оператор Даламбера

Не путать с принципом Даламбера или уравнением Даламбера .

В специальной теории относительности , электромагнетизме и волновой теории оператор Даламбера (обозначается рамкой: $\Box$), также называемый оператором Даламбера , волновым оператором , оператором ящика или иногда оператором кваблы ( ср . символ набла ) — оператор Лапласа пространства Минковского . Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Рона Даламбера .

В пространстве Минковского в стандартных координатах ( t , x , y , z ) он имеет вид

${\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}$

Здесь $\nabla ^{2}:=\Delta$ — трехмерный лапласиан , а η ^{примечание} — обратная метрика Минковского с

$\eta _{00}=1$, $\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1$, $\eta _{\mu \nu }=0$ для $\mu \neq \nu$.

Обратите внимание, что индексы суммирования µ и ν варьируются от 0 до 3: см. обозначения Эйнштейна .

(Некоторые авторы альтернативно используют отрицательную метрическую сигнатуру ( − + + +) с $\eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1$.)

Преобразования Лоренца оставляют метрику Минковского инвариантной, поэтому даламбериан дает скаляр Лоренца . Приведенные выше координатные выражения остаются действительными для стандартных координат в каждой инерциальной системе отсчета.

Символ прямоугольника и альтернативные обозначения

Существуют различные обозначения даламберианца. Наиболее распространенными являются коробки символ $\Box$ ( Юникод : U + 2610 ☐ ЯЩИКА ДЛЯ БЮЛЛЕТЕНЕЙ ), четыре стороны которой представляют четыре измерения пространства-времени и квадрата. символ $\Box ^{2}$ который подчеркивает скалярное свойство посредством квадрата члена (очень похоже на лапласиан ). В соответствии с треугольным обозначением лапласиана иногда $\Delta _{M}$ используется.

Другой способ записать даламбериан в плоских стандартных координатах: $\partial ^{2}$. Это обозначение широко используется в квантовой теории поля , где частные производные обычно индексируются, поэтому отсутствие индекса с квадратом частной производной сигнализирует о наличии даламбериана.

Иногда символ прямоугольника используется для обозначения четырехмерной ковариантной производной Леви-Чивита . Символ $\nabla$ затем используется для представления пространственных производных, но это зависит от координатной карты .

Приложения

Волновое уравнение малых колебаний имеет вид

$\Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,$

где u ( x , t ) - смещение.

Волновое уравнение электромагнитного поля в вакууме имеет вид

$\Box A^{\mu }=0$

где А ^м — электромагнитный четырехпотенциал в калибровке Лоренца .

Уравнение Клейна–Гордона имеет вид

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0~.$

Функция Грина

Грина Функция , $G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$, поскольку даламбериан определяется уравнением

$\Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$

где $\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ – многомерная дельта-функция Дирака и ${\tilde {x}}$ и ${\tilde {x}}'$ две точки пространства Минковского.

Специальное решение дает запаздывающая функция Грина , которая соответствует распространению сигнала только вперед во времени.

$G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

где $\Theta$ – ступенчатая функция Хевисайда .

См. также

• Четырехградиентный
• формула Даламбера
• Уравнение Клейна – Гордона
• Релятивистская теплопроводность
• Фигурное исчисление
• Волновое уравнение
• Одностороннее волновое уравнение

Внешние ссылки

• «Оператор Даламбера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Пуанкаре, Анри (1906). Перевод: О динамике электрона (июль)   – через Wikisource . , первоначально напечатано в «Отчетах Математического цирка Палермо» .
• Вайсштейн, Эрик В. «Д'Аламбертян» . Математический мир .