Число Фруда

В механике сплошной среды ( число Фруда Fr , по Уильяму Фруду , / ˈ f r uː d / ) — безразмерное число , определяемое как отношение инерции потока к внешнему силовому полю (последнее во многих приложениях просто обусловлено силой тяжести ). Число Фруда основано на отношении скорости к длине , которое он определил как: $$\mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}$$где u — локальная скорость потока (в м/с), g — локальное гравитационное поле (в м/с). ² ), а L – характерная длина (в м).

Число Фруда имеет некоторую аналогию с числом Маха . В теоретической гидродинамике число Фруда не часто учитывается, поскольку обычно уравнения рассматриваются в высоком пределе Фруда незначительного внешнего поля, что приводит к однородным уравнениям, сохраняющим математические аспекты. Например, однородные уравнения Эйлера являются уравнениями сохранения .Однако в военно-морской архитектуре число Фруда является важной величиной, используемой для определения сопротивления частично погруженного объекта, движущегося через воду.

Происхождение

потоков в открытых каналах Для Беланджер 1828 впервые ввел отношение скорости потока к квадратному корню из ускорения силы тяжести, умноженного на глубину потока. Когда отношение было меньше единицы, поток вёл себя как речное движение (т. е. докритический поток) и как ливневое движение потока, когда отношение было больше единицы.

Корпуса лебедя (вверху) и ворона (внизу). Последовательность из 3, 6 и 12 (показанных на рисунке) моделей в масштабе футов была построена Фрудом и использовалась в испытаниях по буксировке для установления законов сопротивления и масштабирования.

Количественную оценку сопротивления плавучих объектов обычно приписывают Уильяму Фруду , который использовал серию масштабных моделей для измерения сопротивления, оказываемого каждой моделью при буксировке с заданной скоростью. Военно-морской конструктор Фредерик Рич гораздо раньше, в 1852 году, выдвинул концепцию испытаний кораблей и винтов, но Фруд не знал о ней. Отношение скорости к длине было первоначально определено Фрудом в его «Законе сравнения» в 1868 году в терминах размеров как:

$${\text{speed–length ratio}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}$$где:

• u = скорость потока
• LWL = длина ватерлинии

Этот термин был преобразован в безразмерные термины и получил имя Фруда в знак признания проделанной им работы. Во Франции его иногда называют числом Рича – Фруда в честь Фредерика Рича.

Определение и основное применение

Чтобы показать, как число Фруда связано с общей механикой сплошной среды, а не только с гидродинамикой, мы начнем с уравнения количества движения Коши в его безразмерной (безразмерной) форме.

Уравнение импульса Коши

Смотрите также: уравнение импульса Коши

Чтобы сделать уравнения безразмерными, _{характерную длину r 0} и характеристическую скорость u ₀ необходимо определить . Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом, получаются следующие безразмерные переменные: $$\rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},$$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения движения Эйлера и определение числа Фруда: $$\mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},$$и число Эйлера : $$\mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},$$уравнения наконец выражаются (с производной материала и теперь без индексов):

Уравнение импульса Коши ( безразмерная конвективная форма )

$${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g}$$

Уравнения типа Коши в высоком пределе Фруда Fr → ∞ (соответствующем пренебрежимо малому внешнему полю) называются свободными уравнениями . С другой стороны, в нижнем пределе Эйлера Eu → 0 (что соответствует незначительному напряжению) общее уравнение импульса Коши становится неоднородным уравнением Бюргерса (здесь мы явно указываем материальную производную ):

Уравнение Бюргерса ( безразмерная форма сохранения )

$${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g}$$

Это неоднородное чистое уравнение адвекции в той же степени, в какой уравнение Стокса является чистым уравнением диффузии .

Уравнение импульса Эйлера

Смотрите также: уравнения Эйлера (гидродинамика)

Уравнение импульса Эйлера представляет собой уравнение импульса Коши, в котором закон Паскаля является определяющим соотношением напряжения: $${\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I}$$в безразмерной лагранжевой форме: $${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}$$

Свободные уравнения Эйлера консервативны. Таким образом, предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле) примечателен и может быть изучен с помощью теории возмущений .

