 23]} квадратный корень был введен Кристофом Рудольфом . ^{[примечание 24]} Майкла Стифеля Важная работа «Полная арифметика». ^[64] содержал важные нововведения в математической записи. В 1556 году Никколо Тарталья использовал круглые скобки для группировки по приоритету. В 1557 году Роберт Рекорд опубликовал «Тотильный камень Витте» , в котором для английского читателя был введен знак равенства (=), а также знаки плюс и минус. В 1564 году Джероламо Кардано проанализировал азартные игры, положившие начало ранним этапам теории вероятностей . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою «Алгебру» , в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами , которые могли появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений. Саймона Стевина Книга De Thiende («Искусство десятых»), опубликованная на голландском языке в 1585 году, содержала систематическую трактовку десятичной системы счисления , которая повлияла на все последующие работы над действительной системой счисления . « Новая алгебра» (1591 г.) Франсуа Вьета представила современные обозначения алгебраических выражений. для навигации и составления точных карт больших территорий Тригонометрия стала основным разделом математики . Варфоломей Питиск придумал слово «тригонометрия», опубликовав свою Тригонометрия в 1595 году.

Джон Нэпьер наиболее известен как изобретатель логарифмов. ^{[примечание 25]}^[65] и сделал обычным использование десятичной точки в арифметике и математике. ^[66]^[67] После Нейпира Эдмунд Гюнтер создал логарифмические шкалы (линии или правила), на которых основаны логарифмические линейки . Именно Уильям Отред использовал две такие шкалы, скользящие друг по другу, для выполнения прямого умножения и деления ; и он считается изобретателем логарифмической линейки в 1622 году. В 1631 году Отред ввел знак умножения (×), свой знак пропорциональности, ^{[примечание 26]} и сокращения sin и cos для функций синуса и косинуса . ^[68] Альбер Жирар также использовал сокращения «sin», «cos» и «tan» для обозначения тригонометрических функций в своем трактате.

Иоганн Кеплер был одним из пионеров математического применения бесконечно малых величин . ^{[примечание 27]} Рене Декарт считается отцом аналитической геометрии , моста между алгеброй и геометрией. ^{[примечание 28]} решающее значение для открытия исчисления и анализа бесконечно малых . В 17 веке Декарт ввел декартовы координаты , которые позволили развить аналитическую геометрию. ^{[примечание 29]} Блез Паскаль оказал влияние на математику на протяжении всей своей жизни. его В «Трактате об арифметическом треугольнике» 1653 года описано удобное табличное представление биномиальных коэффициентов . ^{[примечание 30]} Пьер де Ферма и Блез Паскаль исследовали вероятность . ^{[примечание 31]} Джон Уоллис представил символ бесконечности . ^{[примечание 32]} Он аналогичным образом использовал это обозначение для бесконечно малых. ^{[примечание 33]} В 1657 году Христиан Гюйгенс опубликовал трактат о вероятности « О рассуждениях в азартных играх» . ^{[примечание 34]}^[69]

Иоганн Ран ввел знак деления (÷, перепрофилированный вариант обелиса ) и знак следовательно в 1659 году. Уильям Джонс использовал π в Synopsis palmariorum mathesios. ^[70] в 1706 году, потому что это начальная буква греческого слова «Периметрон» (περιμετρον), что по-гречески означает «периметр» . Это использование было популяризировано в 1737 году Эйлером. В 1734 году Пьер Буге использовал двойную горизонтальную черту под знаком неравенства . ^[71]

производных: Лейбниц Обозначение и Ньютон

Производные обозначения
сэр Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц

Изучение линейной алгебры возникло из изучения определителей , которые использовались для решения систем линейных уравнений . Исчисление имело две основные системы обозначений, каждая из которых была создана одним из создателей: система, разработанная Исааком Ньютоном , и система обозначений, разработанная Готфридом Лейбницем . Обозначение Лейбница используется сегодня чаще всего. Ньютон представлял собой просто точку или тире, помещенную над функцией. ^{[примечание 35]} В современном использовании это обозначение обычно обозначает производные физических величин по времени и часто используется в механике . Лейбниц, с другой стороны, использовал букву d в качестве префикса для обозначения дифференцирования и ввел обозначения, обозначающие производные, как если бы они были особым типом дроби. ^{[примечание 36]} В этих обозначениях явно указывается переменная, по которой берется производная функции. Лейбниц также создал интегральный символ. ^{[примечание 37]} Символ представляет собой удлиненную букву S , представляющую латинское слово Summa , что означает «сумма». При нахождении площадей под кривыми интегрирование часто иллюстрируется делением площади на бесконечное количество высоких и тонких прямоугольников, площади которых суммируются. Таким образом, интегральный символ представляет собой, например, вытянутую букву s.

Операторы и функции высшего дивизиона [ править ]

Буквы алфавита в то время должны были использоваться как символы количества ; и хотя в выборе букв существовало большое разнообразие, должно было существовать несколько общепризнанных правил . в последующей истории ^[24] Таким образом, в истории уравнений первые буквы алфавита были обозначены как коэффициенты , а последние буквы — как неизвестные члены (an incerti ordinis ). В алгебраической геометрии опять-таки должно было соблюдаться аналогичное правило: там последние буквы алфавита обозначали переменные или текущие координаты . Некоторые буквы, например $\pi$ , $e$ и т. д . были по всеобщему согласию присвоены в качестве символов часто встречающихся чисел 3,14159 ... и 2,7182818 .... , ^{[примечание 38]} и т. д., и их использования в любых других приемах следует избегать, насколько это возможно. ^[24] Буквы также должны были использоваться в качестве символов операций, а вместе с ними и другие ранее упомянутые произвольные символы операций. Буквы $d$ , удлиненный $S$ должны были быть присвоены в качестве рабочих символов в дифференциальном исчислении и интегральном исчислении , $\Delta$ и Σ в исчислении разностей . ^[24] В функциональной записи буква как символ операции сочетается с другой буквой, которая рассматривается как символ количества . ^[24]^{[примечание 39]}

Начиная с 1718 года, Томас Твинин использовал разделительную косую черту ( солидус ), производную от более ранней арабской горизонтальной дроби . Пьер-Симон, маркиз де Лаплас разработал широко используемый дифференциальный оператор Лапласа . ^{[примечание 40]} В 1750 году Габриэль Крамер разработал « Правило Крамера » для решения линейных систем .

Эйлер обозначения простые и

подпись Леонарда Эйлера

Леонард Эйлер был одним из самых плодовитых математиков в истории, а также изобретателем канонической системы счисления. Его вклад включает использование буквы e для обозначения основания натуральных логарифмов . Точно неизвестно, почему $e$ был выбран, но, вероятно, это произошло потому, что четыре буквы алфавита уже широко использовались для обозначения переменных и других констант. Эйлер использовал $\pi$ последовательно представлять число Пи . Использование $\pi$ был предложен Уильямом Джонсом , который использовал его как сокращение для периметра . Эйлер использовал $i$ для представления квадратного корня из отрицательного, ^{[примечание 41]} хотя раньше он использовал его как бесконечное число. ^{[примечание 42]}^{[примечание 43]} Для суммирования Эйлер использовал сигму , Σ . ^{[примечание 44]} Для функций Эйлер использовал обозначения $f(x)$ представлять функцию $x$ . В 1730 году Эйлер написал гамма-функцию . ^{[примечание 45]} В 1736 году Эйлер опубликовал статью о семи мостах Кенигсберга. ^[72] приступил к изучению теории графов .

Математик Уильям Эмерсон ^[73] разовьется знак пропорциональности . ^{[примечание 46]}^{[примечание 47]}^[74]^[75] Намного позже в абстрактных выражениях значений различных пропорциональных явлений обозначение «части на единицу» стало полезным в качестве набора псевдоединиц для описания малых значений различных безразмерных величин . Маркиз де Кондорсе в 1768 году ввёл знак частного дифференциала . ^{[примечание 48]} В 1771 году Александр-Теофиль Вандермонд пришел к выводу о важности топологических особенностей при обсуждении свойств узлов, связанных с геометрией положения. Между 1772 и 1788 годами Жозеф-Луи Лагранж переформулировал формулы и расчеты классической «ньютоновской» механики, названной механикой Лагранжа . Главный символ деривативов также был предложен Лагранжем.

Но, по нашему мнению, истины такого рода следует черпать из понятий, а не из обозначений.
— Карл Фридрих Гаусс ^{[примечание 49]}

, Гамильтона и Обозначения матрицы Гаусса

На рубеже XIX века Карл Фридрих Гаусс разработал знак тождества для отношения конгруэнтности и, в квадратичной взаимности , целую часть . Гаусс внес функции комплексных переменных в геометрию и сходимость рядов . Он дал удовлетворительные доказательства основной теоремы алгебры и квадратичного закона взаимности . Гаусс разработал теорию решения линейных систем с помощью метода исключения Гаусса , который первоначально считался достижением в геодезии . ^[76] Он также разработал знак продукта . Также в это время Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа ^{[примечание 50]} вел свои работы по разрешимости уравнений , связывающих теорию групп и теорию поля .

После 1800-х годов Кристиан Крамп продвигал факториальную запись во время своих исследований обобщенной факториальной функции, применимой к нецелым числам. ^[77] Жозеф Диас Жергон представил множество признаков включения . ^{[примечание 51]} Питер Густав Лежен Дирихле разработал Дирихле, L -функции чтобы дать доказательство теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях , и начал аналитическую теорию чисел . ^{[примечание 52]} В 1828 году Гаусс доказал свою теорему Egregium ( замечательную теорему на латыни), установив свойство поверхностей. В 1830-х годах Джордж Грин разработал функцию Грина . В 1829 году Карл Густав Якоб Якоби опубликовал Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum со своими эллиптическими тета-функциями . К 1841 году Карл Вейерштрасс , «отец современного анализа », разработал концепцию абсолютной величины и определителя матрицы .

Матричная нотация была более полно развита Артуром Кэли в его трех статьях по темам, которые были предложены при чтении « Аналитической механики». ^[78] Лагранжа и некоторые произведения Лапласа. Кэли определил умножение матриц и обращения матриц . Кэли использовал одну букву для обозначения матрицы: ^[79] таким образом рассматривая матрицу как агрегатный объект. Он также осознал связь между матрицами и определителями. ^[80] и написал: « Можно было бы многое сказать об этой теории матриц, которая, как мне кажется, должна предшествовать теории определителей ». ^[81]

[... Математический кватернион] имеет или, по крайней мере, подразумевает ссылку на четыре измерения.
— Уильям Роуэн Хэмилтон ^{[примечание 53]}

Уильям Роуэн Гамильтон представит символ набла ^{[примечание 54]} для векторных дифференциалов . ^[82]^[83] Ранее он использовался Гамильтоном как знак оператора общего назначения . ^[84] Гамильтон переформулировал ньютоновскую механику , которая теперь называется гамильтоновой механикой . Эта работа оказалась центральной в современном изучении классических теорий поля, таких как электромагнетизм . Это также было важно для развития квантовой механики . ^{[примечание 55]} В математике он, пожалуй, наиболее известен как изобретатель кватернионной записи. ^{[примечание 56]} и бикватернионы . Гамильтон также ввел слово « тензор » в 1846 году. ^[85]^{[примечание 57]} Джеймс Кокл разработал тессарины ^{[примечание 58]} и в 1849 году кокватернионы . В 1848 году Джеймс Джозеф Сильвестр ввёл в матричную алгебру термин «матрица» . ^{[примечание 59]}

Максвелла, Клиффорда Обозначения и Риччи

В 1864 году Джеймс Клерк Максвелл свел все тогдашние знания об электромагнетизме в связанный набор дифференциальных уравнений с 20 уравнениями с 20 переменными, содержащийся в «Динамической теории электромагнитного поля» . ^[87] (См. уравнения Максвелла .) Метод расчета, который необходимо использовать, был предложен Лагранжем и впоследствии развит, с некоторыми изменениями, с помощью уравнений Гамильтона . Его обычно называют принципом Гамильтона ; когда используются уравнения в исходной форме, они известны как уравнения Лагранжа . В 1871 году Рихард Дедекинд совокупность действительных или комплексных чисел, замкнутую относительно четырех арифметических операций назвал полем . В 1873 году Максвелл представил «Трактат об электричестве и магнетизме» .

В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд опубликовал свои «Элементы динамики» . ^[88] Клиффорд разработал расщепленные бикватернионы . ^{[примечание 60]} которые он назвал алгебраическими двигателями . Клиффорд избежал исследования кватернионов, отделив скалярное произведение и векторное произведение двух векторов от полной записи кватернионов. ^{[примечание 61]} Этот подход сделал векторное исчисление доступным для инженеров и других специалистов, работающих в трех измерениях и скептически относящихся к эффекту опережения-запаздывания. ^{[примечание 62]} в четвёртом измерении . ^{[примечание 63]} Общие векторные обозначения используются при работе с векторами, которые являются пространственными или более абстрактными членами векторных пространств , тогда как угловое обозначение (или векторное обозначение) — это обозначение, используемое в электронике .

В 1881 году Леопольд Кронекер определил то, что он назвал «областью рациональности», которая представляет собой расширение поля рациональных чисел в современных терминах. ^[89] В 1882 году Хусейн Тевфик-паша [ тр ] написал книгу под названием «Линейная алгебра». ^[90]^[91] атома лорда Кельвина ( эфирного Теория 1860-е годы) побудила Питера Гатри Тейта в 1885 году опубликовать топологическую таблицу узлов с числом пересечений до десяти, известную как гипотезы Тейта . В 1893 году Генрих М. Вебер дал четкое определение абстрактного поля . ^{[примечание 64]} Тензорное исчисление было разработано Грегорио Риччи-Курбастро между 1887 и 1896 годами и представлено в 1892 году под названием «Абсолютное дифференциальное исчисление» . ^[92] а современное использование слова «тензор» было сформулировано Вольдемаром Фойгтом в 1898 году. ^[93] В 1895 году Анри Пуанкаре опубликовал «Анализ ситуации» . ^[94] В 1897 году Чарльз Протеус Штайнмец опубликовал «Теорию и расчет явлений переменного тока » при содействии Эрнста Дж. Берга. ^[95]

математики тензорам От формульной к

Вышеупомянутое предложение иногда бывает полезным.
— Бертран Рассел ^{[примечание 65]}

В 1895 году Джузеппе Пеано опубликовал «Математические формулы» . ^[96] попытка преобразовать математику в краткий текст, основанный на специальных символах. Он дал определение векторного пространства и линейной карты . Он также ввел знак пересечения , знак объединения , знак членства (является элементом) и квантор существования . ^{[примечание 66]} (есть). Пеано передаст Бертрану Расселу свою работу в 1900 году на Парижской конференции; это настолько впечатлило Рассела, что Рассел тоже захотел изложить математику более кратко. Результатом стала Principia Mathematica, написанная совместно с Альфредом Нортом Уайтхедом . Этот трактат знаменует собой переломный момент в современной литературе, когда символ стал доминировать. ^{[примечание 67]}

Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита популяризировали обозначение тензорного индекса примерно в 1900 году. ^[97]

Математическая логика и абстракция [ править ]

Абстракция
Феликс Кляйн Георг Кантор

В начале этого периода » Феликса Кляйна « Эрлангенская программа определила основную тему различных геометрий, определив каждую из них как исследование свойств, инвариантных относительно данной группы симметрий . Этот уровень абстракции выявил связь между геометрией и абстрактной алгеброй . Георг Кантор ^{[примечание 68]} ввел бы символ алефа для кардинальных чисел трансфинитных множеств. ^{[примечание 69]} Его обозначением кардинальных чисел была еврейская буква. $\aleph$ ( алеф ) с индексом натурального числа; для порядковых номеров он использовал греческую букву ω ( омега ). Эта запись до сих пор используется в порядковой записи конечной последовательности символов из конечного алфавита, которая называет порядковый номер в соответствии с некоторой схемой, придающей смысл языку. Его теория вызвала много споров . Кантор в своем исследовании рядов Фурье рассматривал множества точек в евклидовом пространстве .

