Приближение Буссинеска (плавучесть)

В гидродинамике Буссинеска приближение ( произносится [businɛsk] , назван в честь Жозефа Валентина Буссинеска ) используется в области потока, вызванного плавучестью (также известного как естественная конвекция ). Он игнорирует различия в плотности, за исключением тех случаев, когда они выражаются в виде умножения на $g$ — ускорение силы тяжести . Суть приближения Буссинеска состоит в том, что разница в инерции незначительна, но гравитация достаточно сильна, чтобы удельный вес двух жидкостей заметно отличался. Звуковые волны невозможны/игнорируются при использовании приближения Буссинеска, поскольку звуковые волны движутся за счет изменений плотности.

Потоки Буссинеска распространены в природе (например, атмосферные фронты , океаническая циркуляция, стоковые ветры ), промышленности ( дисперсия плотных газов , вентиляция вытяжных шкафов) и искусственной среде (естественная вентиляция, центральное отопление ). Аппроксимация чрезвычайно точна для многих таких потоков и упрощает математику и физику.

Приближение

Приближение Буссинеска применяется к задачам, где температура (или состав) жидкости меняется от одного места к другому, вызывая поток жидкости и теплообмен (или массоперенос). ^[1]). Жидкость удовлетворяет законам сохранения массы , сохранения импульса и сохранения энергии . В приближении Буссинеска изменения свойств жидкости, кроме плотности $ρ,$ игнорируются, и плотность появляется только тогда, когда она умножается на $g$ , гравитационное ускорение. ^[2]^{: 127–128} Если $u$ - локальная скорость пакета жидкости, уравнение неразрывности сохранения массы имеет вид ^[2]^: 52

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0.

Если игнорировать изменения плотности, это сводится к ^[2]^: 128

\nabla \cdot \mathbf {u} =0.

( 1 )

Общее выражение сохранения импульса несжимаемой ньютоновской жидкости ( уравнения Навье – Стокса ) имеет вид

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{\rho }}\mathbf {F} ,

где $ν$ (nu) — кинематическая вязкость , а $F$ — сумма любых массовых сил, таких как гравитация . ^[2]^: 59 В этом уравнении предполагается, что изменения плотности имеют фиксированную часть и другую часть, имеющую линейную зависимость от температуры:

\rho =\rho _{0}-\alpha \rho _{0}(T-T_{0}),

где $α$ – коэффициент теплового расширения . ^[2]^{: 128–129} Приближение Буссинеска утверждает, что изменение плотности важно только с точки зрения плавучести.

Если $F=\rho \mathbf {g}$ — гравитационная массовая сила, результирующее уравнение сохранения имеет вид ^[2]^: 129

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla (p-\rho _{0}\mathbf {g} \cdot \mathbf {z} )+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} -\mathbf {g} \alpha (T-T_{0}).

( 2 )

В уравнении теплового потока в градиенте температуры теплоемкость единицы объема $\rho C_{p}$ , предполагается постоянным, а член диссипации игнорируется. Полученное уравнение:

{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla T={\frac {k}{\rho C_{p}}}\nabla ^{2}T+{\frac {J}{\rho C_{p}}},

( 3 )

где $J$ – удельная единица объема внутренней теплопродукции, $k$ это теплопроводность . ^[2]^: 129

Три пронумерованных уравнения являются основными уравнениями конвекции в приближении Буссинеска.

Преимущества

Преимущество приближения возникает потому, что при рассмотрении течения, скажем, теплой и холодной воды плотностью $ρ 1$ и $ρ 2$ достаточно рассматривать только одну плотность $ρ$ : разница $Δ ρ = ρ 1 - ρ 2$ пренебрежимо мала. Размерный анализ показывает ^{[ нужны разъяснения ]} что в этих обстоятельствах единственный разумный способ, которым ускорение силы тяжести $g$ должно войти в уравнения движения, - это приведенная гравитация $g ',$ где

g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho }}.

(Обратите внимание, что знаменатель может быть любой плотностью, не влияя на результат, поскольку изменение будет порядка ⁠ $g\left({\tfrac {\Delta \rho }{\rho }}\right)^{2}$ ⁠ .) Наиболее часто используемыми безразмерными числами являются число Ричардсона и число Рэлея .

Таким образом, математика потока проще, поскольку отношение плотности $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ ρ 1 / ρ 2 ⁠$ — безразмерное число , на поток не влияет; приближение Буссинеска утверждает, что его можно считать ровно одним.

Инверсии

Одной из особенностей потоков Буссинеска является то, что они выглядят одинаково, если смотреть в перевернутом виде, при условии, что идентичность жидкостей поменяна местами. Приближение Буссинеска неточно, когда безразмерная разность плотностей $⁠ Δ ρ / ρ ⁠$ примерно равно 1, т.е. $Δ ρ \approx ρ$ .

Например, рассмотрим открытое окно в теплой комнате. Теплый воздух внутри менее плотный, чем холодный воздух снаружи, который течет в комнату и спускается к полу. Теперь представьте обратное: холодную комнату, открытую для теплого наружного воздуха. Здесь поступающий воздух движется вверх к потолку. Если поток Буссинеска (а в остальном комната симметрична), то смотреть на холодную комнату вверх тормашками — это то же самое, что смотреть на теплую комнату наоборот. Это связано с тем, что единственный способ, которым плотность влияет на проблему, - это уменьшенная сила тяжести $g'$ , которая претерпевает только изменение знака при переходе от потока в теплом помещении к потоку в холодном помещении.

Примером течения не-Буссинеска являются пузырьки, поднимающиеся в воде. Поведение пузырьков воздуха, поднимающихся в воде, сильно отличается от поведения воды, падающей в воздух: в первом случае поднимающиеся пузырьки имеют тенденцию образовывать полусферические оболочки, тогда как вода, падающая в воздух, распадается на капли дождя (на малых масштабах длины в поверхностное натяжение проблему входит ). и запутывает проблему).

Ссылки

^ Колли, АН; Бисанг, Дж. М. (2023). «Изучение влияния изменений концентрации и температуры на переходную естественную конвекцию при электроосаждении металлов: анализ методом конечных объемов» . Журнал Электрохимического общества . 170 (8):083505. Бибкод : 2023JElS..170х3505C . дои : 10.1149/1945-7111/acef62 . S2CID 260857287 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Триттон, диджей (1977). Физическая гидродинамика . Нью-Йорк: ISBN компании Ван Ностранд Рейнхольд. 9789400999923 .

Дальнейшее чтение

Буссинеск, Жозеф (1897). Теория закрученного и бурного течения жидкостей в прямолинейных пластах большого сечения . Полет. 1. Готье-Виллар . Проверено 10 октября 2015 г.
Кляйнстройер, Клемент (1997). Инженерная гидродинамика: междисциплинарный системный подход . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-52-101917-0 .
Триттон, диджей (1988). Физическая гидродинамика (второе изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-854493-7 .

[1] Колли, АН; Бисанг, Дж. М. (2023). «Изучение влияния изменений концентрации и температуры на переходную естественную конвекцию при электроосаждении металлов: анализ методом конечных объемов» . Журнал Электрохимического общества . 170 (8):083505. Бибкод : 2023JElS..170х3505C . дои : 10.1149/1945-7111/acef62 . S2CID 260857287 .

[Tritton-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Триттон, диджей (1977). Физическая гидродинамика . Нью-Йорк: ISBN компании Ван Ностранд Рейнхольд. 9789400999923 .

[1]

[2]