Число Ричардсона

Число Ричардсона ( Ri ) названо в честь Льюиса Фрая Ричардсона (1881–1953). Это безразмерное число , которое выражает отношение члена плавучести к потока члену сдвига :

$\mathrm {Ri} ={\frac {\text{buoyancy term}}{\text{flow shear term}}}={\frac {g}{\rho }}{\frac {\partial \rho /\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}}$

где $g$ это гравитация , $\rho$ плотность, $u$ представляет собой репрезентативную скорость потока, и $z$ это глубина.

Число Ричардсона, или один из нескольких вариантов, имеет практическое значение при прогнозировании погоды , а также при исследовании течений плотности и мутности в океанах, озерах и водохранилищах.

При рассмотрении потоков, в которых различия плотностей невелики (т. Приближение Буссинеска ), обычно используют приведенную гравитацию g' , а соответствующим параметром является денситометрическое число Ричардсона.

$\mathrm {Ri} ={\frac {-\partial g'/\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}}$

который часто используется при рассмотрении атмосферных или океанических потоков. .

Если число Ричардсона намного меньше единицы, плавучесть не имеет значения.в потоке. Если она много больше единицы, то плавучесть является доминирующей (в недостаточно ощущение, что кинетической энергии для гомогенизации жидкостей).

Если число Ричардсона имеет порядок единицы, то поток, скорее всего, будетбыть обусловлено плавучестью: энергия потока изначально возникает из потенциальной энергии в системе.

Авиация

В авиации число Ричардсона используется как грубая мера ожидаемой турбулентности воздуха. Меньшее значение указывает на более высокую степень турбулентности. Типичными являются значения в диапазоне от 10 до 0,1. , значения ниже единицы указывают на значительную турбулентность.

Тепловая конвекция

В задачах тепловой конвекции число Ричардсона отражает важность естественной конвекции по сравнению с вынужденной конвекцией . Число Ричардсона в этом контексте определяется как

$\mathrm {Ri} ={\frac {g\beta (T_{\text{hot}}-T_{\text{ref}})L}{V^{2}}}$

где g – ускорение свободного падения, $\beta$ — коэффициент теплового расширения , T _hot — температура горячей стенки, T _ref — эталонная температура, L — характерная длина, а V — характеристическая скорость.

Число Ричардсона также можно выразить с помощью комбинации числа Грасгофа и числа Рейнольдса .

$\mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}.$

Как правило, естественная конвекция незначительна, когда Ri < 0,1, вынужденная конвекция незначительна, когда Ri > 10, и ни одна из них не пренебрежимо мала, когда 0,1 < Ri < 10. Можно отметить, что обычно вынужденная конвекция велика по сравнению с естественной конвекцией, за исключением случае чрезвычайно низких скоростей вынужденного потока. Однако плавучесть часто играет существенную роль в определении ламинарно-турбулентного перехода смешанного конвективного течения. При проектировании водонаполненных резервуаров для хранения тепловой энергии может оказаться полезным число Ричардсона.

Метеорология

В науке об атмосфере обычно используются несколько различных выражений для числа Ричардсона: число Ричардсона потока (которое является фундаментальным), градиентное число Ричардсона и объемное число Ричардсона.

• Число Ричардсона потока $Ri_{f}$ - это отношение плавучего производства (или подавления) кинетической энергии турбулентности к созданию турбулентности за счет сдвига. Математически это:

$Ri_{f}={\frac {(g/T_{v}){\overline {w'\theta '}}}{{\overline {u'w'}}{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}+{\overline {v'w'}}{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}}}}$,

где $T_{v}$ виртуальная температура , $\theta _{v}$ — виртуальная потенциальная температура , $z$ это высота, $u$ это $x$ составляющая ветра, $v$ это $y$ компонент ветра и $w$ это $z$ (вертикальная) составляющая ветра. Простое число (например, $w'$) обозначает отклонение соответствующего поля от его среднего значения Рейнольдса .

• Градиентное число Ричардсона $Ri_{g}$ достигается путем аппроксимации числа потока Ричардсона с использованием «К-теории» . Это приводит к:

$Ri_{g}={\frac {(g/T_{v}){\frac {\partial \theta _{v}}{\partial z}}}{({\frac {\partial u}{\partial z}})^{2}+({\frac {\partial v}{\partial z}})^{2}}}$.

• Объемное число Ричардсона $Ri_{b}$ является результатом аппроксимации конечной разностью производных в выражении для градиентного числа Ричардсона, что дает:

$Ri_{b}={\frac {(g/T_{v0})\Delta \theta _{v}\Delta z}{(\Delta u)^{2}+(\Delta v)^{2}}}$.

Здесь для любой переменной $f$, $\Delta f:=f_{z1}-f_{z0}$, то есть разница между $f$ на высоте $z1$ и высота $z0$. Если нижний опорный уровень принять равным $z0=0$, затем $u_{z0}=v_{z0}=0$ (из-за граничного условия прилипания ), поэтому выражение упрощается до:

$Ri_{b}={\frac {(g/\theta _{v0})(\theta _{vz1}-\theta _{v0})z}{(u_{z1})^{2}+(v_{z1})^{2}}}$.

Океанография

В океанографии число Ричардсона имеет более общий вид. которая учитывает стратификацию. Это мера относительной важности механических эффектов и эффектов плотности в толще воды, как описано уравнением Тейлора-Гольдштейна , используемым для моделирования нестабильности Кельвина-Гельмгольца , которая вызывается сдвиговыми потоками.

$\mathrm {Ri} ={\frac {N^{2}}{(\mathrm {d} u/\mathrm {d} z)^{2}}}$

где N — частота Брента–Вяйсяля , u — скорость ветра.

Определенное выше число Ричардсона всегда считается положительным. Отрицательное значение N² (т.е. комплексное N ) указывает на нестабильные градиенты плотности с активным конвективным опрокидыванием. При таких обстоятельствах величина отрицательного Ri обычно не представляет интереса. Можно показать, что Ri < 1/4 является необходимым условием сдвига скорости для преодоления тенденции стратифицированной жидкости оставаться стратифицированной, и обычно происходит некоторое перемешивание (турбулентность). Когда Ri велико, турбулентное перемешивание в стратификации обычно подавляется.