число Стокса

Иллюстрация эффекта изменения числа Стокса. Оранжевые и зеленые траектории соответствуют малым и большим числам Стокса соответственно. Оранжевая кривая — это траектория частицы с числом Стокса меньше единицы, которая следует линиям тока (синяя), а зеленая кривая — это траектория частицы с числом Стокса больше единицы, поэтому частица не следует линиям тока. Эта частица сталкивается с одним из препятствий (коричневые кружки) в точке, показанной желтым.

Число Стокса ( Stk ), названное в честь Джорджа Габриэля Стокса , — безразмерное число, характеризующее поведение частиц, взвешенных в потоке жидкости . Число Стокса определяется как отношение характерного времени частицы (или капли ) к характерному времени потока или препятствия, или

$\mathrm {Stk} ={\frac {t_{0}\,u_{0}}{l_{0}}}$

где $t_{0}$ - время релаксации частицы (постоянная времени экспоненциального спада скорости частицы из-за сопротивления), $u_{0}$ - скорость жидкости в потоке на достаточном расстоянии от препятствия, и $l_{0}$ — это характерный размер препятствия (обычно его диаметр) или характерный масштаб длины потока (например, толщина пограничного слоя). Частица с низким числом Стокса следует линиям тока жидкости (идеальная адвекция ), в то время как частица с большим числом Стокса находится под влиянием своей инерции и продолжает движение по своей начальной траектории.

В случае потока Стокса , когда число Рейнольдса частицы (или капли) меньше единицы, коэффициент сопротивления частицы обратно пропорционален самому числу Рейнольдса. В этом случае характерное время частицы можно записать как

$t_{0}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu _{g}}}$

где $\rho _{p}$ частиц плотность , $d_{p}$ - диаметр частиц и $\mu _{g}$ жидкости – динамическая вязкость .

В экспериментальной гидродинамике число Стокса является мерой точности трассировки потока в экспериментах по изображению скорости частиц (PIV) , где очень маленькие частицы увлекаются турбулентными потоками и наблюдаются оптически для определения скорости и направления движения жидкости (также известного как скорость). поле жидкости). Для приемлемой точности отслеживания время отклика частиц должно быть меньше наименьшего временного масштаба потока. Меньшие числа Стокса обеспечивают более высокую точность трассировки; для $\mathrm {Stk} \gg 1$, частицы будут отрываться от потока, особенно там, где поток резко замедляется. Для $\mathrm {Stk} \ll 1$, частицы внимательно следуют линиям тока жидкости. Если $\mathrm {Stk} <0.1$, ошибки точности отслеживания составляют менее 1%.

Время релаксации и ошибка отслеживания при измерении скорости изображения частиц (PIV)

Сравнение частиц двух разных размеров для точности отслеживания PIV. Моделируемые частицы (синие точки) пропиленгликоля, перемещающиеся в поле течения точки застоя (серые линии тока). Обратите внимание, что частицы размером 1 мм разбиваются о застойную пластину, тогда как частицы размером 0,1 мм следуют по линиям тока.

Число Стокса позволяет оценить качество наборов данных PIV, как обсуждалось ранее. Однако определение характеристической скорости или масштаба длины может быть очевидным не во всех приложениях. Таким образом, более глубокое понимание того, как возникает задержка отслеживания, можно получить, просто определив дифференциальные уравнения частицы в режиме Стокса. Частица, движущаяся с жидкостью с некоторой скоростью $v_{p}(t)$ при адвекции столкнется с переменным полем скоростей жидкости. Предположим, что скорость жидкости в лагранжевой системе отсчета частицы равна $v_{f}(t)$. Именно разница между этими скоростями создаст силу сопротивления, необходимую для коррекции траектории частицы:

$\Delta v(t)=v_{f}(t)-v_{p}(t)$

Тогда сила сопротивления Стокса равна:

$F_{D}=3\pi \mu d_{p}\Delta v$

Масса частицы равна:

$m_{p}=\rho _{p}{\frac {4}{3}}\pi {\bigg (}{\frac {d_{p}}{2}}{\bigg )}^{3}=\rho _{p}{\frac {\pi d_{p}^{3}}{6}}$

Таким образом, ускорение частицы можно найти с помощью второго закона Ньютона:

${\frac {dv_{p}(t)}{dt}}={\frac {F_{D}}{m_{p}}}={\frac {18\mu }{{d_{p}}^{2}\rho _{p}}}\Delta v(t)$

