Производство энтропии

Производство (или генерирование) энтропии — это количество энтропии, которая производится во время теплового процесса для оценки эффективности процесса.

Краткая история

Энтропия возникает в необратимых процессах. Важность предотвращения необратимых процессов (следовательно, уменьшения производства энтропии) была признана еще в 1824 году Карно. ^[1] В 1865 году Рудольф Клаузиус расширил свою предыдущую работу 1854 года. ^[2] на концепции «unkompensierte Verwandlungen» (некомпенсированных преобразований), которые в нашей современной номенклатуре можно было бы назвать производством энтропии. В той же статье, в которой он ввел название «энтропия», ^[3] Клаузиус дает выражение для производства энтропии для циклического процесса в закрытой системе, которое он обозначает N , в уравнении (71), которое читается как

N=S-S_{0}-\int {\frac {dQ}{T}}.

Здесь S — энтропия в конечном состоянии, S ₀ — энтропия в начальном состоянии; S ₀ -S – разность энтропии обратной части процесса. Интеграл должен быть взят от начального состояния к конечному состоянию, давая разность энтропии для прямой части процесса. Из контекста ясно, что N = 0 , если процесс обратимый, и N > 0, если процесс необратимый.

Первый и второй закон

Законы термодинамики системы применимы к четко определенным системам. Рис. 1 представляет собой общее представление термодинамической системы. Мы рассматриваем системы, которые, вообще говоря, неоднородны. Через границы (неадиабатические, открытые системы) передаются тепло и масса, а границы движутся (обычно посредством поршней). В нашей формулировке мы предполагаем, что тепломассоперенос и изменение объема происходят только отдельно на четко определенных участках границы системы. Приведенные здесь выражения не являются наиболее общими формулировками первого и второго закона. Например, термины кинетической и потенциальной энергии отсутствуют, а обмен веществ путем диффузии исключен.

Скорость производства энтропии, обозначаемая ${\dot {S}}_{\text{i}}$ , является ключевым элементом второго закона термодинамики для открытых неоднородных систем, который гласит:

{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=\sum _{k}{\frac {{\dot {Q}}_{k}}{T_{k}}}+\sum _{k}{\dot {S}}_{k}+\sum _{k}{\dot {S}}_{{\text{i}}k}{\text{   with  }}{\dot {S}}_{{\text{i}}k}\geq 0.

Здесь S — энтропия системы; T _k – температура, при которой тепло поступает в систему с расходом теплоты ${\dot {Q}}_{k}$ ; ${\dot {S}}_{k}={\dot {n}}_{k}S_{{\text{m}}k}={\dot {m}}_{k}s_{k}$ представляет поток энтропии в систему в позиции k из-за потока материи в систему ( ${\dot {n}}_{k},{\dot {m}}_{k}$ – молярный расход и массовый расход, а S _{m k} и s _k – молярная энтропия (т. е. энтропия на единицу количества вещества ) и удельная энтропия (т. е. энтропия на единицу массы) вещества, поступающего в систему соответственно) ; ${\dot {S}}_{{\text{i}}k}$ представляет скорость производства энтропии за счет внутренних процессов. Индекс «я» в ${\dot {S}}_{{\text{i}}k}$ относится к тому факту, что энтропия производится за счет необратимых процессов. Скорость производства энтропии каждого процесса в природе всегда положительна или равна нулю. Это существенный аспект второго закона.

Знаки Σ обозначают алгебраическую сумму соответствующих вкладов, если имеется больше потоков тепла, потоков вещества и внутренних процессов.

Чтобы продемонстрировать влияние второго закона и роль производства энтропии, его необходимо объединить с первым законом, который гласит:

{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=\sum _{k}{\dot {Q}}_{k}+\sum _{k}{\dot {H}}_{k}-\sum _{k}p_{k}{\frac {\mathrm {d} V_{k}}{\mathrm {d} t}}+P,

где U — внутренняя энергия системы; ${\dot {H}}_{k}={\dot {n}}_{k}H_{{\text{m}}k}={\dot {m}}_{k}h_{k}$ энтальпия V поступает в систему за счет вещества, которое поступает в систему ( H _{m k -} ее молярная энтальпия, h _{k -} удельная энтальпия (т.е. энтальпия на единицу массы)), а d k _/ d t - скорости изменения объем системы из-за движущейся границы в положении k, а p _k - давление за этой границей; P представляет все другие формы применения энергии (например, электрические).

Первый и второй законы были сформулированы в терминах производных по времени от U и S , а не в терминах полных дифференциалов d U и d S , где молчаливо предполагается, что d t > 0. Таким образом, формулировка в терминах производных по времени имеет вид более элегантный. Однако еще большим преимуществом этой формулировки является то, что она подчеркивает, что скорость теплового потока и мощность являются основными термодинамическими свойствами, а теплота и работа являются производными величинами, являющимися интегралами по времени от скорости теплового потока и мощности соответственно.

Примеры необратимых процессов

Энтропия возникает в необратимых процессах . Некоторые важные необратимые процессы:

поток тепла через тепловое сопротивление
поток жидкости через сопротивление потоку, например, при расширении Джоуля или эффекте Джоуля-Томсона
теплопередача
Джоулево отопление
трение между твердыми поверхностями
вязкость жидкости внутри системы.

Выражение для скорости производства энтропии в первых двух случаях будет выведено в отдельных разделах.

Производительность тепловых двигателей и холодильников

Большинство тепловых двигателей и холодильников представляют собой машины замкнутого цикла. ^[4] В установившемся режиме внутренняя энергия и энтропия машин после одного цикла такие же, как и в начале цикла. Следовательно, в среднем d U /d t = 0 и d S /d t = 0, поскольку U и S являются функциями состояния. Кроме того, это закрытые системы ( ${\dot {n}}=0$ ) и объем фиксирован (d V /d t = 0). Это приводит к существенному упрощению первого и второго закона:

0=\sum _{k}{\dot {Q}}_{k}+P

и

0=\sum _{k}{\frac {{\dot {Q}}_{k}}{T_{k}}}+{\dot {S}}_{\text{i}}.

Суммирование производится по (двум) местам, где тепло добавляется или отводится.

Двигатели

Для тепловой машины (рис. 2а) первый и второй законы приобретают вид

0={\dot {Q}}_{\text{H}}-{\dot {Q}}_{\text{a}}-P

и

0={\frac {{\dot {Q}}_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}-{\frac {{\dot {Q}}_{\text{a}}}{T_{\text{a}}}}+{\dot {S}}_{\text{i}}.

Здесь ${\dot {Q}}_{\text{H}}$ – тепло, подаваемое при высокой температуре T _H , ${\dot {Q}}_{\text{a}}$ – тепло, отводимое при температуре окружающей среды T _a , а P – мощность, вырабатываемая двигателем. Устранение ${\dot {Q}}_{\text{a}}$ дает

P={\frac {T_{\text{H}}-T_{\text{a}}}{T_{\text{H}}}}{\dot {Q}}_{\text{H}}-T_{\text{a}}{\dot {S}}_{\text{i}}.

Эффективность определяется

\eta ={\frac {P}{{\dot {Q}}_{\text{H}}}}.

Если ${\dot {S}}_{\text{i}}=0$ производительность двигателя максимальна, а КПД равен КПД Карно.

\eta _{\text{C}}={\frac {T_{\text{H}}-T_{\text{a}}}{T_{\text{H}}}}.

Холодильники

Для холодильников (рис. 2б) имеет место

0={\dot {Q}}_{\text{L}}-{\dot {Q}}_{\text{a}}+P

и

0={\frac {{\dot {Q}}_{\text{L}}}{T_{\text{L}}}}-{\frac {{\dot {Q}}_{\text{a}}}{T_{\text{a}}}}+{\dot {S}}_{\text{i}}.

Здесь P — мощность, подаваемая для производства охлаждающей мощности. ${\dot {Q}}_{\text{L}}$ при низкой температуре T _L . Устранение ${\dot {Q}}_{\text{a}}$ теперь дает

{\dot {Q}}_{\text{L}}={\frac {T_{\text{L}}}{T_{\text{a}}-T_{\text{L}}}}(P-T_{\text{a}}{\dot {S}}_{\text{i}}).

Коэффициент производительности холодильников определяется по формуле

\xi ={\frac {{\dot {Q}}_{\text{L}}}{P}}.