На рубеже 20-го века Джозайя Уиллард Гиббс в физическую химию ввел среднюю точку для скалярного произведения и знак умножения для перекрестного произведения . Он также предоставил обозначения для скалярных и векторных произведений, которые были представлены в «Векторном анализе» . В 1904 году Эрнст Цермело продвигает аксиому выбора и свое доказательство теоремы о хорошем порядке . ^[98] Вскоре после этого, в 1906 году, Бертран Рассел ввел логическую дизъюнкцию ( ИЛИ ). Также в 1906 году Пуанкаре опубликовал книгу «О динамике электрона». ^[99] и Морис Фреше ввели метрическое пространство . ^[100] Позже Герхард Ковалевски и Катберт Эдмунд Каллис. ^[101]^[102]^[103] будет последовательно вводить обозначение матриц, матрицу в скобках и обозначение блочной матрицы соответственно. После 1907 года математики ^{[примечание 70]} изучал узлы с точки зрения группы узлов и инвариантов из теории гомологии . ^{[примечание 71]} В 1908 году Джозефом Веддерберном были сформулированы структурные теоремы для конечномерных алгебр над полем . Также в 1908 году Эрнст Цермело предложил «определенное» свойство и первую аксиоматическую теорию множеств — теорию множеств Цермело . В 1910 году Эрнст Стейниц опубликовал влиятельную статью «Алгебраическая теория полей» . ^{[примечание 72]}^{[примечание 73]} В 1911 году Штейнмец опубликовал «Теорию и расчет переходных электрических явлений и колебаний» .

Альберт Эйнштейн в 1916 году ввёл обозначение Эйнштейна. ^{[примечание 74]} которые суммируются по набору индексированных членов в формуле, что обеспечивает краткость обозначений. Арнольд Зоммерфельд создал контурный знак интеграла в 1917 году. Также в 1917 году Дмитрий Мириманов предложил аксиому регулярности . В 1919 году Теодор Калуца решил уравнения общей теории относительности , используя пять измерений , в результате чего появились электромагнитные уравнения. ^[104] Это будет опубликовано в 1921 году в «О проблеме единства физики». ^[105] В 1922 году Авраам Френкель и Торальф Сколем независимо друг от друга предложили заменить схему аксиом спецификации схемой аксиом замены . Также в 1922 году теория множеств Цермело – Френкеля была разработана . В 1923 году Штейнмец опубликует «Четыре лекции по теории относительности и космосу» . Примерно в 1924 году Ян Арнольдус Схоутен развил современные обозначения и формализм для структуры исчисления Риччи во время приложений абсолютного дифференциального исчисления к общей теории относительности и дифференциальной геометрии в начале двадцатого века. ^{[примечание 75]}^[106]^[107]^[108] В 1925 году Энрико Ферми описал систему, состоящую из множества одинаковых частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули , после чего разработал уравнение диффузии ( уравнение возраста Ферми ). В 1926 году Оскар Кляйн развил теорию Калуцы-Клейна . В 1928 году Эмиль Артин абстрагировал теорию колец с помощью артиновых колец . В 1933 году Андрей Колмогоров вводит аксиомы Колмогорова . В 1937 году Бруно де Финетти вывел « операционно-субъективного » концепцию .

Математический символизм [ править ]

Математическая абстракция началась как процесс извлечения основной сущности математической концепции. ^[109]^[110] удаление любой зависимости от объектов реального мира, с которыми он изначально мог быть связан, ^[111] и обобщение его так, чтобы оно имело более широкое применение или соответствовало другим абстрактным описаниям эквивалентных явлений . Двумя абстрактными областями современной математики являются теория категорий и теория моделей . Бертран Рассел, ^[112] сказал: « Обычный язык совершенно непригоден для выражения того, что на самом деле утверждает физика, поскольку слова повседневной жизни недостаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать так мало, как хочет сказать физик ». Тем не менее, можно заменить математические объекты реального мира и бродить по уравнению за уравнением, а также построить концептуальную структуру, которая не имеет никакого отношения к реальности. ^[113]

Символическая логика изучает чисто формальные свойства строк символов. Интерес к этой области проистекает из двух источников. Во-первых, обозначения, используемые в символической логике, можно рассматривать как представляющие слова, используемые в философской логике . Во-вторых, правила манипулирования символами, найденные в символьной логике, могут быть реализованы на вычислительной машине . Символическую логику обычно делят на два подполя: логику высказываний и логику предикатов . Другие представляющие интерес логики включают временную логику , модальную логику и нечеткую логику . Область символической логики, называемая логикой высказываний , также называемая исчислением высказываний , изучает свойства предложений, образованных из констант. ^{[примечание 76]} и логические операторы . Соответствующие логические операции известны соответственно как конъюнкция , дизъюнкция , материальное условное , двуусловное и отрицание . Эти операторы обозначаются как ключевые слова ^{[примечание 77]} и по символическим обозначениям.

Некоторые из введенных в это время обозначений математической логики включали набор символов, используемых в булевой алгебре . Он был создан Джорджем Булем в 1854 году. Сам Буль не рассматривал логику как раздел математики, но все равно ее стали включать. Символы, встречающиеся в булевой алгебре, включают $\land$ (И), $\lor$ (ИЛИ) и $\lnot$ ( нет ). С помощью этих символов и букв, обозначающих различные значения истинности , можно делать логические утверждения, например: $a\lor \lnot a=1$ , то есть «( a истинно ИЛИ a не истинно ) истинно», что означает, что верно, что a либо истинно, либо неверно (т. е. ложно). Булева алгебра сама по себе имеет множество практических применений, но она также положила начало большому набору символов, которые будут использоваться в логике. ^{[примечание 78]} Логика предикатов, первоначально называвшаяся исчислением предикатов , расширяет логику высказываний за счет введения переменных. ^{[примечание 79]} и предложениями, содержащими переменные, называемыми предикатами . ^{[примечание 80]} Кроме того, логика предикатов допускает использование кванторов . ^{[примечание 81]} С помощью этих логических символов и дополнительных кванторов из логики предикатов ^{[примечание 82]} действительные доказательства могут быть представлены , которые являются иррационально искусственными , ^{[примечание 83]} но синтаксический. ^{[примечание 84]}

Обозначение неполноты Гёделя [ править ]

Каждому ω-непротиворечивому рекурсивному классу κ формул соответствуют знаки рекурсивного класса r , такие что ни v Gen r , ни Neg ( v Gen r ) не принадлежит Flg (κ) (где v — свободная переменная r ) .
— Курт Гёдель ^[114]

Доказывая свои теоремы о неполноте , ^{[примечание 85]} Курт Гёдель создал альтернативу символам, обычно используемым в логике. Он использовал числа Гёделя , которые представляли собой операции с числами-множествами, и переменные с простыми числами больше 10. С помощью чисел Гёделя логические утверждения можно разбить на числовую последовательность. Затем Гёдель пошел еще дальше, взяв n простых чисел и возведя их в степень чисел последовательности. Затем эти числа были умножены, чтобы получить конечный результат, придав каждому логическому утверждению свой собственный номер. ^[115]^{[примечание 86]}

и обозначения темы Современные

20 века начала Обозначения

Абстракция обозначений — это непрерывный процесс, и историческое развитие многих математических тем демонстрирует прогресс от конкретного к абстрактному. различные обозначения множеств объектов будут разработаны Для фундаментальных наборов . Примерно в 1924 году Давид Гильберт и Ришар Курант опубликовали « Методы математической физики. Уравнения в частных производных ». ^[116] В 1926 году Оскар Кляйн и Уолтер Гордон предложили уравнение Клейна-Гордона для описания релятивистских частиц. ^{[примечание 87]} Первая формулировка квантовой теории, описывающей взаимодействие излучения и материи, принадлежит Полю Адриену Морису Дираку , который в 1920 году впервые смог вычислить коэффициент спонтанного излучения атома . ^[117] В 1928 году Дирак сформулировал релятивистское уравнение Дирака для объяснения поведения релятивистски движущегося электрона . ^{[примечание 88]} Дирак описал количественную оценку электромагнитного поля как ансамбля гармонических осцилляторов с введением концепции операторов рождения и уничтожения частиц. В последующие годы, благодаря вкладу Вольфганга Паули , Юджина Вигнера , Паскуаля Йордана и Вернера Гейзенберга , а также элегантной формулировке квантовой электродинамики Энрико Ферми , ^[118] физики пришли к выводу, что в принципе можно выполнить любые вычисления для любого физического процесса, включающего фотоны и заряженные частицы.

В 1931 году Александру Прока разработал уравнение Прока ( уравнение Эйлера-Лагранжа ). ^{[примечание 89]} для векторно- мезонной теории ядерных сил и релятивистских квантовых уравнений поля . Джон Арчибальд Уиллер в 1937 году разрабатывает S-матрицу . Исследования Феликса Блоха с Арнольдом Нордсиком , ^[119] и Виктор Вайскопф , ^[120] в 1937 и 1939 годах обнаружил, что такие вычисления надежны только в первом порядке теории возмущений , на проблему уже указывал Роберт Оппенгеймер . ^[121] На более высоких порядках ряда появлялись бесконечности, делавшие подобные вычисления бессмысленными и ставившими под сомнение внутреннюю непротиворечивость самой теории. Поскольку в то время решение этой проблемы не было известно, казалось, что существует фундаментальная несовместимость между специальной теорией относительности и квантовой механикой .

ввел заглавную букву Z с двойным ударением для наборов целых чисел В 1930-х годах Эдмунд Ландау . Николя Бурбаки создал заглавную букву Q с двойным ударением для обозначения множеств рациональных чисел. В 1935 году Герхард Генцен разработал кванторы всеобщности . В 1936 году и доказал теорему о неопределимости Тарского сформулировал Альфред Тарский . ^{[примечание 90]} В 1938 году Гёдель предложил конструируемую вселенную в статье « Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума ». Андре Вейль и Николя Бурбаки разработали знак пустого множества в 1939 году. В том же году Натан Джейкобсон придумал заглавную букву C с двойным ударением для обозначения наборов комплексных чисел .

Примерно в 1930-х годах обозначения Фойгта ^{[примечание 91]} будет разработан для полилинейной алгебры как способ представления симметричного тензора путем понижения его порядка. Обозначение Шёнфлиса ^{[примечание 92]} стал одним из двух соглашений, используемых для описания точечных групп (второе — обозначение Германа – Могена ). Также в это время появились обозначения Ван дер Вардена. ^[122]^[123] стало популярным благодаря использованию двухкомпонентных спиноров ( спиноров Вейля ) в четырех измерениях пространства-времени. Аренд Хейтинг представил алгебру Хейтинга и арифметику Хейтинга .

Стрелка, например →, была разработана для обозначения функций в 1936 году Ойстейном Оре для обозначения изображений конкретных элементов. ^{[примечание 93]}^{[примечание 94]} Позже, в 1940 году, он принял свою нынешнюю форму, например, f: X → Y , благодаря работе Витольда Гуревича . Вернер Гейзенберг в 1941 году предложил S-матричную теорию взаимодействия частиц.

Обозначение Бракета ( нотация Дирака ) — стандартное обозначение для описания квантовых состояний , состоящее из угловых скобок и вертикальных черт . Его также можно использовать для обозначения абстрактных векторов и линейных функционалов . Он назван так потому, что внутренний продукт (или скалярное произведение в комплексном векторном пространстве) двух состояний обозначается ⟨bra|ket⟩. ^{[примечание 95]} состоящий из левой части ⟨ φ | и правой части | ψ ⟩. Обозначение было введено в 1939 году Полем Дираком . ^[124] хотя у обозначения есть предшественники в использовании Грассманом обозначения [ φ | ψ ] для своих внутренних продуктов почти 100 лет назад. ^[125]

Обозначение брекет широко распространено в квантовой механике : почти каждое явление, которое объясняется с помощью квантовой механики, включая большую часть современной физики , обычно объясняется с помощью нотации брекет. Обозначение устанавливает закодированную абстрактную независимость от представления, создавая универсальное конкретное представление (например, x или p или базу собственных функций ) без особых церемоний или чрезмерной зависимости от природы задействованных линейных пространств . Выражение перекрытия ⟨ φ | ψ ⟩ обычно интерпретируется как вероятности состояния ψ амплитуда коллапса в состояние ψ . ( Обозначение косой черты Фейнмана обозначение косой черты Дирака ^[126]) был разработан Ричардом Фейнманом для изучения полей Дирака в квантовой теории поля .

В 1948 году Валентин Баргманн и Юджин Вигнер предложили релятивистские уравнения Баргмана-Вигнера для описания свободных частиц , и эти уравнения имеют форму многокомпонентного спинорного поля волновых функций . В 1950 году Уильям Валланс Дуглас Ходж представил « Топологические инварианты алгебраических многообразий » на Трудах Международного конгресса математиков. Между 1954 и 1957 годами Эудженио Калаби работал над гипотезой Калаби для кэлеровых метрик и разработкой многообразий Калаби–Яу . В 1957 году Туллио Редже сформулировал математическое свойство потенциального рассеяния в уравнении Шрёдингера . ^{[примечание 96]} Стэнли Мандельштам вместе с Редже первым разработал теорию Редже и феноменологию сильного взаимодействия. В 1958 году Мюррей Гелл-Манн и Ричард Фейнман вместе с Джорджем Сударшаном и Робертом Маршаком вывели киральные структуры слабого взаимодействия в физике. Джеффри Чу , наряду с другими, в 1960 году продвигал матричную нотацию для сильного взаимодействия и связанный с ней принцип начальной загрузки . В 1960-х годах была разработана нотация построителя множеств для описания множества путем указания свойств, которым его члены должны удовлетворять. Также в 1960-е годы тензоры абстрагируются в рамках теории категорий с помощью концепции моноидальной категории . Позже многоиндексная нотация устраняет традиционные понятия, используемые в исчислении с множеством переменных , уравнениях в частных производных и теории распределений , путем абстрагирования понятия целочисленного индекса до упорядоченного кортежа индексов.

Современные математические обозначения

В современной математике специальной теории относительности , электромагнетизме и волновой теории оператор Даламбера ^{[примечание 97]}^{[примечание 98]} — оператор Лапласа пространства Минковского . Символ Леви-Чивита ^{[примечание 99]} используется в тензорном исчислении .

После формулировок полной ковариации Лоренца , которые были конечны в любом порядке в ряду возмущений квантовой электродинамики, Син-Итиро Томонага , Джулиан Швингер и Ричард Фейнман были совместно награждены Нобелевской премией по физике в 1965 году. ^[127] Их вклад, как и вклад Фримена Дайсона , касался ковариантных и калибровочно-инвариантных формулировок квантовой электродинамики, которые позволяют вычислять наблюдаемые при любом порядке теории возмущений . Математическая техника Фейнмана, основанная на его диаграммах , поначалу казалась сильно отличающейся от теоретико-полевого операторного подхода Швингера и Томонаги, но позже Фримен Дайсон показал, что эти два подхода эквивалентны. Перенормировка — необходимость придавать физический смысл некоторым появляющимся в теории расхождениям через интегралы — впоследствии стала одним из фундаментальных аспектов квантовой теории поля и стала рассматриваться как критерий общей приемлемости теории. Квантовая электродинамика послужила моделью и шаблоном для последующих квантовых теорий поля. Питер Хиггс , Джеффри Голдстоун и другие, Шелдон Глэшоу , Стивен Вайнберг и Абдус Салам независимо друг от друга показали, как слабое ядерное взаимодействие и квантовая электродинамика могут быть объединены в единое целое. электрослабая сила . В конце 1960-х годов зоопарк частиц состоял из известных на тот момент элементарных частиц до открытия кварков .