Уравнение количества движения несжимаемой жидкости Навье – Стокса

См. Также: уравнения Навье – Стокса § Несжимаемый поток.

Уравнение количества движения несжимаемой жидкости Навье – Стокса представляет собой уравнение количества движения Коши, в котором закон Паскаля и закон Стокса являются определяющими соотношениями напряжений: $${\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)$$в безразмерной конвективной форме это: $${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}$$где Re — число Рейнольдса . Свободные уравнения Навье – Стокса являются диссипативными (неконсервативными).

Другие приложения

Судовая гидродинамика

Волновая картина в зависимости от скорости, иллюстрирующая различные числа Фруда.

В морских гидродинамических приложениях число Фруда обычно обозначается обозначением Fn и определяется как: $$\mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},$$где u — относительная скорость течения между морем и кораблем, g — это, в частности, ускорение свободного падения , а L — длина корабля на уровне ватерлинии, или L _wl в некоторых обозначениях. Это важный параметр относительно сопротивления судна , или сопротивления, особенно с точки зрения сопротивления образованию волн .

В случае глиссирующих судов, где длина ватерлинии слишком зависит от скорости, чтобы иметь значение, число Фруда лучше всего определять как число Фруда водоизмещения , а базовую длину принимают как кубический корень из объемного водоизмещения корпуса: $$\mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.$$

Волны на мелководье

Для волн на мелководье, таких как цунами и гидравлические скачки , характерная скорость U представляет собой среднюю скорость потока, усредненную по поперечному сечению, перпендикулярному направлению потока. Скорость волны, называемая скоростью c , равна квадратному корню из гравитационного ускорения g , умноженному на площадь поперечного сечения A , деленному на ширину свободной поверхности B : $$c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},$$поэтому число Фруда на мелководье равно: $$\mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.$$Для прямоугольных поперечных сечений с одинаковой глубиной d число Фруда можно упростить до: $$\mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.$$При Fr < 1 течение называют докритическим , далее при Fr > 1 течение характеризуют как сверхкритическое . Когда Fr ≈ 1, поток называют критическим .

Ветротехника

При рассмотрении воздействия ветра на динамически чувствительные конструкции, такие как подвесные мосты, иногда необходимо смоделировать совместное воздействие вибрирующей массы конструкции с колебательной силой ветра. В таких случаях следует соблюдать число Фруда. Аналогично, при моделировании шлейфов горячего дыма в сочетании с естественным ветром масштабирование числа Фруда необходимо для поддержания правильного баланса между силами плавучести и импульсом ветра.

Аллометрия

Число Фруда также применялось в аллометрии для изучения передвижения наземных животных. включая антилопу и динозавры.

Расширенное число Фруда

Геофизические массовые потоки, такие как лавины и селевые потоки, происходят на наклонных склонах, которые затем сливаются в пологие и плоские зоны схода.

Таким образом, эти потоки связаны с поднятием топографических склонов, которые индуцируют потенциальную энергию силы тяжести вместе с потенциальной энергией давления во время течения. Следовательно, классическое число Фруда должно включать этот дополнительный эффект. В такой ситуации число Фруда необходимо переопределить. Расширенное число Фруда определяется как соотношение кинетической и потенциальной энергии: $$\mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},$$где u — средняя скорость потока, β = gK cos ζ , ( K — коэффициент давления грунта , ζ — уклон), s _g = g sin ζ , x — положение канала вниз по склону и $x_{d}$ – расстояние от точки выброса массы по каналу до точки попадания потока на горизонтальную опорную точку; Э ^п
_горшок = βh и E ^г
_pot = s _g ( x _d − x ) — потенциальная энергия давления и потенциальная гравитационная энергия соответственно. В классическом определении мелководного или зернистого потока число Фруда - потенциальная энергия, связанная с высотой поверхности, E ^г
_горшок , не считается. Расширенное число Фруда существенно отличается от классического числа Фруда для более высоких отметок поверхности. Член βh возникает из-за изменения геометрии движущейся массы по склону. Анализ размерностей показывает, что для неглубоких потоков βh ≪ 1 , а u и s _g ( x _d − x ) имеют порядок единицы. Если масса неглубокая и свободная поверхность практически параллельна слою, то βh можно не учитывать. В этой ситуации, если не учитывать гравитационный потенциал, Fr неограничен, хотя кинетическая энергия ограничена. Итак, формально учитывая дополнительный вклад гравитационной потенциальной энергии, сингулярность в Fr устранена.