Обратите внимание на время релаксации $t_{0}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu _{g}}}$ можно заменить, чтобы получить:

${\frac {dv_{p}(t)}{dt}}={\frac {1}{t_{0}}}\Delta v(t)$

Приведенное выше дифференциальное уравнение первого порядка можно решить с помощью метода преобразования Лапласа :

$t_{0}sv_{p}(s)=v_{f}-v_{p}(s)$

${\frac {v_{p}(s)}{v_{f}(s)}}={\frac {1}{t_{0}s+1}}$

Приведенное выше решение в частотной области характеризует систему первого порядка с характерным временем $t_{0}$. Таким образом, частота усиления (границы) −3 дБ будет равна:

$f_{-3{\text{ dB}}}={\frac {1}{2\pi t_{0}}}$

Частота среза и передаточная функция частиц, нанесенные на боковую панель, позволяют оценить ошибку PIV в приложениях с нестационарным потоком и ее влияние на спектральные величины турбулентности и кинетическую энергию.

График Боде для частиц пропиленгликоля в воздухе для частиц разного диаметра.

Частицы через ударную волну

Ошибка смещения при отслеживании частиц, обсуждавшаяся в предыдущем разделе, очевидна в частотной области, но ее может быть трудно оценить в тех случаях, когда движение частиц отслеживается для выполнения измерений поля потока (например, при измерении скорости изображения частиц ). Простое, но эффективное решение вышеупомянутого дифференциального уравнения возможно, когда вынуждающая функция $v_{f}(t)=V_{u}-\Delta VH(t)$ – ступенчатая функция Хевисайда; представляющие частицы, проходящие через ударную волну. В этом случае, $V_{u}$ – скорость потока перед скачком скачка; тогда как $\Delta V$ – падение скорости на скачке скачка.

Переходная характеристика частицы представляет собой простую экспоненту:

$v_{p}(t)=(V_{u}-\Delta V)+\Delta Ve^{-t/t_{0}}$

Чтобы преобразовать скорость как функцию времени в распределение скоростей частиц как функцию расстояния, предположим одномерный скачок скорости в $x$ направление. Давайте предположим $x=0$ находится там, где находится ударная волна, а затем проинтегрируйте предыдущее уравнение, чтобы получить:

$x_{\text{particle}}=\int _{0}^{\Delta t}v_{p}(t)dt=\int _{0}^{\Delta t}(V_{u}-\Delta V)dt+\int _{0}^{\Delta t}\Delta Ve^{-t/t_{0}}dt$

$x_{\text{particle}}=\Delta t(V_{u}-\Delta V)+\Delta t\Delta V(1-e^{-\Delta t/t_{0}})$

Учитывая время релаксации $\Delta t=3t_{0}$ (время до изменения скорости 95%) имеем:

$x_{{\text{particle}},95\%}=3t_{0}(V_{u}-\Delta V)+3t_{0}\Delta V(1-e^{-3})$

$x_{{\text{particle}},95\%}=3t_{0}(V_{u}-0.05\Delta V)$

Это означает, что скорость частиц будет стабилизироваться с точностью до 5% от скорости ниже по потоку при $x_{{\text{particle}},95\%}$ от шока. На практике это означает, что ударная волна для системы PIV будет выглядеть размытой примерно на эту величину. $x_{{\text{particle}},95\%}$ расстояние.

Например, рассмотрим нормальную ударную волну с числом Маха $M=2$ при температуре торможения 298 К. Частица пропиленгликоля $d_{p}=1~\mu {\text{m}}$ размыл бы поток $x_{{\text{particle}},95\%}=5{\text{ mm}}$; тогда как $d_{p}=10~\mu {\text{m}}$ размыл бы поток $x_{{\text{particle}},95\%}=500{\text{ mm}}$ (что в большинстве случаев приведет к неприемлемым результатам PIV).

Хотя ударная волна является наихудшим сценарием резкого торможения потока, она иллюстрирует влияние ошибки отслеживания частиц в PIV, которая приводит к размытию полей скорости, полученных на масштабах длины порядка $x_{{\text{particle}},95\%}$.

