Кинетическая энергия турбулентности

Кинетическая энергия турбулентности
Кинетическая энергия турбулентности
Общие символы	ТКЕ , к
В базовых единицах СИ	Дж / кг = м 2 ⋅ s −2
Выводы из ; другие количества

В гидродинамике вихрями кинетическая энергия турбулентности ( TKE ) — это средняя кинетическая энергия на единицу массы, связанная с в турбулентном потоке . Физически кинетическая энергия турбулентности характеризуется измеренными среднеквадратичными (RMS) флуктуациями скорости. В усредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-Стокса кинетическая энергия турбулентности может быть рассчитана на основе метода замыкания, т.е. модели турбулентности .

TKE можно определить как половину суммы дисперсий σ² (квадратов стандартных отклонений σ) флуктуирующих компонентов скорости: $k={\frac {1}{2}}(\sigma _{u}^{2}+\sigma _{v}^{2}+\sigma _{w}^{2})={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right),$ где каждая компонента турбулентной скорости представляет собой разность между мгновенной и средней скоростью: $u'=u-{\overline {u}}$ ( разложение Рейнольдса ). Среднее значение и дисперсия ${\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt\geq 0=\sigma _{u}^{2},\end{aligned}}$ соответственно.

TKE может быть создан за счет сдвига жидкости, трения или плавучести или за счет внешнего воздействия на низкочастотных вихревых масштабах (интегральный масштаб). Кинетическая энергия турбулентности затем передается вниз по каскаду энергии турбулентности и рассеивается вязкими силами в масштабе Колмогорова . Этот процесс производства, транспортировки и рассеивания можно выразить как: ${\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon ,$ где: ^[1]

⁠ ${\tfrac {Dk}{Dt}}$ ⁠ для среднего расхода материала ; — производная от TKE
$\nabla \cdot T'$ – турбулентный перенос ТКЭ;
$П$ – производство ТКЕ, а
$ε$ — диссипация ТКЭ.

Предполагая, что молекулярная вязкость постоянна, и используя приближение Буссинеска , уравнение ТКЕ имеет вид: $\underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{Local}} \atop {\text{derivative}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Advection}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{Pressure}} \atop {\text{diffusion}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{Turbulent}} \atop {\text{transport}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{Molecular}} \atop {\text{viscous}}} \atop {\text{transport}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Production}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{Dissipation}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{Buoyancy flux}} \atop b}$

Изучая эти явления, можно найти баланс кинетической энергии турбулентности для конкретного потока. ^[2]

Вычислительная гидродинамика

В вычислительной гидродинамике (CFD) невозможно численно смоделировать турбулентность без дискретизации поля потока до микромасштабов Колмогорова , что называется прямым численным моделированием (DNS). Поскольку моделирование DNS является непомерно дорогостоящим из-за накладных расходов на память, вычисления и хранение, для моделирования эффектов турбулентности используются модели турбулентности. Используются различные модели, но обычно TKE является фундаментальным свойством потока, которое необходимо рассчитать для моделирования турбулентности жидкости.

Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса

с усреднением по Рейнольдсу Моделирование Навье – Стокса (RANS) вихревой вязкости Буссинеска. использует гипотезу ^[3] для расчета напряжения Рейнольдса , возникающего в результате процедуры усреднения: ${\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),$ где $\nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.$

Точный метод определения TKE зависит от используемой модели турбулентности; $Модели k$ – $ε$ (k – эпсилон) предполагают изотропность турбулентности, при которой нормальные напряжения равны: ${\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.$

Это предположение упрощает моделирование величин турбулентности ( $k$ и $ε$ ), но не будет точным в сценариях, где доминирует анизотропное поведение турбулентных напряжений, а последствия этого при возникновении турбулентности также приводят к завышенному прогнозированию, поскольку производство зависит от среднюю скорость деформации, а не разность нормальных напряжений (поскольку они по предположению равны). ^[4]

В моделях напряжения Рейнольдса (RSM) используется другой метод для закрытия напряжений Рейнольдса, при котором нормальные напряжения не считаются изотропными, поэтому можно избежать проблем с производством TKE.