Танки с перемешиванием

При исследовании резервуаров с перемешиванием число Фруда определяет образование поверхностных вихрей. Поскольку скорость вершины крыльчатки равна ωr ( круговое движение ), где ω — частота крыльчатки (обычно в об/мин ), а r — радиус крыльчатки (в технике гораздо чаще используется диаметр), то число Фруда принимает следующий вид: $$\mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.$$Число Фруда находит аналогичное применение и в смесителях порошков. Он действительно будет использоваться для определения, в каком режиме смешивания работает блендер. Если Fr<1, частицы просто перемешиваются, но если Fr>1, центробежные силы, приложенные к порошку, преодолевают силу тяжести, и слой частиц становится псевдоожиженным, по крайней мере, в некоторой части блендера, способствуя перемешиванию.

Денсиметрическое число Фруда

При использовании в контексте приближения Буссинеска денсиметрическое число Фруда определяется как $$\mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}$$где g ′ — приведенная сила тяжести: $$g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}$$

Разработчики моделей, которые хотят обезразмерить предпочтение скорости, обычно отдают предпочтение денсиметрическому числу Фруда, а не числу Ричардсона , которое чаще встречается при рассмотрении стратифицированных слоев сдвига. Например, передняя кромка гравитационного течения движется с передним числом Фруда около единицы.

Ходячее число Фруда

Число Фруда можно использовать для изучения тенденций в моделях походки животных. При анализе динамики передвижения ног ходячую конечность часто моделируют как перевернутый маятник , где центр массы проходит через дугу окружности с центром в стопе. Число Фруда — это отношение центростремительной силы вокруг центра движения, стопы и веса идущего животного: $$\mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}$$где m — масса, l — характерная длина, g — ускорение свободного падения , а v — скорость . Характеристическая длина l может быть выбрана в соответствии с рассматриваемым исследованием. Например, в некоторых исследованиях использовалось вертикальное расстояние тазобедренного сустава от земли, в то время как другие использовали общую длину ноги.

Число Фруда также можно рассчитать по частоте шагов f следующим образом: $$\mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.$$

Если в качестве характеристической длины используется общая длина ноги, то теоретическая максимальная скорость ходьбы имеет число Фруда, равное 1,0, поскольку любое большее значение приведет к отталкиванию и отрыву стопы от земли. Типичная скорость перехода от прямоходящей ходьбы к бегу происходит при Fr ≈ 0,5 . Р. М. Александер обнаружил, что животные разных размеров и масс, движущиеся с разной скоростью, но с одним и тем же числом Фруда, последовательно демонстрируют сходную походку. Это исследование показало, что животные обычно переходят с иноходи на симметричную беговую походку (например, рысь или темп) около числа Фруда, равного 1,0. Предпочтение асимметричной походке (например, галопу, поперечному галопу, вращающемуся галопу, скачку или прогулке) наблюдалось при числах Фруда от 2,0 до 3,0.

Использование

Число Фруда используется для сравнения волнового сопротивления тел различных размеров и форм.

При течении со свободной поверхностью характер течения ( сверхкритический или докритический) зависит от того, больше или меньше единицы число Фруда.

Линию «критического» потока легко увидеть в раковине на кухне или в ванной. Оставьте его отключенным и дайте крану поработать. Вблизи места попадания потока воды в раковину течение становится сверхкритическим. Он «обнимает» поверхность и быстро движется. На внешней границе схемы течения течение докритическое. Этот поток толще и движется медленнее. Граница между двумя областями называется «гидравлическим прыжком». Скачок начинается там, где поток становится критическим и число Фруда равно 1,0.