Шагом к Стандартной модели стало открытие Шелдоном Глэшоу в 1960 году способа объединения электромагнитного и слабого взаимодействий . ^[128] в 1967 году. Стивен Вайнберг ^[129] и Абдус Салам ^[130] включил механизм Хиггса ^[131]^[132]^[133] Глэшоу в электрослабую теорию , придав ей современную форму. Считается, что механизм Хиггса порождает массы всех элементарных частиц в Стандартной модели. Сюда входят массы W- и Z-бозонов , а также массы фермионов – то есть кварков и лептонов . Также в 1967 году Брайс ДеВитт опубликовал свое уравнение под названием « Уравнение Эйнштейна-Шредингера » (позже переименованное в « Уравнение Уиллера - ДеВитта »). ^[134] В 1969 году Йоитиро Намбу , Хольгер Бех Нильсен и Леонард Зюскинд описали пространство и время с точки зрения струн . В 1970 году Пьер Рамон разработал двумерную суперсимметрию. Мичио Каку и Кейджи Киккава впоследствии сформулировали вариации струнных инструментов. В 1972 году Майкл Артин , Александр Гротендик , Жан-Луи Вердье предложили вселенную Гротендика . ^[135]

После нейтральных слабых токов, вызванных
С
бозонный обмен был открыт в ЦЕРНе в 1973 году. ^[136]^[137]^[138]^[139] электрослабая теория получила широкое признание, и Глэшоу, Салам и Вайнберг получили Нобелевскую премию по физике за ее открытие 1979 года. Теория сильного взаимодействия , в развитие которой внесли свой вклад многие, приобрела свой современный вид примерно в 1973–74 годах. С созданием квантовой хромодинамики был окончательно оформлен набор фундаментальных и обменных частиц, что позволило создать « стандартную модель », основанную на математике калибровочной инвариантности , которая успешно описывала все силы, кроме гравитации, и которая остается общепринятой. в пределах области, к которой оно предназначено для применения. В конце 1970-х годов Уильям Терстон ввел гиперболическую геометрию в изучение узлов с помощью теоремы гиперболизации . Система обозначений орбифолда , изобретенная Терстоном, была разработана для представления типов групп симметрии в двумерных пространствах постоянной кривизны. В 1978 году Шинг-Тунг Яу пришел к выводу, что гипотеза Калаби имеет плоские метрики Риччи. В 1979 году Дэниел Фридан показал, что уравнения движения теории струн являются абстракцией уравнений Эйнштейна общей теории относительности .

Первая суперструнная революция состоит из математических уравнений, разработанных между 1984 и 1986 годами. В 1984 году Воан Джонс вывел полином Джонса , а последующие работы Эдварда Виттена , Максима Концевича и других выявили глубокие связи между теорией узлов и математическими методами статистической механики и других. квантовая теория поля. Согласно теории струн , все частицы в «зоопарке частиц» имеют общего предка — колеблющуюся струну . В 1985 году Филип Канделас , Гэри Горовиц , ^[140] Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен опубликуют «Вакуумные конфигурации для суперструн». ^[141] Позже формализм тетрад ( обозначение тетрадного индекса ) будет введен как подход к общей теории относительности , который заменяет выбор координатного базиса менее ограничительным выбором локального базиса для касательного расслоения. ^{[примечание 102]}^[142]

В 1990-х годах Роджер Пенроуз предложил графическую нотацию Пенроуза ( нотацию тензорной диаграммы ) как обычно рукописное визуальное изображение полилинейных функций или тензоров . ^[143] Пенроуз также ввел абстрактную индексную нотацию . ^{[примечание 103]} В 1995 году Эдвард Виттен предложил М-теорию и впоследствии использовал ее для объяснения некоторых наблюдаемых дуальностей , положив начало второй суперструнной революции . ^{[примечание 104]}

Джон Конвей развивал различные обозначения, в том числе обозначение цепочки стрел Конвея , обозначение Конвея теории узлов и обозначение многогранника Конвея . Система обозначений Кокстера классифицирует группы симметрии, описывая углы между фундаментальными отражениями группы Кокстера . Он использует обозначения в квадратных скобках с модификаторами для обозначения определенных подгрупп. Обозначение названо в честь HSM Coxeter и Нормана Джонсона, более подробно давшего его определение.

Комбинаторное обозначение LCF ^{[примечание 105]} был разработан для представления кубических графов , которые являются гамильтоновыми . ^[144]^[145] — Обозначение цикла это соглашение о записи перестановки в терминах составляющих ее циклов . ^[146] Это также называется циклической записью , а перестановка называется циклической или циклической перестановкой. ^[147]

и разметки обозначения Компьютеры

В 1931 году IBM выпускает IBM 601 Multiplying Punch ; это электромеханическая машина, которая могла считывать с карты два числа длиной до 8 цифр и наносить их результат на ту же карту. ^[148] В 1934 году Уоллес Экерт использовал приспособленный IBM 601 Multiplying Punch для автоматизации интегрирования дифференциальных уравнений. ^[149] В 1936 году Алан Тьюринг публикует « О вычислимых числах с применением к проблеме Entscheidungs ». ^[150]^{[примечание 106]} Джон фон Нейман , пионер цифрового компьютера и информатики, ^{[примечание 107]} в 1945 году пишет неполный Первый проект отчета о EDVAC . В 1962 году Кеннет Э. Айверсон разработал нотацию интегральной части, ставшую APL , для манипулирования массивами, которой он обучал своих студентов и описал в своей книге «Язык программирования» . В 1970 году Эдгар Ф. Кодд предложил реляционную алгебру в качестве реляционной модели данных для языков запросов к базам данных . В 1971 году Стивен Кук публикует « Сложность процедур доказательства теорем ». ^[151] В 1970-х годах в компьютерной архитектуре была разработана нотация кавычек для представления системы счисления рациональных чисел . Также в этом десятилетии нотация Z (так же, как и язык APL , задолго до этого) использует множество символов, не относящихся к ASCII , спецификация включает предложения по рендерингу символов нотации Z в ASCII и в LaTeX . В настоящее время существуют различные математические функции C (Math.h) и числовые библиотеки . Это библиотеки, используемые при разработке программного обеспечения для выполнения численных расчетов. Эти вычисления могут выполняться посредством символьных исполнений ; анализ программы, чтобы определить, какие входные данные вызывают выполнение каждой части программы. Mathematica и SymPy — примеры вычислительных программ, основанных на символьной математике .

Будущее математической записи

В истории математической записи обозначение идеографических символов прошло полный круг с появлением систем компьютерной визуализации. Обозначения можно применять к абстрактным визуализациям, например, для визуализации некоторых проекций Калаби – Яу многообразия . Примеры абстрактной визуализации , принадлежащие собственно математическому воображению, можно найти в компьютерной графике . Потребность в таких моделях возрастает, например, когда мерами предмета исследования на самом деле являются случайные величины , а не обычные математические функции .

См. также [ править ]

Основная актуальность: Злоупотребление обозначениями , Правильно составленная формула , Нотация Big O ( L-нотация ), Нотация Даукера , Венгерская нотация , Инфиксная нотация , Позиционная нотация , Польская нотация ( Обратная польская нотация ), Знаковая нотация , История написания чисел

Числа и количества: Список чисел , Иррациональные и предполагаемые иррациональные числа , γ , ζ(3) , √ 2 , √ 3 , √ 5 , φ , ρ , ψ , δ _S , α , $e$ , $π$ , δ , Физические константы , c , ε ₀ , h , G — греческие буквы, используемые в математике, науке и технике.

Общая актуальность: Порядок операций , Научное обозначение ( Инженерное обозначение ), Актуарное обозначение

Точечное обозначение: Химические обозначения ( точечные обозначения Льюиса ( электронно-точечные обозначения )), точечно-десятичные обозначения.

Обозначение стрелки: Нотация Кнута со стрелкой вверх , бесконечная комбинаторика (Стрелочная нотация (теория Рэмси))

Геометрии: Проективная геометрия , Аффинная геометрия , Конечная геометрия

Списки и схемы: Очерк математики ( Темы истории математики и Темы математики ( Категории математики )), Математические теории ( Теории первого порядка , Теоремы и опровергнутые математические идеи ), Математические доказательства ( Неполные доказательства ), Математические тождества , Математические ряды , Справочные таблицы по математике , Математическая логика темы , Математические методы , Математические функции , Преобразования и операторы , Точки в математике , Математические фигуры , Узлы ( Простые узлы и Математические узлы и связи ), Неравенства , Математические понятия, названные в честь мест, Математические темы классической механики , Математические темы в квантовой механике теория , Математические темы относительности , Темы теории струн , Нерешенные проблемы математики , Математический жаргон , Математические примеры , Математические сокращения , Список математических символов

Разное.: Проблемы Гильберта , Математическое совпадение , Шахматная нотация , Линейная нотация , Музыкальная нотация ( пунктирная нота ), Нотация Уайта , Нотация игры в кости , рекурсивный категориальный синтаксис

Люди: Математики ( математики-любители и женщины-математики ), Томас Брэдуордин , Томас Харриот , Феликс Хаусдорф , Гастон Джулия , Хельге фон Кох , Пауль Леви , Александр Ляпунов , Бенуа Мандельброт , Льюис Фрай Ричардсон , Вацлав Серпинский , Сондерс Мак Лейн , Пол Коэн , Готтлоб Фреге , Дж.С. Карр , Роберт Рекорд , Бартель Леендерт ван дер Варден , Г.Х. Харди , Э.М. Райт , Джеймс Р. Ньюман , Карл Густав Джейкоб Якоби , Роджер Джозеф Боскович , Эрик В. Вайсштейн , Математические вероятностные специалисты , Статистики

Примечания [ править ]

^ Или Средневековье.
↑ Такие символы фактически сохраняются с небольшими изменениями в римских обозначениях , описание которых можно найти в Джона Лесли . «Философии арифметики»
^ Теория чисел — раздел чистой математики, посвященный в основном изучению целых чисел . Теоретики чисел изучают простые числа , а также свойства объектов, состоящих из целых чисел (например, рациональных чисел ) или определяемых как обобщения целых чисел (например, алгебраических целых чисел ).
^ Греческий : не беспокойте мои круги
^ То есть, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .
^ Величина (математика) — относительный размер объекта; Величина (вектор) — термин, обозначающий размер или длину вектора; Скаляр (математика) — величина, определяемая только своей величиной; Евклидов вектор — величина, определяемая как величиной, так и направлением; Порядок величины , класс масштаба, имеющий фиксированное соотношение значений к предыдущему классу.
^ Автолик « На движущейся сфере » — еще один древний математический манускрипт того времени.
^ Прокл , греческий математик, живший через несколько столетий после Евклида, писал в своем комментарии к «Началам»: «Евклид, который соединил «Начала», собрав многие из теорем Евдокса , усовершенствовав многие из Теэтета », а также доведя до неоспоримой демонстрации вещи, которые лишь в некоторой степени были доказаны его предшественниками».
^ Выражение:
$2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}+5x-6$
будет записано как:
СС2 С3 x5 М S4 u6
. ^{[ нужна ссылка ]}
^ такие как правило , угольник , циркуль , уровень воды ( уровень тростника ) и отвес .
^ например, колесо и ось
^ Площадь квадрата, описанного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, описанных на его сторонах.
^ Аль-Кинди также представил криптоанализ и частотный анализ .
↑ Что-то близкое к доказательству методом математической индукции появляется в книге, написанной Аль-Караджи около 1000 года нашей эры, который использовал ее для доказательства биномиальной теоремы , треугольника Паскаля и суммы целых кубов .
^ Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от многочленов, но его не интересовали полиномы выше четвертой степени.
^ книга о том, что он считал недостатками в » Евклида «Элементах , особенно в постулате о параллельности.
^ переведено на латынь Робертом Честерским.
^ переведено в различных версиях Аделардом Батским , Германом Каринтийским и Герардом Кремонским.
↑ Его личное использование началось примерно в 1351 году.
^ Сумма арифметики: Geometria Proportioni et Proportionalita. Тр . Сумма арифметики: Геометрия в пропорциях и пропорциональности.
↑ Большая часть работ принадлежит Пьеро делла Франческе, которого он присвоил и украл.
^ Это был особый случай методов, предложенных много столетий спустя Руффини и Хорнером .
^ То есть, ${\sqrt {~}}$ .
^ Потому что, как полагают, оно напоминало строчную букву «r» (от « основания »).
^ Опубликовано в «Описании чудесного канона логарифмов».
^ То есть,
∷
^ см . Закон непрерывности .
^ Используя декартовы координаты на плоскости, расстояние между двумя точками ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) определяется по формуле:
$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},$
которую можно рассматривать как вариант теоремы Пифагора .
^ Дальнейшие шаги в абстракции были предприняты Лобачевским , Больяи , Риманом и Гауссом , которые обобщили понятия геометрии для разработки неевклидовых геометрий .
^ Теперь называется треугольником Паскаля .
^ Например, « проблема очков ».
^ То есть, ${\infty }$ .
^ Например, ${\frac {1}{\infty }}.$
^ Оригинальное название: « О рассуждениях в азартной игре ».
^ Например, производная функции x будет записана как ${\dot {x}}$ . Вторая производная от x будет записана как ${\ddot {x}}$ , и т. д.
^ Например, производная функции x по переменной t в обозначениях Лейбница будет записываться как ${dx \over dt}$ .
^ То есть, $\int _{-N}^{N}f(x)\,dx$ .
^ См. Также: Список представлений e.
^ Таким образом $f(x)$ обозначает математический результат выполнения операции $f$ по теме $x$ . Если бы после этого результата была повторена та же самая операция, новый результат был бы выражен формулой $f[f(x)]$ или, более кратко, $f^{2}(x)$ , и так далее. Количество $x$ себя рассматривать как результат той же операции $f$ по какой-то другой функции; подходящим символом для которого является, по аналогии, $f^{-1}(x)$ . Таким образом $f$ и $f^{-1}$ являются символами обратных операций , причем первые аннулируют влияние вторых на субъект $x$ . $f(x)$ и $f^{-1}(x)$ аналогичным образом называются обратными функциями .
^ То есть, $\Delta f(p)$
^ То есть, ${\sqrt {-1}}$
^ Сегодня символ, созданный Джоном Уоллисом , $\infty$ , используется для бесконечности.
^ Как и в, $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$
^ В обозначении заглавной сигмы используется символ, который компактно представляет сумму многих подобных терминов: суммирования символ Σ , увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы сигма . Это определяется как:
$\sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}.$

Где я представляет индекс суммирования ; a _i — индексированная переменная, представляющая каждый последующий член ряда; m — нижняя граница суммирования , а n — верхняя граница суммирования . « i = m» под символом суммирования означает, что индекс i изначально равен m . Индекс i увеличивается на 1 для каждого последующего термина и останавливается, когда i = n .
^ То есть, $n!=\int _{0}^{1}(-\ln s)^{n}\,{\rm {d}}s$ .
справедливо для n > 0.
^ То есть,
∝
^ Пропорциональность — это соотношение одной величины к другой, особенно соотношение части по сравнению с целым. В математическом контексте пропорция — это утверждение равенства между двумя отношениями; См. Пропорциональность (математика) , взаимосвязь двух переменных, отношение которых постоянно. См. также соотношение сторон , геометрические пропорции.
^ Фигурная буква d или дельта Якоби .
^ О доказательстве теоремы Вильсона . Арифметические исследования (1801 г.), статья 76.
^ Теория Галуа и геометрия Галуа названы в его честь.
^ То есть «подмножество» и «надмножество»; Позже это будет переработано Эрнстом Шредером .
^ Наука о числах , которая использует методы математического анализа для решения задач о целых числах.
^ Цитируется в книге Роберта Персиваля Грейвса « Жизнь сэра Уильяма Роуэна Гамильтона» (3 тома, 1882, 1885, 1889 гг.)
^ То есть, $\nabla$ (или, позже названный del , ∇)
^ См . гамильтониан (квантовая механика) .
^ То есть, $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$
^ Хотя его использование описывает нечто иное, чем то, что сейчас подразумевается под тензором. А именно, нормальная операция в определенном типе алгебраической системы (теперь известной как алгебра Клиффорда ).
^ То есть,
$t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R}$
где
$ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.$
^ Это латинское слово «матка».
^ То есть, $q=w+xi+yj+zk$
^ Клиффорд пересек алгебру с кватернионами Гамильтона, заменив Германа Грассмана правило e _p e _p = 0 на правило e _p e _p = 1. Для получения дополнительной информации см. внешнюю алгебру .
^ См.: Вектор , Группа (математика) , Скорость сигнала , Многофазная система , Гармонический генератор и последовательная схема RLC.
^ Или концепция четвертого пространственного измерения. См. также: Пространство-время , объединение времени и пространства как четырёхмерного континуума ; и пространство Минковского — математическая основа специальной теории относительности.
^ См. Также: Математические поля и Расширение полей.
^ Комментарий после доказательства того, что 1+1=2, завершенного в Principia mathematica Альфредом Нортом Уайтхедом ... и Бертраном Расселом. Том II, 1-е издание (1912 г.)
^ Это поднимает вопросы о чистых теоремах существования .
^ Пеано Formulario Mathematico , хотя и менее популярная, чем работа Рассела, выдержала пять изданий. Пятый появился в 1908 году и включал 4200 формул и теорем.
^ Изобретатель теории множеств
^ Трансфинитная арифметика — это обобщение элементарной арифметики на бесконечные величины, такие как бесконечные множества ; См. Трансфинитные числа , Трансфинитная индукция и Трансфинитная интерполяция . См. также Порядковая арифметика .
^ Такие как Макс Ден , JW Alexander и другие.
^ Например, полином Александера .
^ (немецкий: Алгебраическая теория тел)
^ В этой статье Стейниц аксиоматически изучил свойства полей и определил многие важные концепции теории поля, такие как простое поле , совершенное поле и степень трансцендентности поля расширения .
^ Индексы варьируются в пределах набора ${1, 2, 3$ },
$y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}$
сводится по соглашению к:
$y=c_{i}x^{i}\,.$
Верхние индексы не являются экспонентами , а являются индексами координат, коэффициентов или базисных векторов .
Смотрите также: исчисление Риччи
^ Исчисление Риччи представляет собой правила индексной записи и манипулирования тензорами и тензорными полями . См. также: Синг Дж.Л.; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление . первое издание Dover Publications 1978 года. стр. 6–108.
^ Здесь логическая константа — это символ в символической логике, который имеет одно и то же значение во всех моделях, например, символ «=" для «равно».
Константа число в математическом контексте — это , которое естественным образом возникает в математике , например π или e; Значение такой математической константы не меняется. Это может означать полиномиальный постоянный член (член степени 0) или константу интегрирования - свободный параметр, возникающий при интегрировании.
Соответственно, физическая константа — это физическая величина, которую обычно считают универсальной и неизменной. Программные константы — это значения, которые, в отличие от переменных, нельзя повторно связать с другим значением.
^ Хотя ключевые слова не являются индексным термином , они представляют собой термины, которые представляют информацию. Ключевое слово – это слово, имеющее специальное значение (это семантическое определение), а синтаксически это терминальные символы в грамматике фразы. См. зарезервированное слово для соответствующей концепции.
^ Большинство этих символов можно найти в исчислении высказываний , формальной системе, описываемой как ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\ (\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} )$ . $\mathrm {A}$ — это набор элементов, таких как a в примере с булевой алгеброй выше. $\Omega$ это набор, содержащий подмножества, содержащие операции, такие как $\lor$ или $\land$ . $\mathrm {Z}$ содержит правила вывода , которые являются правилами, определяющими, как логически могут быть сделаны выводы, и $\mathrm {I}$ содержит аксиомы . См. также: Основные и производные формы аргументов .
^ Обычно обозначается x , y , z или другими строчными буквами.
Здесь символы, обозначающие величину в математическом выражении, математическую переменную , используемую во многих науках.
Переменные могут иметь символическое имя, связанное со значением и связанное с ним значение может быть изменено, что в информатике известно как ссылка на переменную . Переменная обработки также может представлять собой операционализированный способ представления атрибута для дальнейшей данных (например, логический набор атрибутов). См. Также: Зависимые и независимые переменные в статистике.
^ Обычно обозначается прописной буквой, за которой следует список переменных, например P( x ) или Q( y , z ).
Здесь предикат математической логики — фундаментальное понятие логики первого порядка. Грамматические предикаты – это грамматические компоненты предложения.
Связанный — это синтаксический предикат в технологии синтаксического анализа, который является руководством для процесса синтаксического анализа. В компьютерном программировании предсказание ветвления позволяет выбрать, выполнять или не выполнять данную инструкцию на основе содержимого машинного регистра.
^ Представляя ВСЕ и СУЩЕСТВУЕТ
^ например, ∃ для «существует» и ∀ для «для всех»
^ См. также: Диалетеизм , противоречие и парадокс.
^ Связанная с этим шутливая абстрактная чепуха описывает определенные виды аргументов и методов, связанных с теорией категорий, которые напоминают комические литературные непоследовательные приемы (а не нелогичные непоследовательные приемы ).
^ Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что программа Гильберта по поиску полного и непротиворечивого набора аксиом для всей математики невозможна, что дает оспариваемый отрицательный ответ на вторую проблему Гильберта.
^ Например, возьмем утверждение «Существует такое число x , что оно не является y ». Используя символы исчисления высказываний, это будет выглядеть следующим образом: $(\exists x)(x=\lnot y)$ .
Если числа Гёделя заменяют символы, получается: $\{8,4,11,9,8,11,5,1,13,9\}$ .
Имеется десять чисел, поэтому найдены десять простых чисел: $\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}$ .
Затем числа Гёделя превращаются в степени соответствующих простых чисел и умножаются, что дает: $2^{8}\times 3^{4}\times 5^{11}\times 7^{9}\times 11^{8}\times 13^{11}\times 17^{5}\times 19^{1}\times 23^{13}\times 29^{9}$ .
Полученное число составляет примерно $3.096262735\times 10^{78}$ .
^ Уравнение Клейна – Гордона:
${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.$
^ Уравнение Дирака в форме, первоначально предложенной Дираком:
$\left(\beta mc^{2}+\sum _{k=1}^{3}\alpha _{k}p_{k}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}$

где $ψ = ψ(x, t)$ — волновая функция электрона , , $x$ и $t$ — координаты пространства и времени, $m$ — масса покоя электрона, $p$ — импульс понимаемый как оператор импульса в Теория Шрёдингера , $c$ — скорость света , $ħ = h /2 π$ — приведенная постоянная Планка .
^ То есть,
$\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0$
^ Теорема применима в более общем плане к любой достаточно сильной формальной системе, показывая, что истина в стандартной модели системы не может быть определена внутри системы.
^ Назван в честь работы Фойгта 1898 года.
^ Назван в честь Артура Морица Шенфлиса.
^ См . связи Галуа .
^ Ойстейн Оре также написал « Теорию чисел и ее историю ».
^ $\langle \phi |\psi \rangle$
^ Что амплитуду рассеяния можно рассматривать как аналитическую функцию углового момента и что положение полюсов определяет степенную скорость роста амплитуды в чисто математической области больших значений косинуса угла рассеяния.
^ То есть, $\scriptstyle \Box$
^ Также известен как оператор Даламбера или волновой оператор .
^ Также известен как « символ перестановки » (см.: перестановка ), « антисимметричный символ » (см.: антисимметричный ) или « чередующийся символ »
^ Обратите внимание, что «массы» (например, когерентная неопределенная форма тела) частиц периодически переоцениваются сообществом научным . Значения могли быть скорректированы; регулировка путем операций, выполняемых на приборах, с целью получения заданных показаний, соответствующих заданным значениям измеряемой величины . В инженерном деле, математике и геодезии оптимальным параметром является оценка математической модели, которая наилучшим образом соответствует набору данных .
^ Для консенсуса см. Группа данных о частицах .
^ Локально определенный набор из четырех линейно независимых векторных полей, называемый тетрадой.
^ Он использовал суммирование Эйнштейна для того, чтобы компенсировать неудобства при описании сокращений и ковариантной дифференциации в современной абстрактной тензорной записи, сохраняя при этом явную ковариацию задействованных выражений.
^ См. Также: Ландшафт теории струн и Болото.
↑ Разработано Джошуа Ледербергом и расширено Коксетером и Фрухтом.
^ И в 1938 году Тьюринг, AM (1938). «О вычислимых числах с применением к проблеме Entscheidungs. Исправление». Труды Лондонского математического общества . с2-43: 544–546. дои : 10.1112/plms/s2-43.6.544 . .
^ Среди других вкладов фон Неймана можно назвать применение теории операторов к квантовой механике , развитию функционального анализа и различным формам теории операторов .

Ссылки и цитаты [ править ]

Общий

Флориан Каджори (1929) История математических обозначений , 2 тома. Перепечатка Дувра в 1 томе, 1993 г. ISBN 0-486-67766-4 .

Цитаты

^ Флориан Каджори . История математических обозначений: два тома в одном. Cosimo, Inc., 1 декабря 2011 г.
^ Словарь науки, литературы и искусства, том 2. Под редакцией Уильяма Томаса Бранде , Джорджа Уильяма Кокса . стр. 683
^ «Обозначение – из Wolfram MathWorld» . Mathworld.wolfram.com . Проверено 24 июня 2014 г.
^ Диофант Александрийский: Исследование истории греческой алгебры. Сэр Томас Литтл Хит. Стр. 77 .
^ Математика: ее сила и полезность. Карл Дж. Смит. Стр. 86 .
^ Коммерческая революция и начало западной математики во Флоренции эпохи Возрождения, 1300–1500. Уоррен Ван Эгмонд. 1976. Страница 233.
^ Соломон Гандз . «Источники алгебры аль-Хорезми»
^ Американская энциклопедия. Томас Гамалиэль Брэдфорд. стр. 314
^ Математический экскурс, расширенное издание: расширенное издание Webassign, авторы Ричард Н. Ауфманн, Джоан Локвуд, Ричард Д. Нэйшн, Дэниел К. Клег. стр. 186
^ Математика в Египте и Месопотамии ^{[ мертвая ссылка ]}
^ Бойер, CB История математики , 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах . Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Месопотамия» с. 25.
^ Дункан Дж. Мелвилл (2003). Хронология третьего тысячелетия , Математика третьего тысячелетия . Университет Святого Лаврентия .
^ Аабо, Асгер (1998). Эпизоды из ранней истории математики . Нью-Йорк: Рэндом Хаус. стр. 30–31.
^ Хит (1931). «Руководство по греческой математике». Природа . 128 (3235): 5. Бибкод : 1931Natur.128..739T . дои : 10.1038/128739a0 . S2CID 3994109 .
^ Сэр Томас Л. Хит, Руководство по греческой математике , Дувр, 1963, стр. 1: «В случае математики наиболее важно знать вклад греков, поскольку именно греки сделали математику наукой».
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Новая энциклопедия; или Универсальный словарь искусств и наук. Энциклопедия Пертенси. стр. 49
^ Калинджер, Рональд (1999). Контекстуальная история математики . Прентис-Холл. п. 150. ИСБН 0-02-318285-7 . Вскоре после Евклида, составителя полного учебника, появился Архимед Сиракузский (ок. 287–212 до н.э.), самый оригинальный и глубокий математик древности.
^ «Архимед Сиракузский» . Архив истории математики MacTutor. Январь 1999 года . Проверено 9 июня 2008 г.
^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (февраль 1996 г.). «История исчисления» . Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 15 июля 2007 года . Проверено 7 августа 2007 г.
^ «Сводка Прокла» . Gap.dcs.st-and.ac.uk. Архивировано из оригинала 23 сентября 2015 года . Проверено 24 июня 2014 г.
^ Колдуэлл, Джон (1981) «The De Institutione Arithmetica и De Institutione Musica », стр. 135–54 в издании Маргарет Гибсон, Боэций: Его жизнь, мысли и влияние (Оксфорд: Бэзил Блэквелл).
^ Фолкертс, Менсо, «Боэций» Геометрия II (Висбаден: Franz Steiner Verlag, 1970).
^ Математика и измерения Освальда Эштона Вентворта Дилка. стр. 14
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Словарь науки, литературы и искусства, под ред. У. Т. Бранде. стр. 683
^ Бойер, Карл Б. История математики , 2-е издание, John Wiley & Sons, Inc., 1991.
^ Диофантовы уравнения . Представлено: Аароном Зерхузеном, Крисом Рэйксом и Шастой Мис. МА 330-002. Доктор Карл Эберхарт. 16 февраля 1999 г.
^ История греческой математики: от Аристарха до Диофанта. Сэр Томас Литтл Хит. стр. 456
^ История греческой математики: от Аристарха до Диофанта. Сэр Томас Литтл Хит. стр. 458
^ Американский математический ежемесячник, том 16. Стр. 131
^ «Обзор китайской математики» . Groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 24 июня 2014 г.
^ Джордж Гевергезе Джозеф, Герб павлина: неевропейские корни математики , Penguin Books, Лондон, 1991, стр. 140–148.
^ Жорж Ифра, Универсальная история чисел , Кампус, Франкфурт/Нью-Йорк, 1986, стр. 428–437.
^ «Фрэнк Дж. Свец и Т. И. Као: был ли Пифагор китайцем?» . Psupress.psu.edu . Проверено 24 июня 2014 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небе и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.
^ Сал Рестиво
^ Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небе и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.
^ Марсель Гоше , 151.
^ Бойер, CB История математики, 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Китай и Индия» с. 221. (ср.: «Он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения ax + by = c, где a, b и c — целые числа. [...] Это большая заслуга Брахмагупта, что он дал все целые решения линейного диофантового уравнения, тогда как сам Диофант был удовлетворен тем, что дал одно частное решение неопределенного уравнения. Поскольку Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, мы снова видим вероятность греческого влияния в нем. Индия – или возможность того, что они оба использовали общий источник, возможно, из Вавилонии. Интересно также отметить, что алгебра Брахмагупты, как и алгебра Диофанта, обозначалась сопоставлением, а вычитание - установкой точки. над вычитаемым и деление, помещая делитель под делимым, как в наших дробных обозначениях, но без черточки. Операции умножения и эволюции (извлечение корня), а также неизвестные величины изображались сокращениями соответствующих слов. .")
^ Роберт Каплан, «Ничто, что есть: естественная история нуля», Аллен Лейн/The Penguin Press, Лондон, 1999
^ « Гениальный метод выражения всех возможных чисел с помощью набора из десяти символов (каждый символ имеет позиционное значение и абсолютное значение) появился в Индии. Сегодня эта идея кажется настолько простой, что ее значимость и глубокая важность уже не осознается. Его простота заключается в том, что он облегчил вычисления и поставил арифметику на первое место среди полезных изобретений. важность этого изобретения легче оценить, если учесть, что оно превосходило двух величайших людей античности, Архимеда и Аполлония». – Пьер-Симон Лаплас» . History.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 24 июня 2014 г.
^ А. П. Юшкевич , «История математики в средние века», Тойбнер, Лейпциг, 1964.
^ Бойер, CB История математики, 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Арабская гегемония» с. 230. (ср.: «Шесть случаев уравнений, приведенных выше, исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительный корень. Изложение аль-Хваризми было настолько систематическим и исчерпывающим, что его читателям, должно быть, не составило труда освоить решения».)
^ Гандз и Саломан (1936), Источники алгебры Хорезми , Осирис i, стр. 263–77: «В некотором смысле Хорезми больше имеет право называться «отцом алгебры», чем Диофант, потому что Хорезми первым научил алгебры в элементарной форме и ради нее самой, Диофант занимается прежде всего теорией чисел».
^ Бойер, CB История математики, 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Арабская гегемония» с. 229. (ср.: «Неясно, что именно означают термины аль-джабр и мукабала , но обычное толкование аналогично тому, которое подразумевается в переводе выше. Слово аль-джабр предположительно означало что-то вроде «восстановления» или «восстановления». завершение» и, по-видимому, относится к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения; считается, что слово «мукабала» относится к «сокращению» или «балансировке», то есть к отмене подобных членов на противоположных сторонах уравнения. .")
^ Рашид, Р.; Армстронг, Анджела (1994). Развитие арабской математики . Спрингер . стр. 11–12. ISBN 0-7923-2565-6 . ОСЛК 29181926 .
^ Виктор Дж. Кац (1998). История математики: Введение , стр. 255–59. Аддисон-Уэсли . ISBN 0-321-01618-1 .
^ Ф. Вепке (1853). Отрывок из Фахри, трактата по алгебре Абу Бекра Мохаммеда Бен Альхакана Алкархи . Париж.
^ Кац, Виктор Дж. (1995). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Журнал «Математика» . 68 (3): 163–74. дои : 10.1080/0025570X.1995.11996307 .
^ Куницш, Пол (2003), «Пересмотр передачи индийско-арабских цифр» , в JP Hogendijk; А.И. Сабра (ред.), Научное предприятие в исламе: новые перспективы , MIT Press, стр. 3–22 (12–13), ISBN 978-0-262-19482-2
^ Мари-Тереза д'Алверни , «Переводы и переводчики», стр. 421–62 в книге Роберта Л. Бенсона и Джайлза Констебля, Возрождение и обновление в двенадцатом веке (Кембридж: издательство Гарвардского университета, 1982).
^ Гай Божуан, «Трансформация квадривиума», стр. 463–87 в книге Роберта Л. Бенсона и Джайлза Констебля, Возрождение и обновление в двенадцатом веке (Кембридж: издательство Гарвардского университета, 1982).
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Аль-Марракуши ибн Аль-Банна» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Галлберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел . WW Нортон. п. 298 . ISBN 0-393-04002-Х .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу'л Хасан ибн Али аль Каласади» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Бойер, CB История математики, 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Возрождение и упадок греческой математики» с. 178 (ср.: «Главное отличие диофантовой синкопы от современной алгебраической записи состоит в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».)
^ Грант, Эдвард и Джон Э. Мердок (1987), ред., Математика и ее приложения к науке и естественной философии в средние века (Кембридж: Издательство Кембриджского университета) ISBN 0-521-32260-X .
^ Математический журнал, Том 1. Артемас Мартин, 1887. Стр. 124.
^ Algorismusпропорционум Николауса Орема : Впервые после прочтения рукописи R.40.2. Библиотека Королевской гимназии в Торне. Николь Орем . С. Голгофа и компания, 1868 г.
^ Клагетт, Маршалл (1961) Механическая наука в средние века , (Мэдисон: University of Wisconsin Press), стр. 332–45, 382–91.
^ Более поздняя ранняя современная версия : Новая система торговой арифметики : адаптированная к торговле Соединенных Штатов в ее внутренних и внешних отношениях с формами счетов и другими письменными документами, обычно встречающимися в торговле. Майкл Уолш . Эдмунд М. Блант (владелец), 1801 г.
^ Миллер, Джефф (4 июня 2006 г.). «Первоначальное использование символов операций» . Средняя школа Галфа . Проверено 24 сентября 2006 г.
^ Арифметические книги от изобретения книгопечатания до наших дней. Огастес Де Морган . п 2 .
^ Граттан-Гиннесс, Айвор (1997). Радуга математики: история математических наук . WW Нортон. ISBN 0-393-32030-8 .
^ Полная арифметика . Майкл Стифел , Филип Меланхтон . Нюрнберг : Апуд Иоганн Петрейум , 1544 г.
^ История математики Энн Рун. стр. 40
^ Мемуары Джона Нэпьера из Мерчистона . Марк Нэпьер
^ Отчет о жизни, сочинениях и изобретениях Джона Нэпьера из Мерчистона . Дэвид Стюарт Эрскин, граф Бьюкен, Уолтер Минто
^ Каджори, Флориан (1919). История математики . Макмиллан. п. 157 .
^ Ян Галлберг , Математика от рождения чисел, WW Norton & Company; ISBN 978-0-393-04002-9 . стр. 963–965,
^ Краткое описание Мэтисона Пальмариоса . Уильям Джонс 1706 г. (Альтернативный вариант: Synopsis of Palmariorum Matheseos: или Новое введение в математику . archive.org.)
^ Когда меньше значит больше: визуализация основного неравенства. Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсе. Стр. 18 .
^ Эйлер, Леонхард, Решение проблемы, связанной с геометрией площадки.
^ Элементы геометрии . Уильям Эмерсон
^ Учение о пропорциях, арифметических и геометрических. Вместе с общим методом Аренинга по пропорциональным величинам . Уильям Эмерсон.
^ Математический корреспондент. Джордж Бэрон. 83
^ Витулли, Мария . «Краткая история линейной алгебры и теории матриц» . Кафедра математики . Университет Орегона. Архивировано из оригинала 10 сентября 2012 года . Проверено 24 января 2012 г.
^ «Биография Крэмпа» . History.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 24 июня 2014 г.
^ Аналитическая механика: Том 1 , Том 2 . Жозеф Луи Лагранж . Г-жа Ве Курсье , 1811 г.
^ Сборник математических статей Артура Кэли . Том 11. Страница 243 .
^ Историческая энциклопедия естественных и математических наук, Том 1. Ари Бен-Менахем. Стр. 2070 .
^ Витулли, Мари . «Краткая история линейной алгебры и теории матриц». Кафедра математики. Университет Орегона. Первоначально по адресу: darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html.
^ Слова математики. Стивен Шварцман. 6 .
^ Электромагнетизм: теория и приложения. А. Праманик. 38
^ История Наблы и других математических символов . homepages.math.uic.edu/~hanson.
^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1854–1855). Уилкинс, Дэвид Р. (ред.). «О некоторых расширениях кватернионов» (PDF) . Философский журнал (7–9): 492–499, 125–137, 261–269, 46–51, 280–290. ISSN 0302-7597 .
^ «Джеймс Клерк Максвелл» . Сеть глобальной истории IEEE . Проверено 25 марта 2013 г.
^ Максвелл, Джеймс Клерк (1865). «Динамическая теория электромагнитного поля» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества . 155 : 459–512. Бибкод : 1865RSPT..155..459M . дои : 10.1098/rstl.1865.0008 . S2CID 186207827 . (Эта статья сопровождала презентацию Максвелла Королевскому обществу от 8 декабря 1864 года.)
^ Книги I, II, III (1878 г.) в Интернет-архиве ; Книга IV (1887 г.) в Интернет-архиве.
^ Кокс, Дэвид А. (2012). Теория Галуа . Чистая и прикладная математика. Том. 106 (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 348. ИСБН 978-1-118-21842-6 .
^ "ТУБИТАК УЛАКБИМ ДергиПарк" . Журналы.istanbul.edu.tr. Архивировано из оригинала 16 марта 2014 года . Проверено 24 июня 2014 г.
^ «Линейная алгебра: Хусейн Тевфик: Бесплатная загрузка и потоковая передача: Интернет-архив» . А.Х. Бояджян. 1882 год . Проверено 24 июня 2014 г.
^ Риччи Курбастро, Г. (1892). «Краткое содержание некоторых работ по переменным системам функций, связанным с квадратичной дифференциальной формой». Вестник математических наук . 2 (16): 167–189.
^ Фойгт, Вольдемар (1898). Фундаментальные физические свойства кристаллов в элементарном представлении . Лейпциг: Фейт.
^ Пуанкаре, Анри, "Анализ места", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895), стр. 1–123
^ Уайтхед, Джон Б. младший (1901). «Обзор: Явления переменного тока , автор: К. П. Штейнмец» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 7 (9): 399–408. дои : 10.1090/s0002-9904-1901-00825-7 .
^
Существует множество изданий. Вот два:
- (На французском языке) Опубликовано в 1901 году издательством Готье-Виллар, Париж. 230р. Открытая библиотека OL15255022W , PDF .
- (Итальянский) Опубликовано в 1960 году издательством Edizione Cremonese, Рим. 463 стр. Открытая библиотека OL16587658M .
^ Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.), «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» , Mathematische Annalen , 54 (1–2), Springer: 125–201, doi : 10.1007/BF01454201 , S2CID 120009332
^ Цермело, Эрнст (1904). «Доказательство того, что любое множество может быть упорядочено» (перепечатка) . Математические летописи . 59 (4): 514–16. дои : 10.1007/BF01445300 . S2CID 124189935 .
^ О динамике электрона (июль) – через Wikisource .
^ Фреше, Морис, «О некоторых моментах функционального исчисления», докторская диссертация, 1906 г.
^ Каллис, Катберт Эдмунд (март 2013 г.). Матрицы и детерминоиды . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-62083-4 .
^ Может быть назначена данная матрица : О классе матриц. (Греч. О классе матриц: которые можно приписать данной матрице.) Исай Шур
^ Введение в современную теорию уравнений . Флориан Каджори.
^ Труды Прусской академии наук (1918). Стр. 966.
^ Труды Прусской академии наук (1918) (Тр. Записки Прусской академии наук (1918)). архив.орг; См. также: Теория Калуцы–Клейна .
^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86 , §3.5. ISBN 0-7167-0344-0 .
^ Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4 .
^ Схаутен, Ян А. (1924). Р. Курант (ред.). Исчисление Риччи — введение в новейшие методы и проблемы многомерной дифференциальной геометрии . Основные учения математических наук (на немецком языке). Том 10. Берлин: Springer Verlag.
^ Роберт Б. Эш. Букварь абстрактной математики. Издательство Кембриджского университета, 1 января 1998 г.
^ Новый американский энциклопедический словарь. Под редакцией Эдварда Томаса Роу, Ле Роя Хукера, Томаса В. Хэндфорда. стр. 34
^ Математические принципы натуральной философии, Том 1. Сэр Исаак Ньютон, Джон Мачин. Стр. 12.
^ В «Научном обзоре» (1931)
^ Математика упрощена и сделана привлекательной: или Объяснение законов движения. Томас Фишер. Стр. 15. (ср. Но абстракция, не основанная на Природе и ( логической ) истине и не согласующаяся с ней , была бы ложью , безумием . )
^ Предложение VI, О формально неразрешимых предложениях в Principia Mathematica и родственных системах I (1931)
^ Касти, Джон Л. 5 золотых правил . Нью-Йорк: MJF Books, 1996.
^ Гр. Методы математической физики
^ ПАМ Дирак (1927). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» . Труды Лондонского королевского общества А. 114 (767): 243–265. Бибкод : 1927RSPSA.114..243D . дои : 10.1098/rspa.1927.0039 .
^ Э. Ферми (1932). «Квантовая теория излучения». Обзоры современной физики . 4 (1): 87–132. Бибкод : 1932РвМП....4...87Ф . дои : 10.1103/RevModPhys.4.87 .
^ Ф. Блох ; А. Нордсик (1937). «Заметка о поле излучения электрона». Физический обзор . 52 (2): 54–59. Бибкод : 1937PhRv...52...54B . дои : 10.1103/PhysRev.52.54 .
^ В. Ф. Вайскопф (1939). «О собственной энергии и электромагнитном поле электрона». Физический обзор . 56 (1): 72–85. Бибкод : 1939PhRv...56...72W . дои : 10.1103/PhysRev.56.72 .
^ Р. Оппенгеймер (1930). «Заметка о теории взаимодействия поля и вещества». Физический обзор . 35 (5): 461–477. Бибкод : 1930PhRv...35..461O . дои : 10.1103/PhysRev.35.461 .
^ Ван дер Варден Б.Л. (1929). «Спинорный анализ». Новости Гес. Геттинген Матем.-Физ . 1929 : 100–109.
^ Веблен О. (1933). «Геометрия двухкомпонентных спиноров» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 19 (4): 462–474. Бибкод : 1933ПНАС...19..462В . дои : 10.1073/pnas.19.4.462 . ПМК 1086023 . ПМИД 16577541 .
^ Дирак, ПАМ (1939). «Новая система обозначений квантовой механики» . Математические труды Кембриджского философского общества . 35 (3): 416–418. Бибкод : 1939PCPS...35..416D . дои : 10.1017/S0305004100021162 . S2CID 121466183 .
^ Х. Грассман (1862). Теория расширения . История источников по математике. Американское математическое общество, Лондонское математическое общество, перевод Ллойда К. Канненберга, 2000 г.
^ Вайнберг, Стивен (1964), Квантовая теория полей, Том 2 , Издательство Кембриджского университета, 1995, с. 358, ISBN 0-521-55001-7
^ «Нобелевская премия по физике 1965 года» . Нобелевский фонд . Проверено 9 октября 2008 г.
^ С. Л. Глэшоу (1961). «Частичные симметрии слабых взаимодействий». Ядерная физика . 22 (4): 579–588. Бибкод : 1961NucPh..22..579G . дои : 10.1016/0029-5582(61)90469-2 .
^ С. Вайнберг (1967). «Модель лептонов» . Письма о физических отзывах . 19 (21): 1264–1266. Бибкод : 1967PhRvL..19.1264W . дои : 10.1103/PhysRevLett.19.1264 .
^ А. Салам (1968). Н. Свартхольм (ред.). Физика элементарных частиц: релятивистские группы и аналитичность . Восьмой Нобелевский симпозиум . Стокгольм: Альмкувист и Викселл . п. 367.
^ Ф. Энглерт; Р. Браут (1964). «Нарушенная симметрия и масса калибровочных векторных мезонов» . Письма о физических отзывах . 13 (9): 321–323. Бибкод : 1964PhRvL..13..321E . дои : 10.1103/PhysRevLett.13.321 .
^ П.В. Хиггс (1964). «Нарушенные симметрии и массы калибровочных бозонов» . Письма о физических отзывах . 13 (16): 508–509. Бибкод : 1964PhRvL..13..508H . doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .
^ Г.С. Гуральник; Ч.Р. Хаген; TWB Киббл (1964). «Глобальные законы сохранения и безмассовые частицы» . Письма о физических отзывах . 13 (20): 585–587. Бибкод : 1964PhRvL..13..585G . дои : 10.1103/PhysRevLett.13.585 .
^ http://www.physicals.drexel.edu/~vkasli/phys676/Notes%20for%20a%20brief%20history%20of%20quantum%20gradity%20-%20Carlo%20Rovelli.pdf ^{[ пустой URL PDF ]}
^ Бурбаки, Николя (1972). «Вселенная» . Ин Артин, Майкл ; Гротендик, Александр ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - вып. 1 (Конспекты лекций по математике 269 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 185–217.
^ Ф. Дж. Хасерт; и др. (1973). «Поиски упругого рассеяния электронов мюон-нейтрино». Буквы по физике Б. 46 (1): 121. Бибкод : 1973PhLB...46..121H . дои : 10.1016/0370-2693(73)90494-2 .
^ Ф. Дж. Хасерт; и др. (1973). «Наблюдение нейтриноподобных взаимодействий без мюона или электрона в эксперименте с нейтрино Гаргамеллы». Буквы по физике Б. 46 (1): 138. Бибкод : 1973PhLB...46..138H . дои : 10.1016/0370-2693(73)90499-1 .
^ Ф. Дж. Хасерт; и др. (1974). «Наблюдение нейтриноподобных взаимодействий без мюона или электрона в нейтринном эксперименте Гаргамеля». Ядерная физика Б . 73 (1): 1. Бибкод : 1974NuPhB..73....1H . дои : 10.1016/0550-3213(74)90038-8 .
^ Д. Хайдт (4 октября 2004 г.). «Открытие слабых нейтральных токов» . ЦЕРН Курьер . Проверено 8 мая 2008 г.
^ «Главная страница» .
^ Канделас, П. (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика Б . 258 : 46–74. Бибкод : 1985НуФБ.258...46С . дои : 10.1016/0550-3213(85)90602-9 .
^ Де Феличе, Ф.; Кларк, CJS (1990), Относительность искривленных многообразий , с. 133
^ «Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий» В.Г. Тураева (1994), стр. 71
^ Писански, Томаж ; Серватиус, Бриджит (2013), «2.3.2 Кубические графы и нотация LCF», Конфигурации с графической точки зрения , Springer, стр. 32, ISBN 978-0-8176-8364-1
^ Фрухт, Р. (1976), «Каноническое представление трехвалентных гамильтоновых графов», Journal of Graph Theory , 1 (1): 45–60, doi : 10.1002/jgt.3190010111
^ Фрели 2002:89; Хангерфорд 1997: 230
^ Ден, Эдгар. Алгебраические уравнения, Дувр. 19:30:19
^ «Умножающий пуансон IBM 601» . Колумбия.edu . Проверено 24 июня 2014 г.
^ «Взаимосвязанное оборудование с перфокартами» . Колумбия.edu. 24 октября 1935 года . Проверено 24 июня 2014 г.
^ Труды Лондонского математического общества 42 (2)
^ Кук, Стивен (1971). «Сложность процедур доказательства теорем» . Труды третьего ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . стр. 151–158. дои : 10.1145/800157.805047 . ISBN 978-1-4503-7464-4 . S2CID 7573663 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Общий

Краткий обзор истории математики . Уолтер Уильям Роуз Болл .
Букварь истории математики . Уолтер Уильям Роуз Болл.
История элементарной математики : с намеками на методы обучения. Флориан Каджори.
История элементарной математики . Флориан Каджори.
История математики . Флориан Каджори.
Краткая история греческой математики . Джеймс Гоу .
О развитии математической мысли в девятнадцатом веке . Джон Теодор Мерц .
Новый математическо-философский словарь . Питер Барлоу.
Историческое введение в математическую литературу . Джордж Абрам Миллер
Краткая история математики . , Карл Финк Вустер Вудрафф Беман , Дэвид Юджин Смит
История современной математики . Дэвид Юджин Смит.
История современной математики . Дэвид Юджин Смит, Мэнсфилд Мерриман .

Другой

Principia Mathematica, Том 1 и Том 2 . Альфред Норт Уайтхед, Бертран Рассел.
Математические принципы натуральной философии , том 1, выпуск 1. Сэр Исаак Ньютон, Эндрю Мотт, Уильям Дэвис, Джон Мачин, Уильям Эмерсон.
Общие исследования криволинейных поверхностей 1827 и 1825 годов . Карл Фридрих Гаус.

Внешние ссылки [ править ]

Математические обозначения: прошлое и будущее
История математической записи
Самое раннее использование математической записи
Счет пальцев . файлы.chem.vt.edu.
Некоторые распространенные математические символы и сокращения (с историей) . Исайя Лэнкэм, Бруно Нахтергаэле, Энн Шиллинг.

[7] Или Средневековье.

[9] Такие символы фактически сохраняются с небольшими изменениями в римских обозначениях , описание которых можно найти в Джона Лесли . «Философии арифметики»

[10] Теория чисел — раздел чистой математики, посвященный в основном изучению целых чисел . Теоретики чисел изучают простые числа , а также свойства объектов, состоящих из целых чисел (например, рациональных чисел ) или определяемых как обобщения целых чисел (например, алгебраических целых чисел ).

[17] Греческий : не беспокойте мои круги

[18] То есть, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

[22] Величина (математика) — относительный размер объекта; Величина (вектор) — термин, обозначающий размер или длину вектора; Скаляр (математика) — величина, определяемая только своей величиной; Евклидов вектор — величина, определяемая как величиной, так и направлением; Порядок величины , класс масштаба, имеющий фиксированное соотношение значений к предыдущему классу.

[27] Автолик « На движущейся сфере » — еще один древний математический манускрипт того времени.

[28] Прокл , греческий математик, живший через несколько столетий после Евклида, писал в своем комментарии к «Началам»: «Евклид, который соединил «Начала», собрав многие из теорем Евдокса , усовершенствовав многие из Теэтета », а также доведя до неоспоримой демонстрации вещи, которые лишь в некоторой степени были доказаны его предшественниками».

[37] Выражение:
$2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}+5x-6$
будет записано как:
СС2 С3 x5 М S4 u6
. ^{[ нужна ссылка ]}

[40] такие как правило , угольник , циркуль , уровень воды ( уровень тростника ) и отвес .

[41] например, колесо и ось

[44] Площадь квадрата, описанного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, описанных на его сторонах.

[53] Аль-Кинди также представил криптоанализ и частотный анализ .

[59] Что-то близкое к доказательству методом математической индукции появляется в книге, написанной Аль-Караджи около 1000 года нашей эры, который использовал ее для доказательства биномиальной теоремы , треугольника Паскаля и суммы целых кубов .

[62] Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от многочленов, но его не интересовали полиномы выше четвертой степени.

[64] книга о том, что он считал недостатками в » Евклида «Элементах , особенно в постулате о параллельности.

[66] переведено на латынь Робертом Честерским.

[67] переведено в различных версиях Аделардом Батским , Германом Каринтийским и Герардом Кремонским.

[76] Его личное использование началось примерно в 1351 году.

[81] Сумма арифметики: Geometria Proportioni et Proportionalita. Тр . Сумма арифметики: Геометрия в пропорциях и пропорциональности.

[83] Большая часть работ принадлежит Пьеро делла Франческе, которого он присвоил и украл.

[84] Это был особый случай методов, предложенных много столетий спустя Руффини и Хорнером .

[86] То есть, ${\sqrt {~}}$ .

[87] Потому что, как полагают, оно напоминало строчную букву «r» (от « основания »).

[89] Опубликовано в «Описании чудесного канона логарифмов».

[93] То есть,
∷

[95] см . Закон непрерывности .

[96] Используя декартовы координаты на плоскости, расстояние между двумя точками ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) определяется по формуле:
$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},$
которую можно рассматривать как вариант теоремы Пифагора .

[97] Дальнейшие шаги в абстракции были предприняты Лобачевским , Больяи , Риманом и Гауссом , которые обобщили понятия геометрии для разработки неевклидовых геометрий .

[98] Теперь называется треугольником Паскаля .

[99] Например, « проблема очков ».

[100] То есть, ${\infty }$ .

[101] Например, ${\frac {1}{\infty }}.$

[102] Оригинальное название: « О рассуждениях в азартной игре ».

[106] Например, производная функции x будет записана как ${\dot {x}}$ . Вторая производная от x будет записана как ${\ddot {x}}$ , и т. д.

[107] Например, производная функции x по переменной t в обозначениях Лейбница будет записываться как ${dx \over dt}$ .

[108] То есть, $\int _{-N}^{N}f(x)\,dx$ .

[109] См. Также: Список представлений e.

[110] Таким образом $f(x)$ обозначает математический результат выполнения операции $f$ по теме $x$ . Если бы после этого результата была повторена та же самая операция, новый результат был бы выражен формулой $f[f(x)]$ или, более кратко, $f^{2}(x)$ , и так далее. Количество $x$ себя рассматривать как результат той же операции $f$ по какой-то другой функции; подходящим символом для которого является, по аналогии, $f^{-1}(x)$ . Таким образом $f$ и $f^{-1}$ являются символами обратных операций , причем первые аннулируют влияние вторых на субъект $x$ . $f(x)$ и $f^{-1}(x)$ аналогичным образом называются обратными функциями .

[111] То есть, $\Delta f(p)$

[112] То есть, ${\sqrt {-1}}$

[113] Сегодня символ, созданный Джоном Уоллисом , $\infty$ , используется для бесконечности.

[114] Как и в, $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

[115] В обозначении заглавной сигмы используется символ, который компактно представляет сумму многих подобных терминов: суммирования символ Σ , увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы сигма . Это определяется как:
$\sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}.$

Где я представляет индекс суммирования ; a _i — индексированная переменная, представляющая каждый последующий член ряда; m — нижняя граница суммирования , а n — верхняя граница суммирования . « i = m» под символом суммирования означает, что индекс i изначально равен m . Индекс i увеличивается на 1 для каждого последующего термина и останавливается, когда i = n .

[116] То есть, $n!=\int _{0}^{1}(-\ln s)^{n}\,{\rm {d}}s$ .
справедливо для n > 0.

[119] То есть,
∝

[120] Пропорциональность — это соотношение одной величины к другой, особенно соотношение части по сравнению с целым. В математическом контексте пропорция — это утверждение равенства между двумя отношениями; См. Пропорциональность (математика) , взаимосвязь двух переменных, отношение которых постоянно. См. также соотношение сторон , геометрические пропорции.

[123] Фигурная буква d или дельта Якоби .

[124] О доказательстве теоремы Вильсона . Арифметические исследования (1801 г.), статья 76.

[126] Теория Галуа и геометрия Галуа названы в его честь.

[128] То есть «подмножество» и «надмножество»; Позже это будет переработано Эрнстом Шредером .

[129] Наука о числах , которая использует методы математического анализа для решения задач о целых числах.

[134] Цитируется в книге Роберта Персиваля Грейвса « Жизнь сэра Уильяма Роуэна Гамильтона» (3 тома, 1882, 1885, 1889 гг.)

[135] То есть, $\nabla$ (или, позже названный del , ∇)

[139] См . гамильтониан (квантовая механика) .

[140] То есть, $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$

[142] Хотя его использование описывает нечто иное, чем то, что сейчас подразумевается под тензором. А именно, нормальная операция в определенном типе алгебраической системы (теперь известной как алгебра Клиффорда ).

[143] То есть,
$t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R}$
где
$ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.$

[144] Это латинское слово «матка».

[148] То есть, $q=w+xi+yj+zk$

[149] Клиффорд пересек алгебру с кватернионами Гамильтона, заменив Германа Грассмана правило e _p e _p = 0 на правило e _p e _p = 1. Для получения дополнительной информации см. внешнюю алгебру .

[150] См.: Вектор , Группа (математика) , Скорость сигнала , Многофазная система , Гармонический генератор и последовательная схема RLC.

[151] Или концепция четвертого пространственного измерения. См. также: Пространство-время , объединение времени и пространства как четырёхмерного континуума ; и пространство Минковского — математическая основа специальной теории относительности.

[155] См. Также: Математические поля и Расширение полей.

[160] Комментарий после доказательства того, что 1+1=2, завершенного в Principia mathematica Альфредом Нортом Уайтхедом ... и Бертраном Расселом. Том II, 1-е издание (1912 г.)

[162] Это поднимает вопросы о чистых теоремах существования .

[163] Пеано Formulario Mathematico , хотя и менее популярная, чем работа Рассела, выдержала пять изданий. Пятый появился в 1908 году и включал 4200 формул и теорем.

[165] Изобретатель теории множеств

[166] Трансфинитная арифметика — это обобщение элементарной арифметики на бесконечные величины, такие как бесконечные множества ; См. Трансфинитные числа , Трансфинитная индукция и Трансфинитная интерполяция . См. также Порядковая арифметика .

[173] Такие как Макс Ден , JW Alexander и другие.

[174] Например, полином Александера .

[175] (немецкий: Алгебраическая теория тел)

[176] В этой статье Стейниц аксиоматически изучил свойства полей и определил многие важные концепции теории поля, такие как простое поле , совершенное поле и степень трансцендентности поля расширения .

[177] Индексы варьируются в пределах набора ${1, 2, 3$ },
$y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}$
сводится по соглашению к:
$y=c_{i}x^{i}\,.$
Верхние индексы не являются экспонентами , а являются индексами координат, коэффициентов или базисных векторов .
Смотрите также: исчисление Риччи

[180] Исчисление Риччи представляет собой правила индексной записи и манипулирования тензорами и тензорными полями . См. также: Синг Дж.Л.; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление . первое издание Dover Publications 1978 года. стр. 6–108.

[189] Здесь логическая константа — это символ в символической логике, который имеет одно и то же значение во всех моделях, например, символ «=" для «равно».
Константа число в математическом контексте — это , которое естественным образом возникает в математике , например π или e; Значение такой математической константы не меняется. Это может означать полиномиальный постоянный член (член степени 0) или константу интегрирования - свободный параметр, возникающий при интегрировании.
Соответственно, физическая константа — это физическая величина, которую обычно считают универсальной и неизменной. Программные константы — это значения, которые, в отличие от переменных, нельзя повторно связать с другим значением.

[190] Хотя ключевые слова не являются индексным термином , они представляют собой термины, которые представляют информацию. Ключевое слово – это слово, имеющее специальное значение (это семантическое определение), а синтаксически это терминальные символы в грамматике фразы. См. зарезервированное слово для соответствующей концепции.

[191] Большинство этих символов можно найти в исчислении высказываний , формальной системе, описываемой как ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\ (\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} )$ . $\mathrm {A}$ — это набор элементов, таких как a в примере с булевой алгеброй выше. $\Omega$ это набор, содержащий подмножества, содержащие операции, такие как $\lor$ или $\land$ . $\mathrm {Z}$ содержит правила вывода , которые являются правилами, определяющими, как логически могут быть сделаны выводы, и $\mathrm {I}$ содержит аксиомы . См. также: Основные и производные формы аргументов .

[192] Обычно обозначается x , y , z или другими строчными буквами.
Здесь символы, обозначающие величину в математическом выражении, математическую переменную , используемую во многих науках.
Переменные могут иметь символическое имя, связанное со значением и связанное с ним значение может быть изменено, что в информатике известно как ссылка на переменную . Переменная обработки также может представлять собой операционализированный способ представления атрибута для дальнейшей данных (например, логический набор атрибутов). См. Также: Зависимые и независимые переменные в статистике.

[193] Обычно обозначается прописной буквой, за которой следует список переменных, например P( x ) или Q( y , z ).
Здесь предикат математической логики — фундаментальное понятие логики первого порядка. Грамматические предикаты – это грамматические компоненты предложения.
Связанный — это синтаксический предикат в технологии синтаксического анализа, который является руководством для процесса синтаксического анализа. В компьютерном программировании предсказание ветвления позволяет выбрать, выполнять или не выполнять данную инструкцию на основе содержимого машинного регистра.

[194] Представляя ВСЕ и СУЩЕСТВУЕТ

[195] например, ∃ для «существует» и ∀ для «для всех»

[196] См. также: Диалетеизм , противоречие и парадокс.

[197] Связанная с этим шутливая абстрактная чепуха описывает определенные виды аргументов и методов, связанных с теорией категорий, которые напоминают комические литературные непоследовательные приемы (а не нелогичные непоследовательные приемы ).

[199] Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что программа Гильберта по поиску полного и непротиворечивого набора аксиом для всей математики невозможна, что дает оспариваемый отрицательный ответ на вторую проблему Гильберта.

[201] Например, возьмем утверждение «Существует такое число x , что оно не является y ». Используя символы исчисления высказываний, это будет выглядеть следующим образом: $(\exists x)(x=\lnot y)$ .
Если числа Гёделя заменяют символы, получается: $\{8,4,11,9,8,11,5,1,13,9\}$ .
Имеется десять чисел, поэтому найдены десять простых чисел: $\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}$ .
Затем числа Гёделя превращаются в степени соответствующих простых чисел и умножаются, что дает: $2^{8}\times 3^{4}\times 5^{11}\times 7^{9}\times 11^{8}\times 13^{11}\times 17^{5}\times 19^{1}\times 23^{13}\times 29^{9}$ .
Полученное число составляет примерно $3.096262735\times 10^{78}$ .

[203] Уравнение Клейна – Гордона:
${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.$

[205] Уравнение Дирака в форме, первоначально предложенной Дираком:
$\left(\beta mc^{2}+\sum _{k=1}^{3}\alpha _{k}p_{k}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}$

где $ψ = ψ(x, t)$ — волновая функция электрона , , $x$ и $t$ — координаты пространства и времени, $m$ — масса покоя электрона, $p$ — импульс понимаемый как оператор импульса в Теория Шрёдингера , $c$ — скорость света , $ħ = h /2 π$ — приведенная постоянная Планка .

[207] То есть,
$\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0$

[211] Теорема применима в более общем плане к любой достаточно сильной формальной системе, показывая, что истина в стандартной модели системы не может быть определена внутри системы.

[212] Назван в честь работы Фойгта 1898 года.

[213] Назван в честь Артура Морица Шенфлиса.

[216] См . связи Галуа .

[217] Ойстейн Оре также написал « Теорию чисел и ее историю ».

[218] $\langle \phi |\psi \rangle$

[222] Что амплитуду рассеяния можно рассматривать как аналитическую функцию углового момента и что положение полюсов определяет степенную скорость роста амплитуды в чисто математической области больших значений косинуса угла рассеяния.

[223] То есть, $\scriptstyle \Box$

[224] Также известен как оператор Даламбера или волновой оператор .

[225] Также известен как « символ перестановки » (см.: перестановка ), « антисимметричный символ » (см.: антисимметричный ) или « чередующийся символ »

[227] Обратите внимание, что «массы» (например, когерентная неопределенная форма тела) частиц периодически переоцениваются сообществом научным . Значения могли быть скорректированы; регулировка путем операций, выполняемых на приборах, с целью получения заданных показаний, соответствующих заданным значениям измеряемой величины . В инженерном деле, математике и геодезии оптимальным параметром является оценка математической модели, которая наилучшим образом соответствует набору данных .

[228] Для консенсуса см. Группа данных о частицах .

[243] Локально определенный набор из четырех линейно независимых векторных полей, называемый тетрадой.

[246] Он использовал суммирование Эйнштейна для того, чтобы компенсировать неудобства при описании сокращений и ковариантной дифференциации в современной абстрактной тензорной записи, сохраняя при этом явную ковариацию задействованных выражений.

[247] См. Также: Ландшафт теории струн и Болото.

[248] Разработано Джошуа Ледербергом и расширено Коксетером и Фрухтом.

[256] И в 1938 году Тьюринг, AM (1938). «О вычислимых числах с применением к проблеме Entscheidungs. Исправление». Труды Лондонского математического общества . с2-43: 544–546. дои : 10.1112/plms/s2-43.6.544 . .

[257] Среди других вкладов фон Неймана можно назвать применение теории операторов к квантовой механике , развитию функционального анализа и различным формам теории операторов .

[1] Флориан Каджори . История математических обозначений: два тома в одном. Cosimo, Inc., 1 декабря 2011 г.

[2] Словарь науки, литературы и искусства, том 2. Под редакцией Уильяма Томаса Бранде , Джорджа Уильяма Кокса . стр. 683

[3] «Обозначение – из Wolfram MathWorld» . Mathworld.wolfram.com . Проверено 24 июня 2014 г.

[4] Диофант Александрийский: Исследование истории греческой алгебры. Сэр Томас Литтл Хит. Стр. 77 .

[5] Математика: ее сила и полезность. Карл Дж. Смит. Стр. 86 .

[6] Коммерческая революция и начало западной математики во Флоренции эпохи Возрождения, 1300–1500. Уоррен Ван Эгмонд. 1976. Страница 233.

[8] Соломон Гандз . «Источники алгебры аль-Хорезми»

[11] Американская энциклопедия. Томас Гамалиэль Брэдфорд. стр. 314

[12] Математический экскурс, расширенное издание: расширенное издание Webassign, авторы Ричард Н. Ауфманн, Джоан Локвуд, Ричард Д. Нэйшн, Дэниел К. Клег. стр. 186

[13] Математика в Египте и Месопотамии ^{[ мертвая ссылка ]}

[14] Бойер, CB История математики , 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах . Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Месопотамия» с. 25.

[15] Дункан Дж. Мелвилл (2003). Хронология третьего тысячелетия , Математика третьего тысячелетия . Университет Святого Лаврентия .

[16] Аабо, Асгер (1998). Эпизоды из ранней истории математики . Нью-Йорк: Рэндом Хаус. стр. 30–31.

[19] Хит (1931). «Руководство по греческой математике». Природа . 128 (3235): 5. Бибкод : 1931Natur.128..739T . дои : 10.1038/128739a0 . S2CID 3994109 .

[20] Сэр Томас Л. Хит, Руководство по греческой математике , Дувр, 1963, стр. 1: «В случае математики наиболее важно знать вклад греков, поскольку именно греки сделали математику наукой».

[Encyclopaedia_Perthensi-21] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Новая энциклопедия; или Универсальный словарь искусств и наук. Энциклопедия Пертенси. стр. 49

[23] Калинджер, Рональд (1999). Контекстуальная история математики . Прентис-Холл. п. 150. ИСБН 0-02-318285-7 . Вскоре после Евклида, составителя полного учебника, появился Архимед Сиракузский (ок. 287–212 до н.э.), самый оригинальный и глубокий математик древности.

[24] «Архимед Сиракузский» . Архив истории математики MacTutor. Январь 1999 года . Проверено 9 июня 2008 г.

[25] О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (февраль 1996 г.). «История исчисления» . Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 15 июля 2007 года . Проверено 7 августа 2007 г.

[26] «Сводка Прокла» . Gap.dcs.st-and.ac.uk. Архивировано из оригинала 23 сентября 2015 года . Проверено 24 июня 2014 г.

[29] Колдуэлл, Джон (1981) «The De Institutione Arithmetica и De Institutione Musica », стр. 135–54 в издании Маргарет Гибсон, Боэций: Его жизнь, мысли и влияние (Оксфорд: Бэзил Блэквелл).

[30] Фолкертс, Менсо, «Боэций» Геометрия II (Висбаден: Franz Steiner Verlag, 1970).

[31] Математика и измерения Освальда Эштона Вентворта Дилка. стр. 14

[books.google.com-32] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Словарь науки, литературы и искусства, под ред. У. Т. Бранде. стр. 683

[Boyer-33] Бойер, Карл Б. История математики , 2-е издание, John Wiley & Sons, Inc., 1991.

[34] Диофантовы уравнения . Представлено: Аароном Зерхузеном, Крисом Рэйксом и Шастой Мис. МА 330-002. Доктор Карл Эберхарт. 16 февраля 1999 г.

[35] История греческой математики: от Аристарха до Диофанта. Сэр Томас Литтл Хит. стр. 456

[36] История греческой математики: от Аристарха до Диофанта. Сэр Томас Литтл Хит. стр. 458

[38] Американский математический ежемесячник, том 16. Стр. 131

[39] «Обзор китайской математики» . Groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 24 июня 2014 г.

[42] Джордж Гевергезе Джозеф, Герб павлина: неевропейские корни математики , Penguin Books, Лондон, 1991, стр. 140–148.

[43] Жорж Ифра, Универсальная история чисел , Кампус, Франкфурт/Нью-Йорк, 1986, стр. 428–437.

[45] «Фрэнк Дж. Свец и Т. И. Као: был ли Пифагор китайцем?» . Psupress.psu.edu . Проверено 24 июня 2014 г.

[needham_volume_3_109-46] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небе и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.

[restivo_32-47] Сал Рестиво

[needham_volume_3_109_2-48] Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небе и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.

[gauchet_151-49] Марсель Гоше , 151.

[Boyer_Brahmagupta_Indeterminate_equations-50] Бойер, CB История математики, 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Китай и Индия» с. 221. (ср.: «Он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения ax + by = c, где a, b и c — целые числа. [...] Это большая заслуга Брахмагупта, что он дал все целые решения линейного диофантового уравнения, тогда как сам Диофант был удовлетворен тем, что дал одно частное решение неопределенного уравнения. Поскольку Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, мы снова видим вероятность греческого влияния в нем. Индия – или возможность того, что они оба использовали общий источник, возможно, из Вавилонии. Интересно также отметить, что алгебра Брахмагупты, как и алгебра Диофанта, обозначалась сопоставлением, а вычитание - установкой точки. над вычитаемым и деление, помещая делитель под делимым, как в наших дробных обозначениях, но без черточки. Операции умножения и эволюции (извлечение корня), а также неизвестные величины изображались сокращениями соответствующих слов. .")

[51] Роберт Каплан, «Ничто, что есть: естественная история нуля», Аллен Лейн/The Penguin Press, Лондон, 1999

[52] « Гениальный метод выражения всех возможных чисел с помощью набора из десяти символов (каждый символ имеет позиционное значение и абсолютное значение) появился в Индии. Сегодня эта идея кажется настолько простой, что ее значимость и глубокая важность уже не осознается. Его простота заключается в том, что он облегчил вычисления и поставил арифметику на первое место среди полезных изобретений. важность этого изобретения легче оценить, если учесть, что оно превосходило двух величайших людей античности, Архимеда и Аполлония». – Пьер-Симон Лаплас» . History.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 24 июня 2014 г.

[54] А. П. Юшкевич , «История математики в средние века», Тойбнер, Лейпциг, 1964.

[55] Бойер, CB История математики, 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Арабская гегемония» с. 230. (ср.: «Шесть случаев уравнений, приведенных выше, исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительный корень. Изложение аль-Хваризми было настолько систематическим и исчерпывающим, что его читателям, должно быть, не составило труда освоить решения».)

[56] Гандз и Саломан (1936), Источники алгебры Хорезми , Осирис i, стр. 263–77: «В некотором смысле Хорезми больше имеет право называться «отцом алгебры», чем Диофант, потому что Хорезми первым научил алгебры в элементарной форме и ради нее самой, Диофант занимается прежде всего теорией чисел».

[Boyer-229-57] Бойер, CB История математики, 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Арабская гегемония» с. 229. (ср.: «Неясно, что именно означают термины аль-джабр и мукабала , но обычное толкование аналогично тому, которое подразумевается в переводе выше. Слово аль-джабр предположительно означало что-то вроде «восстановления» или «восстановления». завершение» и, по-видимому, относится к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения; считается, что слово «мукабала» относится к «сокращению» или «балансировке», то есть к отмене подобных членов на противоположных сторонах уравнения. .")

[Rashed-Armstrong-58] Рашид, Р.; Армстронг, Анджела (1994). Развитие арабской математики . Спрингер . стр. 11–12. ISBN 0-7923-2565-6 . ОСЛК 29181926 .

[60] Виктор Дж. Кац (1998). История математики: Введение , стр. 255–59. Аддисон-Уэсли . ISBN 0-321-01618-1 .

[61] Ф. Вепке (1853). Отрывок из Фахри, трактата по алгебре Абу Бекра Мохаммеда Бен Альхакана Алкархи . Париж.

[Katz-63] Кац, Виктор Дж. (1995). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Журнал «Математика» . 68 (3): 163–74. дои : 10.1080/0025570X.1995.11996307 .

[65] Куницш, Пол (2003), «Пересмотр передачи индийско-арабских цифр» , в JP Hogendijk; А.И. Сабра (ред.), Научное предприятие в исламе: новые перспективы , MIT Press, стр. 3–22 (12–13), ISBN 978-0-262-19482-2

[68] Мари-Тереза д'Алверни , «Переводы и переводчики», стр. 421–62 в книге Роберта Л. Бенсона и Джайлза Констебля, Возрождение и обновление в двенадцатом веке (Кембридж: издательство Гарвардского университета, 1982).

[69] Гай Божуан, «Трансформация квадривиума», стр. 463–87 в книге Роберта Л. Бенсона и Джайлза Констебля, Возрождение и обновление в двенадцатом веке (Кембридж: издательство Гарвардского университета, 1982).

[70] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Аль-Марракуши ибн Аль-Банна» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[Gullberg-71] Галлберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел . WW Нортон. п. 298 . ISBN 0-393-04002-Х .

[Qalasadi-72] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу'л Хасан ибн Али аль Каласади» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[73] Бойер, CB История математики, 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ). «Возрождение и упадок греческой математики» с. 178 (ср.: «Главное отличие диофантовой синкопы от современной алгебраической записи состоит в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».)

[74] Грант, Эдвард и Джон Э. Мердок (1987), ред., Математика и ее приложения к науке и естественной философии в средние века (Кембридж: Издательство Кембриджского университета) ISBN 0-521-32260-X .

[75] Математический журнал, Том 1. Артемас Мартин, 1887. Стр. 124.

[77] Algorismusпропорционум Николауса Орема : Впервые после прочтения рукописи R.40.2. Библиотека Королевской гимназии в Торне. Николь Орем . С. Голгофа и компания, 1868 г.

[78] Клагетт, Маршалл (1961) Механическая наука в средние века , (Мэдисон: University of Wisconsin Press), стр. 332–45, 382–91.

[79] Более поздняя ранняя современная версия : Новая система торговой арифметики : адаптированная к торговле Соединенных Штатов в ее внутренних и внешних отношениях с формами счетов и другими письменными документами, обычно встречающимися в торговле. Майкл Уолш . Эдмунд М. Блант (владелец), 1801 г.

[80] Миллер, Джефф (4 июня 2006 г.). «Первоначальное использование символов операций» . Средняя школа Галфа . Проверено 24 сентября 2006 г.

[82] Арифметические книги от изобретения книгопечатания до наших дней. Огастес Де Морган . п 2 .

[85] Граттан-Гиннесс, Айвор (1997). Радуга математики: история математических наук . WW Нортон. ISBN 0-393-32030-8 .

[88] Полная арифметика . Майкл Стифел , Филип Меланхтон . Нюрнберг : Апуд Иоганн Петрейум , 1544 г.

[90] История математики Энн Рун. стр. 40

[91] Мемуары Джона Нэпьера из Мерчистона . Марк Нэпьер

[92] Отчет о жизни, сочинениях и изобретениях Джона Нэпьера из Мерчистона . Дэвид Стюарт Эрскин, граф Бьюкен, Уолтер Минто

[94] Каджори, Флориан (1919). История математики . Макмиллан. п. 157 .

