Релятивистская теплопроводность

Релятивистская теплопроводность относится к моделированию теплопроводности (и подобных диффузионных процессов) способом, совместимым со специальной теорией относительности . В специальной (и общей ) теории относительности обычное уравнение теплопроводности для нерелятивистской теплопроводности должно быть изменено, поскольку оно приводит к распространению сигнала со скоростью, превышающей скорость света. Таким образом, релятивистская теплопроводность включает в себя набор моделей распространения тепла в непрерывных средах (твердых телах, жидкостях, газах), которые согласуются с релятивистской причинностью , а именно с принципом, согласно которому эффект должен находиться внутри светового конуса, связанного с его причиной. Любая разумная релятивистская модель теплопроводности также должна быть стабильной в том смысле, что различия в температуре распространяются медленнее, чем свет, и затухают со временем (это свойство стабильности тесно переплетено с релятивистской причинностью). ).

Параболическая модель (нерелятивистская)

Теплопроводность в ньютоновском контексте моделируется уравнением Фурье : а именно параболическое уравнение в частных производных типа: $${\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\alpha ~\nabla ^{2}\theta ,$$где θ — температура , t — время , α = k /( ρ c ) — температуропроводность , k — теплопроводность , ρ — плотность и c — удельная теплоемкость . Оператор Лапласа , ${\textstyle \nabla ^{2}}$, определяется в декартовых координатах как $$\nabla ^{2}~=~{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$$

Это уравнение Фурье можно получить, заменив линейную аппроксимацию Фурье вектора теплового потока q как функцию температурного градиента: $$\mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,$$в первый закон термодинамики $$\rho ~c~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~+~\nabla \cdot \mathbf {q} ~=~0,$$где оператор del , ∇, определяется в 3D как $$\nabla ~=~\mathbf {i} ~{\frac {\partial }{\partial x}}~+~\mathbf {j} ~{\frac {\partial }{\partial y}}~+~\mathbf {k} ~{\frac {\partial }{\partial z}}.$$

Можно показать, что это определение вектора теплового потока также удовлетворяет второму закону термодинамики: $$\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{\theta }}\right)~+~\rho ~{\frac {\partial s}{\partial t}}~=~\sigma ,$$где s — удельная энтропия , а σ — производство энтропии . Эта математическая модель несовместима со специальной теорией относительности: функция Грина , связанная с уравнением теплопроводности (также известная как тепловое ядро ), имеет поддержку, выходящую за пределы светового конуса , что приводит к распространению информации со скоростью, превышающей скорость света. Например, рассмотрим импульс тепла в источнике; тогда, согласно уравнению Фурье, оно ощущается (т.е. изменение температуры) в любой удаленной точке мгновенно. Скорость распространения тепла превышает скорость света в вакууме, что недопустимо в рамках теории относительности.

Гиперболическая модель (релятивистская)

Параболическая модель теплопроводности, обсуждавшаяся выше, показывает, что уравнение Фурье (и более общий закон диффузии Фика ) несовместимо с теорией относительности. по крайней мере по одной причине: оно допускает бесконечную скорость распространения поля континуума (в данном случае: тепла или температурных градиентов). Чтобы преодолеть это противоречие, такие рабочие, как Карло Каттанео , Ночь, Честер, и другие предложил преобразовать уравнение Фурье из параболической формы в гиперболическую , где n, поле температуры $\theta$ регулируется: $${\frac {1}{C^{2}}}~{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}~+~{\frac {1}{\alpha }}~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\nabla ^{2}\theta .$$

В этом уравнении C называется скоростью второго звука (которая связана с возбуждениями и квазичастицами , такими как фононы ). Это уравнение известно как уравнение « гиперболической теплопроводности» (HHC). Математически приведенное уравнение называется «телеграфным уравнением», так как оно формально эквивалентно уравнениям телеграфиста , которые можно вывести из Максвелла уравнений электродинамики .

Чтобы уравнение HHC оставалось совместимым с первым законом термодинамики, необходимо изменить определение вектора теплового потока q , чтобы $$\tau _{_{0}}~{\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}~+~\mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,$$ где ${\textstyle \tau _{_{0}}}$ это время релаксации , такое, что ${\textstyle C^{2}~=~\alpha /\tau _{_{0}}.}$ Это уравнение для теплового потока часто называют «уравнением Максвелла-Каттанео». Наиболее важным следствием гиперболического уравнения является то, что при переходе от параболического ( диссипативного ) к гиперболическому (включает консервативный член) дифференциальному уравнению в частных производных возникает возможность возникновения таких явлений, как тепловой резонанс. и тепловые ударные волны .