Нестоксовский режим сопротивления

Предыдущий анализ не будет точен в ультрастоксовом режиме. т.е. если число Рейнольдса частицы намного больше единицы. Предполагая, что число Маха намного меньше единицы, Израэль и Рознер продемонстрировали обобщенную форму числа Стокса.

$${\text{Stk}}_{\text{e}}={\text{Stk}}{\frac {24}{{\text{Re}}_{o}}}\int _{0}^{{\text{Re}}_{o}}{\frac {d{\text{Re}}^{\prime }}{C_{D}({\text{Re}}^{\prime }){\text{Re}}^{\prime }}}$$

Где ${\text{Re}}_{o}$это «число Рейнольдса набегающего потока частиц»,

$${\text{Re}}_{o}={\frac {\rho _{g}|\mathbf {u} |d_{p}}{\mu _{g}}}$$

Дополнительная функция $\psi ({\text{Re}}_{o})$ был определен; это описывает поправочный коэффициент нестоксова сопротивления,

$${\text{Stk}}_{e}={\text{Stk}}\cdot \psi ({\text{Re}}_{o})$$

Отсюда следует, что эта функция определяется формулой:

$\psi$ описывает поправочный коэффициент нестоксова сопротивления для сферической частицы.

$$\psi ({\text{Re}}_{o})={\frac {24}{{\text{Re}}_{o}}}\int _{0}^{{\text{Re}}_{o}}{\frac {d{\text{Re}}^{\prime }}{C_{D}({\text{Re}}^{\prime }){\text{Re}}^{\prime }}}$$

Учитывая предельные числа Рейнольдса набегающего потока частиц, как ${\text{Re}}_{o}\to 0$ затем $C_{D}({\text{Re}}_{o})\to 24/{\text{Re}}_{o}$ и поэтому $\psi \to 1$. Таким образом, как и ожидалось, в режиме стоксова сопротивления поправочный коэффициент равен единице. Вессель и Риги оценивается $\psi$ для $C_{D}({\text{Re}})$ из эмпирической корреляции сопротивления сфере от Шиллера и Науманна.

$$\psi ({\text{Re}}_{o})={\frac {3({\sqrt {c}}{\text{Re}}_{o}^{1/3}-\arctan({\sqrt {c}}{\text{Re}}_{o}^{1/3}))}{c^{3/2}{\text{Re}}_{o}}}$$

Где константа $c=0.158$. Обычное число Стокса значительно недооценивает силу сопротивления для чисел Рейнольдса набегающего потока крупных частиц. Таким образом, мы переоцениваем тенденцию частиц отклоняться от направления потока жидкости. Это приведет к ошибкам в последующих расчетах или экспериментальных сравнениях.

Применение к анизокинетическому отбору проб частиц

Например, селективный захват частиц с помощью совмещенного тонкостенного круглого сопла представлен Беляевым и Левиным. как:

$c/c_{0}=1+(u_{0}/u-1)\left(1-{\frac {1}{1+\mathrm {Stk} (2+0.617u/u_{0})}}\right)$

где $c$ — концентрация частиц, $u$ — скорость, а нижний индекс 0 указывает на условия далеко перед соплом. Характерным расстоянием является диаметр сопла. Здесь вычисляется число Стокса:

$\mathrm {Stk} ={\frac {u_{0}V_{s}}{dg}}$

где $V_{s}$ - скорость осаждения частицы, $d$ - внутренний диаметр пробоотборной трубки, а $g$ это ускорение силы тяжести.

См. также

• Закон Стокса - для силы сопротивления в жидкостях частиц, число Рейнольдса которых меньше единицы.

Дальнейшее чтение

• Фукс, Н. А. (1989). Механика аэрозолей . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-66055-4 .
• Хиндс, Уильям К. (1999). Аэрозольная технология: свойства, поведение и измерение частиц в воздухе . Нью-Йорк: Уайли. ISBN  978-0-471-19410-1 .
• Снайдер, Вашингтон; Ламли, Дж. Л. (1971). «Некоторые измерения автокорреляционных функций скорости частиц в турбулентном потоке». Журнал механики жидкости . 48 : 41–71. Бибкод : 1971JFM....48...41S . дои : 10.1017/S0022112071001460 . S2CID   122731370 .
• Коллинз, ЛР; Кесвани, А. (2004). «Масштабирование числа Рейнольдса для кластеризации частиц в турбулентных аэрозолях» . Новый журнал физики . 6 (119): 119. Бибкод : 2004NJPh....6..119C . дои : 10.1088/1367-2630/6/1/119 .