Число Фруда использовалось для изучения тенденций в передвижении животных, чтобы лучше понять, почему животные используют разные модели походки. а также сформировать гипотезы о походках вымерших видов.

Кроме того, поведение слоя частиц можно оценить количественно с помощью числа Фруда (Fr), чтобы установить оптимальное рабочее окно.

См. также

• Скорость потока - векторное поле, которое используется для математического описания движения сплошной среды.
• Сила тела - Сила, действующая по всему объему тела.
• Уравнение импульса Коши
• Уравнение Бюргерса - Уравнение в частных производных
• Уравнения Эйлера (гидродинамика) - набор квазилинейных гиперболических уравнений, управляющих адиабатическим и невязким течением.
• Число Рейнольдса - соотношение инерционных и вязких сил, действующих на жидкость.

Ссылки

• Александр, Р. МакН. (1984). «Походки двуногих и четвероногих животных». Международный журнал исследований робототехники . 3 (2): 49–59. дои : 10.1177/027836498400300205 . S2CID   120138903 .
• Александр, РМ (1989). «Оптимизация и походка в передвижении позвоночных». Физиологические обзоры . 69 (4): 1199–227. дои : 10.1152/physrev.1989.69.4.1199 . ПМИД   2678167 .
• Беланжер, Жан Батист (1828). Эссе по численному решению некоторых задач, связанных с устойчивым движением проточной воды [ Эссе по численному решению некоторых задач, связанных с устойчивым движением проточной воды ] (на французском языке). Париж: Карильян-Гёри.
• Шансон, Юбер (2004). Гидравлика потока в открытом канале: Введение (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 650. ИСБН  978-0-7506-5978-9 .
• Шансон, Юбер (2009). «Разработка уравнения Беланже и уравнения подпора Жаном-Батистом Беланже (1828 г.)» (PDF) . Журнал гидротехники . 135 (3): 159–63. дои : 10.1061/(ASCE)0733-9429(2009)135:3(159) .
• Джикар, ПК; Дхоки, Северная Каролина; Шинде, СС (2021). «Численное моделирование и экспериментальное исследование противоточного реактора с динамическим слоем частиц и его влияние на реакцию восстановления твердого газа и газа». Горное дело, металлургия и геологоразведка . 39 . Спрингер: 139–152. дои : 10.1007/s42461-021-00516-6 . ISSN   2524-3462 . S2CID   244507908 .
• Ньюман, Джон Николас (1977). Морская гидродинамика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . ISBN  978-0-262-14026-3 .
• Норманд, Дж. А. (1888). «О тонкости судов по размеру и скорости». Труды Учреждения корабельных архитекторов . 29 : 257–261.
• Селлерс, Уильям Ирвин; Мэннинг, Филип Ларс (2007). «Оценка максимальной скорости бега динозавров с помощью эволюционной робототехники» . Труды Королевского общества B: Биологические науки . 274 (1626): 2711–6. дои : 10.1098/rspb.2007.0846 . JSTOR   25249388 . ПМК   2279215 . ПМИД   17711833 .
• Ши, Ю.К. (весна 2009 г.), «Глава 6. Несжимаемое невязкое течение» (PDF) , Механика жидкости.
• Такахаси, Тамоцу (2007). Селевой поток: механика, прогноз и меры противодействия . ЦРК Пресс. ISBN  978-0-203-94628-2 .
• Воган, Кристофер Л.; О'Мэлли, Марк Дж. (2005). «Фруд и вклад военно-морской архитектуры в наше понимание двуногого передвижения». Походка и осанка . 21 (3): 350–62. дои : 10.1016/j.gaitpost.2004.01.011 . ПМИД   15760752 .
• Уайт, Фрэнк М. (1999). Механика жидкости (4-е изд.). WCB/МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-116848-9 .

Внешние ссылки

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf