Общее уравнение теплопередачи

В гидродинамике общее уравнение теплопередачи представляет собой нелинейное уравнение в частных производных, описывающее удельное производство энтропии в ньютоновской жидкости, подверженной действию теплопроводности и вязких сил : ^[1]^[2]

$\underbrace {\rho T{Ds \over {Dt}}} _{\text{Heat Gain}}=\underbrace {\nabla \cdot (\kappa \nabla T)} _{\text{Thermal Conduction}}+\underbrace {{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}} _{\text{Viscous Dissipation}}$

где $s$ это удельная энтропия, $\rho$ жидкости плотность , $T$ жидкости температура , $D/Dt$ является материальной производной , $\kappa$ - теплопроводность , $\mu$ – динамическая вязкость , $\zeta$ – второй параметр Ламе , ${\bf {v}}$ скорость потока , $\nabla$ — оператор del, используемый для характеристики градиента и дивергенции , и $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Если скорость потока пренебрежимо мала, общее уравнение теплопередачи сводится к стандартному уравнению теплопроводности . Его также можно распространить на вращающиеся стратифицированные потоки , подобные тем, которые встречаются в геофизической гидродинамике . ^[3]

Вывод

Расширение уравнения энергии идеальной жидкости

Для вязкой ньютоновской жидкости основными уравнениями сохранения массы и импульса являются уравнение неразрывности и уравнения Навье-Стокса : ${\begin{aligned}{\partial \rho \over {\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\\rho {D{\bf {v}} \over {Dt}}&=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma \end{aligned}}$ где $p$ это давление и $\sigma$ — тензор вязких напряжений , компоненты тензора вязких напряжений определяются формулами: $\sigma _{ij}=\mu \left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)+\zeta \delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}$ Энергия единицы объема жидкости равна сумме кинетической энергии $\rho v^{2}/2\equiv \rho k$ и внутренняя энергия $\rho \varepsilon$ , где $\varepsilon$ – удельная внутренняя энергия. В идеальной жидкости, описываемой уравнениями Эйлера , сохранение энергии определяется уравнением: ${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)\right]=0$ где $h$ это удельная энтальпия . Однако для сохранения энергии в вязкой жидкости, подверженной теплопроводности, поток энергии за счет адвекции $\rho {\bf {v}}(k+h)$ должен быть дополнен тепловым потоком, определяемым законом Фурье ${\bf {q}}=-\kappa \nabla T$ и поток вследствие внутреннего трения $-\sigma \cdot {\bf {v}}$ . Тогда общее уравнение сохранения энергии имеет вид: ${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\kappa \nabla T-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=0$

Уравнение производства энтропии

Обратите внимание, что термодинамические соотношения для внутренней энергии и энтальпии имеют вид: ${\begin{aligned}\rho d\varepsilon &=\rho Tds+{p \over {\rho }}d\rho \\\rho dh&=\rho Tds+dp\end{aligned}}$ Мы также можем получить уравнение для кинетической энергии, взяв скалярное произведение уравнения Навье-Стокса со скоростью потока ${\bf {v}}$ чтобы дать: $\rho {Dk \over {Dt}}=-{\bf {v}}\cdot \nabla p+v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}$ Второе слагаемое в правой части можно расширить следующим образом: ${\begin{aligned}v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}&={\partial \over {\partial x_{j}}}\left(\sigma _{ij}v_{i}\right)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\&\equiv \nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\end{aligned}}$ С помощью термодинамического соотношения для энтальпии и последнего результата мы можем затем представить уравнение кинетической энергии в виде: $\rho {Dk \over {Dt}}=-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla h+\rho T{\bf {v}}\cdot \nabla s+\nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$ Теперь, разложив производную полной энергии по времени, мы имеем: ${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]=\rho {\partial k \over {\partial t}}+\rho {\partial \varepsilon \over {\partial t}}+(k+\varepsilon ){\partial \rho \over {\partial t}}$ Затем, расширив каждый из этих терминов, мы обнаружим, что: ${\begin{aligned}\rho {\partial k \over {\partial t}}&=-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla k-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla h+\rho T{\bf {v}}\cdot \nabla s+\nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\\rho {\partial \varepsilon \over {\partial t}}&=\rho T{\partial s \over {\partial t}}-{p \over {\rho }}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\(k+\varepsilon ){\partial \rho \over {\partial t}}&=-(k+\varepsilon )\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\end{aligned}}$ И собирая термины, у нас остается: ${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$ Теперь сложив расхождение теплового потока за счет теплопроводности в каждую сторону, получим: ${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\kappa \nabla T-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\nabla \cdot (\kappa \nabla T)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$ Однако мы знаем, что по закону сохранения энергии левая часть равна нулю, что дает нам: $\rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$ Произведение тензора вязких напряжений и градиента скорости можно представить как: ${\begin{aligned}\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}&=\mu \left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right){\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+\zeta \delta _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\nabla \cdot {\bf {v}}\\&={\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}\end{aligned}}$ Это приводит к окончательной форме уравнения для производства удельной энтропии: $\rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}$ В случае отсутствия теплопроводности и сил вязкости уравнение производства энтропии схлопывается до вида $Ds/Dt=0$ - показывая, что поток идеальной жидкости изэнтропичен .

