оператор Аламберта

В специальной теории относительности , электромагнетизме и волновой теории ( оператор Даламбера обозначается рамкой: $\Box$ ), также называемый оператором Даламбера , волновым оператором , оператором ящика или иногда оператором кваблы ^[1]( ср . символ набла ) — оператор Лапласа пространства Минковского . Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Рона Даламбера .

В пространстве Минковского в стандартных координатах $(t, x, y, z)$ он имеет вид

{\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}

Здесь $\nabla ^{2}:=\Delta$ — трехмерный лапласиан , а $η примечание$ — обратная метрика Минковского с

\eta _{00}=1

,

\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1

,

\eta _{\mu \nu }=0

для

\mu \neq \nu

.

Обратите внимание, что $индексы суммирования µ$ и $ν$ варьируются от 0 до 3: см. обозначения Эйнштейна .

(Некоторые авторы альтернативно используют отрицательную метрическую сигнатуру ( − + + +) с $\eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1$ .)

Преобразования Лоренца оставляют метрику Минковского инвариантной, поэтому даламбериан дает скаляр Лоренца . Приведенные выше координатные выражения остаются действительными для стандартных координат в каждой инерциальной системе отсчета.

Символ прямоугольника и альтернативные обозначения [ править ]

Существуют различные обозначения даламбериана. Наиболее распространенными являются коробки символ $\Box$ ( Юникод : U + 2610 ☐ ЯЩИКА ДЛЯ БЮЛЛЕТЕНЕЙ ), четыре стороны которой представляют четыре измерения пространства-времени и квадрата. символ $\Box ^{2}$ который подчеркивает скалярное свойство посредством квадрата члена (очень похоже на лапласиан ). В соответствии с треугольным обозначением лапласиана иногда $\Delta _{M}$ используется.

Другой способ записать даламбериан в плоских стандартных координатах: $\partial ^{2}$ . Это обозначение широко используется в квантовой теории поля , где частные производные обычно индексируются, поэтому отсутствие индекса с квадратом частной производной сигнализирует о наличии даламбериана.

Иногда символ прямоугольника используется для обозначения четырехмерной ковариантной производной Леви-Чивита . Символ $\nabla$ затем используется для представления пространственных производных, но это зависит от координатной карты .

Приложения [ править ]

Волновое уравнение малых колебаний имеет вид

\Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,

где $u (x, t)$ - смещение.

Волновое уравнение электромагнитного поля в вакууме имеет вид

\Box A^{\mu }=0

где $ м$ — электромагнитный четырехпотенциал в калибровке Лоренца .

Уравнение Клейна –Гордона имеет вид

\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0~.

Функция Грина [ править ]

Грина Функция , $G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ , поскольку даламбериан определяется уравнением

\Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)

где $\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ – многомерная дельта-функция Дирака и ${\tilde {x}}$ и ${\tilde {x}}'$ две точки пространства Минковского.

Специальное решение дает запаздывающая функция Грина , которая соответствует распространению сигнала только вперед во времени. ^[2]

G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)

где $\Theta$ – ступенчатая функция Хевисайда .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Бартельманн, Матиас; Фейербахер, Бьёрн; Крюгер, Тимм; Похоть, Дитер; Ребхан, Антон; Випф, Андреас (2015). Теоретическая физика (изд. 2015 г.). Берлин, Гейдельберг. ISBN 978-3-642-54618-1 . OCLC 899608232 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ С. Сиклос. «Причинная функция Грина для волнового уравнения» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 ноября 2016 года . Проверено 2 января 2013 г.

Внешние ссылки [ править ]

«Оператор Даламбера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Пуанкаре, Анри (1906). Перевод: О динамике электрона (июль) – через Wikisource . , первоначально напечатанный в Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo .
Вайсштейн, Эрик В. «Д'Аламбертян» . Математический мир .

[1] Бартельманн, Матиас; Фейербахер, Бьёрн; Крюгер, Тимм; Похоть, Дитер; Ребхан, Антон; Випф, Андреас (2015). Теоретическая физика (изд. 2015 г.). Берлин, Гейдельберг. ISBN 978-3-642-54618-1 . OCLC 899608232 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[2] С. Сиклос. «Причинная функция Грина для волнового уравнения» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 ноября 2016 года . Проверено 2 января 2013 г.

[1]

[2]