Если ${\dot {S}}_{\text{i}}=0$ Производительность кулера на максимуме. Тогда COP определяется коэффициентом производительности Карно.

\xi _{\text{C}}={\frac {T_{\text{L}}}{T_{\text{a}}-T_{\text{L}}}}.

Рассеяние мощности

В обоих случаях мы находим вклад $T_{\text{a}}{\dot {S}}_{\text{i}}$ что снижает производительность системы. Это произведение температуры окружающей среды и (средней) скорости производства энтропии. $P_{\text{diss}}=T_{\text{a}}{\dot {S}}_{\text{i}}$ называется рассеиваемой мощностью.

Эквивалентность с другими составами

Интересно исследовать, как приведенная выше математическая формулировка второго закона соотносится с другими известными формулировками второго закона.

Сначала рассмотрим тепловую машину, полагая, что ${\dot {Q}}_{\text{a}}=0$ . Другими словами: скорость теплового потока ${\dot {Q}}_{\text{H}}$ полностью преобразуется в энергию. В этом случае второй закон сводится к

0={\frac {{\dot {Q}}_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}+{\dot {S}}_{\text{i}}.

С ${\dot {Q}}_{\text{H}}\geq 0$ и $T_{\text{H}}>0$ это приведет к ${\dot {S}}_{\text{i}}\leq 0$ что нарушает условие, что производство энтропии всегда положительно. Следовательно: невозможен процесс, единственным результатом которого является поглощение тепла из резервуара и полное его превращение в работу. Это утверждение Кельвина второго закона.

Теперь посмотрим на корпус холодильника и предположим, что входная мощность равна нулю. Другими словами: тепло передается от низкой температуры к высокой температуре без совершения работы в системе. Первый закон с P = 0 дал бы

{\dot {Q}}_{\text{L}}={\dot {Q}}_{\text{a}}

и тогда второй закон дает

0={\frac {{\dot {Q}}_{\text{L}}}{T_{\text{L}}}}-{\frac {{\dot {Q}}_{\text{L}}}{T_{\text{a}}}}+{\dot {S}}_{\text{i}}

или

{\dot {S}}_{\text{i}}={\dot {Q}}_{\text{L}}\left({\frac {1}{T_{\text{a}}}}-{\frac {1}{T_{\text{L}}}}\right).

С ${\dot {Q}}_{\text{L}}\geq 0$ и $T_{\text{a}}>T_{\text{L}}$ это приведет к ${\dot {S}}_{\text{i}}\leq 0$ что снова нарушает условие, согласно которому производство энтропии всегда положительно. Следовательно: невозможен процесс, единственным результатом которого является передача тепла от тела с более низкой температурой к телу с более высокой температурой. Это формулировка Клаузиуса второго закона.

Выражения для производства энтропии

Тепловой поток

При скорости теплового потока ${\dot {Q}}$ от Т ₁ до Т ₂ (с $T_{1}\geq T_{2}$ ) скорость производства энтропии определяется выражением

{\dot {S}}_{\text{i}}={\dot {Q}}\left({\frac {1}{T_{2}}}-{\frac {1}{T_{1}}}\right).

Если тепловой поток находится в стержне длиной L , площадью поперечного сечения A и теплопроводностью κ , а разница температур невелика

{\dot {Q}}=\kappa {\frac {A}{L}}(T_{1}-T_{2})

скорость производства энтропии

{\dot {S}}_{\text{i}}=\kappa {\frac {A}{L}}{\frac {(T_{1}-T_{2})^{2}}{T_{1}T_{2}}}.

Поток массы

В случае объемного расхода ${\dot {V}}$ от давления p ₁ до p ₂

{\dot {S}}_{\text{i}}=-\int _{p_{1}}^{p_{2}}{\frac {\dot {V}}{T}}\mathrm {d} p.

Для небольших перепадов давления и определения проводимости потока C по формуле ${\dot {V}}=C(p_{1}-p_{2})$ мы получаем

{\dot {S}}_{\text{i}}=C{\frac {(p_{1}-p_{2})^{2}}{T}}.

Зависимости ${\dot {S}}_{\text{i}}$ на T ₁ − T ₂ и на p ₁ − p ₂ квадратичны.

Это характерно для выражений темпов производства энтропии в целом. Они гарантируют, что производство энтропии положительно.

Энтропия смешения

В этом разделе мы рассчитаем энтропию смешения при диффузии двух идеальных газов друг в друга. Рассмотрим объем V _t, на два объема Va _{разделенный} и V _b что V _t = Va _{так ,} + V _b . Объем V _a содержит количество вещества n _a идеального газа a, а V _b содержит количество вещества n _b газа b. Общее количество вещества равно n _t = n _a + n _b . Температура и давление в двух объемах одинаковы. Энтропия в начале определяется выражением

S_{\text{t1}}=S_{\text{a1}}+S_{\text{b1}}.

Когда разделение между двумя газами устраняется, два газа расширяются, что сравнимо с расширением Джоуля-Томсона. В конечном состоянии температура такая же, как и первоначально, но оба газа теперь оба занимают объем V _t . Отношение энтропии количества вещества n идеального газа есть

S=nC_{\text{V}}\ln {\frac {T}{T_{0}}}+nR\ln {\frac {V}{V_{0}}}

где C _V — молярная теплоемкость при постоянном объеме, а R — молярная газовая постоянная.Система представляет собой адиабатическую закрытую систему, поэтому прирост энтропии при смешивании двух газов равен производству энтропии. Это дано

S_{\Delta }=S_{\text{t2}}-S_{\text{t1}}.

Поскольку начальная и конечная температуры одинаковы, температурные члены сокращаются, остаются только объемные члены. Результат

S_{\Delta }=n_{\text{a}}R\ln {\frac {V_{\text{t}}}{V_{\text{a}}}}+n_{\text{b}}R\ln {\frac {V_{\text{t}}}{V_{\text{b}}}}.

Вводя концентрацию x = n _a / n _t = V _a / V _t, приходим к известному выражению

S_{\Delta }=-n_{\text{t}}R[x\ln x+(1-x)\ln(1-x)].

Джоулево расширение

аналогично Расширение Джоуля описанному выше смешиванию. Оно происходит в адиабатической системе, состоящей из газа и двух жестких сосудов a и b одинакового объема, соединенных клапаном. Первоначально клапан закрыт. В сосуде а находится газ, а в другом сосуде б пусто. Когда клапан открыт, газ перетекает из сосуда А в сосуд В до тех пор, пока давления в двух сосудах не станут равными. Объем, занимаемый газом, увеличивается вдвое, а внутренняя энергия системы постоянна (адиабатическая и работа не совершается). Предполагая, что газ идеален, молярная внутренняя энергия равна U _m = C _V T . Поскольку C _V является постоянным, константа означает константу T. U Молярная энтропия идеального газа как функция молярного объема V _m и T определяется выражением

S_{\text{m}}=C_{\text{V}}\ln {\frac {T}{T_{0}}}+R\ln {\frac {V_{\text{m}}}{V_{0}}}.

Система, состоящая из двух сосудов и газа, является замкнутой и адиабатической, поэтому производство энтропии в ходе процесса равно увеличению энтропии газа. Таким образом, удвоение объема с постоянной Т дает то, что произведенная молярная энтропия равна

S_{\text{mi}}=R\ln 2.

Микроскопическая интерпретация

Расширение Джоуля дает возможность объяснить производство энтропии в статистико-механических (т. е. микроскопических) терминах. При расширении объем, который может занять газ, увеличивается вдвое. Это означает, что для каждой молекулы теперь есть две возможности: ее можно поместить в контейнер a или b. газе содержится количество вещества n , то число молекул равно n ⋅ NA _{Если в} , где NA _— Авогадро постоянная . Число микроскопических возможностей увеличивается в 2 раза на молекулу за счет удвоения объема, так что в общей сложности этот коэффициент равен 2. ^{n ⋅ N _A}. Используя известное выражение Больцмана для энтропии

S=k\ln \Omega ,

где k — постоянная Больцмана, а Ω — число микроскопических возможностей реализации макроскопического состояния. Это приводит к изменению молярной энтропии

S_{{\text{m}}\Delta }=S_{\Delta }/n=k\ln(2^{n\cdot N_{\text{A}}})/n=kN_{\text{A}}\ln 2=R\ln 2.

Итак, в необратимом процессе число микроскопических возможностей реализации макроскопического состояния увеличивается в некоторый раз.

Основные неравенства и условия устойчивости

В этом разделе мы выведем основные неравенства и условия устойчивости замкнутых систем. Для закрытых систем первый закон сводится к

{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}-p{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}+P.

Второй закон мы запишем как

{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\dot {Q}}{T}}\geq 0.

Для адиабатических систем ${\dot {Q}}=0$ так что d S /d t ≥ 0 . Другими словами: энтропия адиабатических систем не может уменьшаться. В состоянии равновесия энтропия максимальна. Изолированные системы являются частным случаем адиабатических систем, поэтому это утверждение справедливо и для изолированных систем.

Теперь рассмотрим системы с постоянными температурой и объемом . В большинстве случаев T — это температура окружающей среды, с которой система находится в хорошем тепловом контакте. Поскольку V постоянно, первый закон дает ${\dot {Q}}=\mathrm {d} U/\mathrm {d} t-P$ . Подстановка во втором законе и использование того факта, что T постоянно, дает

{\frac {\mathrm {d} (TS)}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}+P\geq 0.

Со свободной энергией Гельмгольца, определяемой как

F=U-TS,

мы получаем

{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}-P\leq 0.

Если P = 0, это математическая формулировка общего свойства, согласно которому свободная энергия систем с фиксированными температурой и объемом стремится к минимуму. Выражение можно проинтегрировать от начального состояния i до конечного состояния f, в результате чего получим

W_{\text{S}}\leq F_{\text{i}}-F_{\text{f}}

где W _S — работа, совершенная системой . Если процесс внутри системы полностью обратим, знак равенства сохраняется. Следовательно, максимальная работа, которую можно извлечь из системы, равна свободной энергии начального состояния минус свободная энергия конечного состояния.

Наконец, мы рассматриваем системы с постоянными температурой и давлением и принимаем P = 0 . Поскольку p постоянно, первые законы дают

{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}-{\frac {\mathrm {d} (pV)}{\mathrm {d} t}}.

В сочетании со вторым законом и использованием того, что T постоянно, дает

{\frac {\mathrm {d} (TS)}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} (pV)}{\mathrm {d} t}}\geq 0.

Со свободной энергией Гиббса, определяемой как

G=U+pV-TS,

мы получаем

{\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}\leq 0.

Гомогенные системы

В гомогенных системах температура и давление четко определены, а все внутренние процессы обратимы. Следовательно ${\dot {S}}_{\text{i}}=0$ . В результате второй закон, умноженный на T , сводится к

T{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}+{\dot {n}}TS_{\text{m}}.

При P = 0 первый закон становится

{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}+{\dot {n}}H_{\text{m}}-p{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}.

Устранение ${\dot {Q}}$ и умножение на d t дает

\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+(H_{\text{m}}-TS_{\text{m}})\mathrm {d} n.

С

H_{\text{m}}-TS_{\text{m}}=G_{\text{m}}=\mu

где G _{m —} молярная свободная энергия Гиббса , а μ — молярный химический потенциал, мы получаем хорошо известный результат

\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\mu \mathrm {d} n.

Производство энтропии в случайных процессах

Поскольку физические процессы можно описать случайными процессами, такими как цепи Маркова и диффузионные процессы, производство энтропии в таких процессах можно определить математически. ^[5]

Для цепи Маркова с непрерывным временем и мгновенным распределением вероятностей $p_{i}(t)$ и скорость перехода $q_{ij}$ , мгновенная скорость производства энтропии равна

e_{p}(t)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}[p_{i}(t)q_{ij}-p_{j}(t)q_{ji}]\log {\frac {p_{i}(t)q_{ij}}{p_{j}(t)q_{ji}}}.

Долговременное поведение производства энтропии сохраняется после надлежащего запуска процесса. Этот подход обеспечивает динамическое объяснение утверждения Кельвина и утверждения Клаузиуса второго закона термодинамики. ^[6]

См. также

Ссылки

^ Размышления С. Карно о движущей силе покойного Башелье, Париж, 1824 г.
^ Клаузиус, Р. (1854 г.). «О модифицированной форме второго закона механической теории теплоты» . Анналы физики и химии . 93 (12): 481–506. Бибкод : 1854АнП...169..481С . дои : 10.1002/andp.18541691202 . Проверено 25 июня 2012 г. . Клаузиус, Р. (август 1856 г.). «О модифицированной форме второй основной теоремы механической теории теплоты» . Фил. Маг. 4. 12 (77): 81–98. дои : 10.1080/14786445608642141 . Проверено 25 июня 2012 г.
^ Р. Клаузиус О различных формах основных уравнений механической теории теплоты, удобных для применения в трактатах по использованию удобных форм основных уравнений механической теории теплоты Ann.Phys. [2] 125, 390 (1865). Эта статья переведена, и ее можно найти в книге «Второй закон термодинамики» под редакцией Дж. Кестина, Даудена, Хатчинсона и Росс, Инк., Страудсбург, Пенсильвания, стр. 162–193.
^ ATAM de Waele, Основные принципы работы криохладителей и связанных с ними тепловых машин, Обзорная статья, Журнал физики низких температур, том 164, стр. 179–236, (2011), DOI: 10.1007/s10909-011-0373-x.
^ Цзян, Да-Цюань; Цянь, Мин; Цянь, Мин-Пин (2004). Математическая теория неравновесных стационарных состояний: на рубеже вероятностей и динамических систем . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-40957-1 .
^ Ван, Юэ; Цянь, Хун (2020). «Математическое представление утверждений Клаузиуса и Кельвина о втором законе и необратимости» . Журнал статистической физики . 179 (3): 808–837. arXiv : 1805.09530 . Бибкод : 2020JSP...179..808W . дои : 10.1007/s10955-020-02556-6 . S2CID 254745126 .

Дальнейшее чтение

Крукс, Г. (1999). «Теорема о флуктуациях производства энтропии и неравновесное рабочее соотношение для разностей свободной энергии». Физический обзор E (бесплатный PDF-файл). 60 (3): 2721–2726. arXiv : cond-mat/9901352 . Бибкод : 1999PhRvE..60.2721C . дои : 10.1103/PhysRevE.60.2721 . ПМИД 11970075 . S2CID 1813818 .
Зайферт, Удо (2005). «Производство энтропии по стохастической траектории и теорема об интегральных флуктуациях». Письма о физических обзорах (бесплатный PDF-файл). 95 (4): 040602. arXiv : cond-mat/0503686 . Бибкод : 2005PhRvL..95d0602S . doi : 10.1103/PhysRevLett.95.040602 . ПМИД 16090792 . S2CID 31706268 .

[1] Размышления С. Карно о движущей силе покойного Башелье, Париж, 1824 г.

[2] Клаузиус, Р. (1854 г.). «О модифицированной форме второго закона механической теории теплоты» . Анналы физики и химии . 93 (12): 481–506. Бибкод : 1854АнП...169..481С . дои : 10.1002/andp.18541691202 . Проверено 25 июня 2012 г. . Клаузиус, Р. (август 1856 г.). «О модифицированной форме второй основной теоремы механической теории теплоты» . Фил. Маг. 4. 12 (77): 81–98. дои : 10.1080/14786445608642141 . Проверено 25 июня 2012 г.

[3] Р. Клаузиус О различных формах основных уравнений механической теории теплоты, удобных для применения в трактатах по использованию удобных форм основных уравнений механической теории теплоты Ann.Phys. [2] 125, 390 (1865). Эта статья переведена, и ее можно найти в книге «Второй закон термодинамики» под редакцией Дж. Кестина, Даудена, Хатчинсона и Росс, Инк., Страудсбург, Пенсильвания, стр. 162–193.

[4] ATAM de Waele, Основные принципы работы криохладителей и связанных с ними тепловых машин, Обзорная статья, Журнал физики низких температур, том 164, стр. 179–236, (2011), DOI: 10.1007/s10909-011-0373-x.

[5] Цзян, Да-Цюань; Цянь, Мин; Цянь, Мин-Пин (2004). Математическая теория неравновесных стационарных состояний: на рубеже вероятностей и динамических систем . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-40957-1 .

[6] Ван, Юэ; Цянь, Хун (2020). «Математическое представление утверждений Клаузиуса и Кельвина о втором законе и необратимости» . Журнал статистической физики . 179 (3): 808–837. arXiv : 1805.09530 . Бибкод : 2020JSP...179..808W . дои : 10.1007/s10955-020-02556-6 . S2CID 254745126 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]