Приложение

Это уравнение выведено в разделе 49, в начале главы «Теплопроводность в жидкостях» шестого тома « Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица Курса теоретической физики» . ^[1] Его можно использовать для измерения теплопередачи и воздушного потока в домашнем холодильнике. ^[4] сделать гармонический анализ регенераторов, ^[5] или понять физику ледников . ^[6]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости (PDF) . Курс теоретической физики . Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 192–194. ISBN 978-0-7506-2767-2 . OCLC 936858705 .
^ Кунду, ПК; Коэн, ИМ; Даулинг, Д.Р. (2012). Механика жидкости (5-е изд.). Академическая пресса. стр. 123–125. ISBN 978-0-12-382100-3 .
^ Педлоски, Дж. (2003). Волны в океане и атмосфере: введение в волновую динамику . Спрингер. п. 19. ISBN 978-3540003403 .
^ Лагер, Онрави (21 мая 2010 г.), Фарид, Мохаммед М. (редактор), «Теплопередача и поток воздуха в домашнем холодильнике» , Математическое моделирование пищевой промышленности (1-е изд.), CRC Press, стр. 453 –482, номер домена : 10.1201/9781420053548-20 , ISBN. 978-0-429-14217-8 , получено 7 мая 2023 г.
^ Свифт, ГВ; Вардт, WC (октябрь – декабрь 1996 г.). «Простой гармонический анализ регенераторов» . Журнал теплофизики и теплопередачи . 10 (4): 652–662. дои : 10.2514/3.842 .
^ Каффи, К.М. (2010). Физика ледников . WSB Патерсон (4-е изд.). Берлингтон, Массачусетс. ISBN 978-0-12-369461-4 . OCLC 488732494 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Дальнейшее чтение

Валлис, ГК (2006). Гидродинамика атмосферы и океана: основы и крупномасштабная циркуляция . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84969-2 .
Йылмаз, Т.; Джихан, Э. (сентябрь 1993 г.). «Общее уравнение теплопередачи при ламинарном течении в каналах произвольного сечения» . Международный журнал тепломассообмена . 36 (13): 3265–3270. дои : 10.1016/0017-9310(93)90009-У . ISSN 0017-9310 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости (PDF) . Курс теоретической физики . Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 192–194. ISBN 978-0-7506-2767-2 . OCLC 936858705 .

[2] Кунду, ПК; Коэн, ИМ; Даулинг, Д.Р. (2012). Механика жидкости (5-е изд.). Академическая пресса. стр. 123–125. ISBN 978-0-12-382100-3 .

[3] Педлоски, Дж. (2003). Волны в океане и атмосфере: введение в волновую динамику . Спрингер. п. 19. ISBN 978-3540003403 .

[4] Лагер, Онрави (21 мая 2010 г.), Фарид, Мохаммед М. (редактор), «Теплопередача и поток воздуха в домашнем холодильнике» , Математическое моделирование пищевой промышленности (1-е изд.), CRC Press, стр. 453 –482, номер домена : 10.1201/9781420053548-20 , ISBN. 978-0-429-14217-8 , получено 7 мая 2023 г.

[5] Свифт, ГВ; Вардт, WC (октябрь – декабрь 1996 г.). «Простой гармонический анализ регенераторов» . Журнал теплофизики и теплопередачи . 10 (4): 652–662. дои : 10.2514/3.842 .

[6] Каффи, К.М. (2010). Физика ледников . WSB Патерсон (4-е изд.). Берлингтон, Массачусетс. ISBN 978-0-12-369461-4 . OCLC 488732494 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]