Начальные условия

Точное определение TKE в качестве начальных условий в моделировании CFD важно для точного прогнозирования потоков, особенно в моделировании с высоким числом Рейнольдса. Пример гладкого воздуховода приведен ниже. $k={\frac {3}{2}}(UI)^{2},$ где $I$ — начальная интенсивность турбулентности [%], указанная ниже, а $U$ — начальная величина скорости. В качестве примера потоков в трубах, где число Рейнольдса зависит от диаметра трубы: $I=0.16Re^{-{\frac {1}{8}}}.$

Здесь $l$ — масштаб длины турбулентности или вихря, приведенный ниже, а $c μ$ — $параметр модели k$ – $ε$ , значение которого обычно задается равным 0,09;

$\varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}.$

Масштаб турбулентной длины можно оценить как $l=0.07L,$ где $L$ - характерная длина. Для внутренних потоков это может быть значение ширины (или диаметра) впускного канала (или трубы) или гидравлического диаметра. ^[5]

Ссылки

^ Папа, С.Б. (2000). Турбулентные потоки . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 122–134 . ISBN 978-0521598866 .
^ Бальдокки, Д. (2005), Лекция 16, Ветер и турбулентность, Часть 1, Поверхностный пограничный слой: теория и принципы , Отдел экосистемных наук, Департамент экологических наук, политики и управления, Калифорнийский университет, Беркли, Калифорния: США.
^ Буссинеск, СП (1877 г.). «Теория закрученного потока». Память Представлено различными учеными Академии. наук. Инст. о. 23 :46–50.
^ Лоуренс, Д. (2002). «Применение усредненных уравнений Рейнольдса Навье-Стокса к промышленным потокам». Ин ван Бек, JPAJ; Беноччи, К. (ред.). Введение в моделирование турбулентности, состоялось 18–22 марта 2002 г. в Институте гидродинамики фон Кармана . Синт-Генезиус-Роде : Институт гидродинамики фон Кармана .
^ Флорес Оррего; и др. (2012). «Экспериментальное и CFD-исследование однофазного конусообразного спирального спирального теплообменника: эмпирическая корреляция» . Материалы ECOS 2012 – 25-й Международной конференции по эффективности, стоимости, оптимизации, моделированию и воздействию энергетических систем на окружающую среду, 26–29 июня 2012 г., Перуджа, Италия . ISBN 978-88-6655-322-9 .

Дальнейшее чтение

Кинетическая энергия турбулентности в CFD Online.
Абси, Р. (2008). «Аналитические решения моделируемого $k$ -уравнения». Журнал прикладной механики . 75 (44501): 044501. Бибкод : 2008JAM....75d4501A . дои : 10.1115/1.2912722 .
Лейси, RWJ; Нири, В.С.; Ляо, JC; Эндерс, ЕС; Тритико, HM (2012). «Рамка IPOS: связь показателей плавания рыб в измененных потоках от лабораторных экспериментов с реками». Река Рес. Приложение. 28 (4), стр. 429–443. doi:10.1002/rra.1584.
Уилкокс, округ Колумбия (2006). «Моделирование турбулентности для CFD». Третье издание. DCW Industries, Канада, США. ISBN 978-1-928729-08-2.

[1] Папа, С.Б. (2000). Турбулентные потоки . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 122–134 . ISBN 978-0521598866 .

[2] Бальдокки, Д. (2005), Лекция 16, Ветер и турбулентность, Часть 1, Поверхностный пограничный слой: теория и принципы , Отдел экосистемных наук, Департамент экологических наук, политики и управления, Калифорнийский университет, Беркли, Калифорния: США.

[3] Буссинеск, СП (1877 г.). «Теория закрученного потока». Память Представлено различными учеными Академии. наук. Инст. о. 23 :46–50.

[4] Лоуренс, Д. (2002). «Применение усредненных уравнений Рейнольдса Навье-Стокса к промышленным потокам». Ин ван Бек, JPAJ; Беноччи, К. (ред.). Введение в моделирование турбулентности, состоялось 18–22 марта 2002 г. в Институте гидродинамики фон Кармана . Синт-Генезиус-Роде : Институт гидродинамики фон Кармана .

[5] Флорес Оррего; и др. (2012). «Экспериментальное и CFD-исследование однофазного конусообразного спирального спирального теплообменника: эмпирическая корреляция» . Материалы ECOS 2012 – 25-й Международной конференции по эффективности, стоимости, оптимизации, моделированию и воздействию энергетических систем на окружающую среду, 26–29 июня 2012 г., Перуджа, Италия . ISBN 978-88-6655-322-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Кинетическая энергия турбулентности
Общие символы	$ТКЕ$ , $к$
В базовых единицах СИ	Дж / кг = м ²⋅ s ⁻²
Выводы из другие количества	$k={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right)$