[103] Ян Галлберг , Математика от рождения чисел, WW Norton & Company; ISBN 978-0-393-04002-9 . стр. 963–965,

[104] Краткое описание Мэтисона Пальмариоса . Уильям Джонс 1706 г. (Альтернативный вариант: Synopsis of Palmariorum Matheseos: или Новое введение в математику . archive.org.)

[105] Когда меньше значит больше: визуализация основного неравенства. Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсе. Стр. 18 .

[117] Эйлер, Леонхард, Решение проблемы, связанной с геометрией площадки.

[118] Элементы геометрии . Уильям Эмерсон

[121] Учение о пропорциях, арифметических и геометрических. Вместе с общим методом Аренинга по пропорциональным величинам . Уильям Эмерсон.

[122] Математический корреспондент. Джордж Бэрон. 83

[125] Витулли, Мария . «Краткая история линейной алгебры и теории матриц» . Кафедра математики . Университет Орегона. Архивировано из оригинала 10 сентября 2012 года . Проверено 24 января 2012 г.

[127] «Биография Крэмпа» . History.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 24 июня 2014 г.

[130] Аналитическая механика: Том 1 , Том 2 . Жозеф Луи Лагранж . Г-жа Ве Курсье , 1811 г.

[131] Сборник математических статей Артура Кэли . Том 11. Страница 243 .

[132] Историческая энциклопедия естественных и математических наук, Том 1. Ари Бен-Менахем. Стр. 2070 .

[Vitulli,_Marie-133] Витулли, Мари . «Краткая история линейной алгебры и теории матриц». Кафедра математики. Университет Орегона. Первоначально по адресу: darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html.

[136] Слова математики. Стивен Шварцман. 6 .

[137] Электромагнетизм: теория и приложения. А. Праманик. 38

[138] История Наблы и других математических символов . homepages.math.uic.edu/~hanson.

[141] Гамильтон, Уильям Роуэн (1854–1855). Уилкинс, Дэвид Р. (ред.). «О некоторых расширениях кватернионов» (PDF) . Философский журнал (7–9): 492–499, 125–137, 261–269, 46–51, 280–290. ISSN 0302-7597 .

[145] «Джеймс Клерк Максвелл» . Сеть глобальной истории IEEE . Проверено 25 марта 2013 г.

[ADTEF-146] Максвелл, Джеймс Клерк (1865). «Динамическая теория электромагнитного поля» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества . 155 : 459–512. Бибкод : 1865RSPT..155..459M . дои : 10.1098/rstl.1865.0008 . S2CID 186207827 . (Эта статья сопровождала презентацию Максвелла Королевскому обществу от 8 декабря 1864 года.)

[147] Книги I, II, III (1878 г.) в Интернет-архиве ; Книга IV (1887 г.) в Интернет-архиве.

[152] Кокс, Дэвид А. (2012). Теория Галуа . Чистая и прикладная математика. Том. 106 (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 348. ИСБН 978-1-118-21842-6 .

[153] "ТУБИТАК УЛАКБИМ ДергиПарк" . Журналы.istanbul.edu.tr. Архивировано из оригинала 16 марта 2014 года . Проверено 24 июня 2014 г.

[154] «Линейная алгебра: Хусейн Тевфик: Бесплатная загрузка и потоковая передача: Интернет-архив» . А.Х. Бояджян. 1882 год . Проверено 24 июня 2014 г.

[156] Риччи Курбастро, Г. (1892). «Краткое содержание некоторых работ по переменным системам функций, связанным с квадратичной дифференциальной формой». Вестник математических наук . 2 (16): 167–189.

[157] Фойгт, Вольдемар (1898). Фундаментальные физические свойства кристаллов в элементарном представлении . Лейпциг: Фейт.

[158] Пуанкаре, Анри, "Анализ места", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895), стр. 1–123

[159] Уайтхед, Джон Б. младший (1901). «Обзор: Явления переменного тока , автор: К. П. Штейнмец» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 7 (9): 399–408. дои : 10.1090/s0002-9904-1901-00825-7 .

[161] Существует множество изданий. Вот два:
(На французском языке) Опубликовано в 1901 году издательством Готье-Виллар, Париж. 230р. Открытая библиотека OL15255022W , PDF .
(Итальянский) Опубликовано в 1960 году издательством Edizione Cremonese, Рим. 463 стр. Открытая библиотека OL16587658M .

[204] (На французском языке) Опубликовано в 1901 году издательством Готье-Виллар, Париж. 230р. Открытая библиотека OL15255022W , PDF .

[205] (Итальянский) Опубликовано в 1960 году издательством Edizione Cremonese, Рим. 463 стр. Открытая библиотека OL16587658M .

[164] Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.), «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» , Mathematische Annalen , 54 (1–2), Springer: 125–201, doi : 10.1007/BF01454201 , S2CID 120009332

[Zermelo,_1904-167] Цермело, Эрнст (1904). «Доказательство того, что любое множество может быть упорядочено» (перепечатка) . Математические летописи . 59 (4): 514–16. дои : 10.1007/BF01445300 . S2CID 124189935 .

[168] О динамике электрона (июль) – через Wikisource .

[169] Фреше, Морис, «О некоторых моментах функционального исчисления», докторская диссертация, 1906 г.

[170] Каллис, Катберт Эдмунд (март 2013 г.). Матрицы и детерминоиды . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-62083-4 .

[171] Может быть назначена данная матрица : О классе матриц. (Греч. О классе матриц: которые можно приписать данной матрице.) Исай Шур

[172] Введение в современную теорию уравнений . Флориан Каджори.

[178] Труды Прусской академии наук (1918). Стр. 966.

[179] Труды Прусской академии наук (1918) (Тр. Записки Прусской академии наук (1918)). архив.орг; См. также: Теория Калуцы–Клейна .

[181] Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86 , §3.5. ISBN 0-7167-0344-0 .

[182] Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4 .

[183] Схаутен, Ян А. (1924). Р. Курант (ред.). Исчисление Риччи — введение в новейшие методы и проблемы многомерной дифференциальной геометрии . Основные учения математических наук (на немецком языке). Том 10. Берлин: Springer Verlag.

[184] Роберт Б. Эш. Букварь абстрактной математики. Издательство Кембриджского университета, 1 января 1998 г.

[185] Новый американский энциклопедический словарь. Под редакцией Эдварда Томаса Роу, Ле Роя Хукера, Томаса В. Хэндфорда. стр. 34

[186] Математические принципы натуральной философии, Том 1. Сэр Исаак Ньютон, Джон Мачин. Стр. 12.

[187] В «Научном обзоре» (1931)

[188] Математика упрощена и сделана привлекательной: или Объяснение законов движения. Томас Фишер. Стр. 15. (ср. Но абстракция, не основанная на Природе и ( логической ) истине и не согласующаяся с ней , была бы ложью , безумием . )

[198] Предложение VI, О формально неразрешимых предложениях в Principia Mathematica и родственных системах I (1931)

[200] Касти, Джон Л. 5 золотых правил . Нью-Йорк: MJF Books, 1996.

[202] Гр. Методы математической физики

[dirac-204] ПАМ Дирак (1927). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» . Труды Лондонского королевского общества А. 114 (767): 243–265. Бибкод : 1927RSPSA.114..243D . дои : 10.1098/rspa.1927.0039 .

[fermi-206] Э. Ферми (1932). «Квантовая теория излучения». Обзоры современной физики . 4 (1): 87–132. Бибкод : 1932РвМП....4...87Ф . дои : 10.1103/RevModPhys.4.87 .

[bloch-208] Ф. Блох ; А. Нордсик (1937). «Заметка о поле излучения электрона». Физический обзор . 52 (2): 54–59. Бибкод : 1937PhRv...52...54B . дои : 10.1103/PhysRev.52.54 .

[weisskopf-209] В. Ф. Вайскопф (1939). «О собственной энергии и электромагнитном поле электрона». Физический обзор . 56 (1): 72–85. Бибкод : 1939PhRv...56...72W . дои : 10.1103/PhysRev.56.72 .

[oppenheimer-210] Р. Оппенгеймер (1930). «Заметка о теории взаимодействия поля и вещества». Физический обзор . 35 (5): 461–477. Бибкод : 1930PhRv...35..461O . дои : 10.1103/PhysRev.35.461 .

[214] Ван дер Варден Б.Л. (1929). «Спинорный анализ». Новости Гес. Геттинген Матем.-Физ . 1929 : 100–109.

[215] Веблен О. (1933). «Геометрия двухкомпонентных спиноров» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 19 (4): 462–474. Бибкод : 1933ПНАС...19..462В . дои : 10.1073/pnas.19.4.462 . ПМК 1086023 . ПМИД 16577541 .

[Dirac-219] Дирак, ПАМ (1939). «Новая система обозначений квантовой механики» . Математические труды Кембриджского философского общества . 35 (3): 416–418. Бибкод : 1939PCPS...35..416D . дои : 10.1017/S0305004100021162 . S2CID 121466183 .

[Grassmann-220] Х. Грассман (1862). Теория расширения . История источников по математике. Американское математическое общество, Лондонское математическое общество, перевод Ллойда К. Канненберга, 2000 г.

[221] Вайнберг, Стивен (1964), Квантовая теория полей, Том 2 , Издательство Кембриджского университета, 1995, с. 358, ISBN 0-521-55001-7

[nobel65-226] «Нобелевская премия по физике 1965 года» . Нобелевский фонд . Проверено 9 октября 2008 г.

[229] С. Л. Глэшоу (1961). «Частичные симметрии слабых взаимодействий». Ядерная физика . 22 (4): 579–588. Бибкод : 1961NucPh..22..579G . дои : 10.1016/0029-5582(61)90469-2 .

[230] С. Вайнберг (1967). «Модель лептонов» . Письма о физических отзывах . 19 (21): 1264–1266. Бибкод : 1967PhRvL..19.1264W . дои : 10.1103/PhysRevLett.19.1264 .

[231] А. Салам (1968). Н. Свартхольм (ред.). Физика элементарных частиц: релятивистские группы и аналитичность . Восьмой Нобелевский симпозиум . Стокгольм: Альмкувист и Викселл . п. 367.

[232] Ф. Энглерт; Р. Браут (1964). «Нарушенная симметрия и масса калибровочных векторных мезонов» . Письма о физических отзывах . 13 (9): 321–323. Бибкод : 1964PhRvL..13..321E . дои : 10.1103/PhysRevLett.13.321 .

[233] П.В. Хиггс (1964). «Нарушенные симметрии и массы калибровочных бозонов» . Письма о физических отзывах . 13 (16): 508–509. Бибкод : 1964PhRvL..13..508H . doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .

[234] Г.С. Гуральник; Ч.Р. Хаген; TWB Киббл (1964). «Глобальные законы сохранения и безмассовые частицы» . Письма о физических отзывах . 13 (20): 585–587. Бибкод : 1964PhRvL..13..585G . дои : 10.1103/PhysRevLett.13.585 .

[235] ttp://www.physicals.drexel.edu/~vkasli/phys676/Notes%20for%20a%20brief%20history%20of%20quantum%20gradity%20-%20Carlo%20Rovelli.pdf ^{[ пустой URL PDF ]}

[236] Бурбаки, Николя (1972). «Вселенная» . Ин Артин, Майкл ; Гротендик, Александр ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - вып. 1 (Конспекты лекций по математике 269 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 185–217.

[237] Ф. Дж. Хасерт; и др. (1973). «Поиски упругого рассеяния электронов мюон-нейтрино». Буквы по физике Б. 46 (1): 121. Бибкод : 1973PhLB...46..121H . дои : 10.1016/0370-2693(73)90494-2 .

[238] Ф. Дж. Хасерт; и др. (1973). «Наблюдение нейтриноподобных взаимодействий без мюона или электрона в эксперименте с нейтрино Гаргамеллы». Буквы по физике Б. 46 (1): 138. Бибкод : 1973PhLB...46..138H . дои : 10.1016/0370-2693(73)90499-1 .

[239] Ф. Дж. Хасерт; и др. (1974). «Наблюдение нейтриноподобных взаимодействий без мюона или электрона в нейтринном эксперименте Гаргамеля». Ядерная физика Б . 73 (1): 1. Бибкод : 1974NuPhB..73....1H . дои : 10.1016/0550-3213(74)90038-8 .

[240] Д. Хайдт (4 октября 2004 г.). «Открытие слабых нейтральных токов» . ЦЕРН Курьер . Проверено 8 мая 2008 г.

[241] «Главная страница» .

[242] Канделас, П. (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика Б . 258 : 46–74. Бибкод : 1985НуФБ.258...46С . дои : 10.1016/0550-3213(85)90602-9 .

[244] Де Феличе, Ф.; Кларк, CJS (1990), Относительность искривленных многообразий , с. 133

[245] «Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий» В.Г. Тураева (1994), стр. 71

[249] Писански, Томаж ; Серватиус, Бриджит (2013), «2.3.2 Кубические графы и нотация LCF», Конфигурации с графической точки зрения , Springer, стр. 32, ISBN 978-0-8176-8364-1

[250] Фрухт, Р. (1976), «Каноническое представление трехвалентных гамильтоновых графов», Journal of Graph Theory , 1 (1): 45–60, doi : 10.1002/jgt.3190010111

[251] Фрели 2002:89; Хангерфорд 1997: 230

[252] Ден, Эдгар. Алгебраические уравнения, Дувр. 19:30:19

[253] «Умножающий пуансон IBM 601» . Колумбия.edu . Проверено 24 июня 2014 г.

[254] «Взаимосвязанное оборудование с перфокартами» . Колумбия.edu. 24 октября 1935 года . Проверено 24 июня 2014 г.

[255] Труды Лондонского математического общества 42 (2)

[258] Кук, Стивен (1971). «Сложность процедур доказательства теорем» . Труды третьего ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . стр. 151–158. дои : 10.1145/800157.805047 . ISBN 978-1-4503-7464-4 . S2CID 7573663 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[примечание 1]

[7]

[примечание 2]

[примечание 3]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[примечание 4]

[примечание 5]

[14]

[15]

[16]

[примечание 6]

[17]

[18]

[19]

[20]

[примечание 7]

[примечание 8]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[примечание 9]

[29]

[30]

[примечание 10]

[примечание 11]

[31]

[32]

[примечание 12]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[примечание 13]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[примечание 14]

[46]

[47]

[примечание 15]

[48]

[примечание 16]

[49]

[примечание 17]

[примечание 18]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[примечание 19]

[58]

[59]

[60]

[61]

[примечание 20]

[62]

[примечание 21]

[примечание 22]

[63]

[примечание 23]

[примечание 24]

[64]

[примечание 25]

[65]

[66]

[67]

[примечание 26]

[68]

[примечание 27]

[примечание 28]

[примечание 29]

[примечание 30]

[примечание 31]

[примечание 32]

v т и История математики ( хронология )
By topic	Algebra timeline Algorithms timeline Arithmetic timeline Calculus timeline Grandi's series Category theory timeline Topos theory Combinatorics Functions Logarithms Geometry Trigonometry timeline Group theory Information theory timeline Logic timeline Math notation Number theory timeline Statistics timeline Probability Topology Manifolds timeline Separation axioms
Numeral systems	Prehistoric Ancient Hindu-Arabic
By ancient cultures	Mesopotamia Ancient Egypt Ancient Greece China India Medieval Islamic world
Controversies	Brouwer–Hilbert Over Cantor's theory Leibniz–Newton Hobbes–Wallis
Other	Women in mathematics timeline Approximations of π timeline Future of mathematics
Category