Уравнение импульса Коши

Уравнение импульса Коши — это векторное уравнение в частных производных, выдвинутое Коши , которое описывает нерелятивистский импульса перенос в любом континууме . ^[1]

Основное уравнение

В конвективной (или лагранжевой ) форме уравнение количества движения Коши записывается как: ${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f}$

где

$\mathbf {u}$ — векторное поле скорости потока , зависящее от времени и пространства, (единица измерения: $\mathrm {m/s}$ )
$t$ измерения : время , (единица $\mathrm {s}$ )
${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}$ является производной материальной $\mathbf {u}$ , равный $\partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u}$ , (единица: $\mathrm {m/s^{2}}$ )
$\rho$ — плотность в данной точке континуума (для которой справедливо уравнение неразрывности ), (единица измерения: $\mathrm {kg/m^{3}}$ )
${\boldsymbol {\sigma }}$ – тензор напряжений , (единица измерения: $\mathrm {Pa=N/m^{2}=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}}$ )
$\mathbf {f} ={\begin{bmatrix}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{bmatrix}}$ — вектор, содержащий все ускорения, вызванные массовыми силами (иногда просто гравитационным ускорением ), (единица измерения: $\mathrm {m/s^{2}}$ )
$\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}$ – дивергенция тензора напряжений. ^[2]^[3]^[4] (единица: $\mathrm {Pa/m=kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-2}}$ )

Обычно используемые единицы СИ указаны в скобках, хотя уравнения носят общий характер, и в них можно вводить другие единицы или вообще удалять единицы путем обезразмеривания .

Обратите внимание, что для ясности выше мы используем только векторы-столбцы (в декартовой системе координат ), но уравнение записано с использованием физических компонентов (которые не являются ни ковариантами («столбец»), ни контравариантами («строка»)). ^[5] Однако если мы выбрали неортогональную криволинейную систему координат , то нам следует вычислить и записать уравнения в ковариантной («векторы-строки») или контравариантной («векторы-столбцы») форме.

После соответствующей замены переменных это также можно записать в форме сохранения :

${\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s}$

где $j$ — плотность импульса в данной точке пространства-времени, $F$ — поток, связанный с плотностью импульса, а $s$ содержит все объемные силы на единицу объема.

Дифференциальный вывод

Начнем с обобщенного принципа сохранения импульса , который можно записать следующим образом: «Изменение импульса системы пропорционально результирующей силе, действующей на эту систему». Оно выражается формулой: ^[6]

${\vec {p}}(t+\Delta t)-{\vec {p}}(t)=\Delta t{\vec {\bar {F}}}$

где ${\vec {p}}(t)$ — импульс в момент времени $t$ , а ${\vec {\bar {F}}}$ это сила, усредненная по $\Delta t$ . После деления на $\Delta t$ и переходя к пределу $\Delta t\to 0$ получаем ( производную ):

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}$

Давайте проанализируем каждую часть приведенного выше уравнения.

Правая сторона

Компонент X сил, действующих на стенки кубического жидкого элемента (зеленый для стенок сверху и снизу; красный для левой и правой частей; черный для передней и задней части).

На верхнем графике мы видим аппроксимацию функции $f(x)$ (синяя линия) с использованием конечной разности (желтая линия). На нижнем графике мы видим «бесконечно во много раз увеличенную окрестность точки $x_{1}$ " (фиолетовый квадрат на верхнем графике). На нижнем графике желтая линия полностью закрыта синей и поэтому не видна. На нижнем рисунке использованы две эквивалентные производные формы: ${\textstyle f'(x_{1})={\frac {df(x_{1})}{dx_{1}}}}$ ] и обозначение $\Delta f=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})$ был использован.

Мы разделяем силы на объемные силы ${\vec {F}}_{m}$ и надводные силы ${\vec {F}}_{p}$

${\vec {F}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}$

Поверхностные силы действуют на стенки кубического жидкого элемента. Для каждой стены X- компонента этих сил отмечена на рисунке кубическим элементом (в виде произведения напряжения и площади поверхности, например $-\sigma _{xx}\,dy\,dz$ с единицами ${\textstyle \mathrm {Pa\cdot m\cdot m={\frac {N}{m^{2}}}\cdot m^{2}=N} }$ ).

Пояснение значения сил (приближений и знаков минус), действующих на стенки куба.

It requires some explanation why stress applied to the walls covering the coordinate axes takes a minus sign (e.g. for the left wall we have $-\sigma _{xx}$ ). For simplicity, let us focus on the left wall with tension $-\sigma _{xx}$ . The minus sign is due to the fact that a vector normal to this wall ${\vec {n}}=[-1,0,0]=-{\vec {e}}_{x}$ is a negative unit vector. Then, we calculated the stress vector by definition ${\vec {s}}={\vec {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=[-\sigma _{xx},-\sigma _{xy},-\sigma _{xz}]$ , thus the X component of this vector is $s_{x}=-\sigma _{xx}$ (we use similar reasoning for stresses acting on the bottom and back walls, i.e.: $-\sigma _{yx},-\sigma _{zx}$ ).

The second element requiring explanation is the approximation of the values of stress acting on the walls opposite the walls covering the axes. Let us focus on the right wall where the stress is an approximation of stress $\sigma _{xx}$ from the left wall at points with coordinates $x+dx$ and it is equal to $\sigma _{xx}+{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}dx$ . This approximation suffices since, as $dx$ goes to zero, ${\frac {\sigma _{xx}(x+dx)-(\sigma _{xx}(x)+dx{\frac {\partial \sigma _{xx}(x)}{\partial x}})}{dx}}={\frac {\sigma _{xx}(x+dx)-\sigma _{xx}(x)}{dx}}-{\frac {\partial \sigma _{xx}(x)}{\partial x}}$ goes to zero as well, by definition of partial derivative.

A more intuitive representation of the value of approximation $\sigma _{xx}$ in point $x+dx$ has been shown in the figure below the cube. We proceed with similar reasoning for stress approximations $\sigma _{yx},\sigma _{zx}$ .

Сложив силы (их X- компоненты), действующие на каждую из стенок куба, получим:

$F_{p}^{x}=\left(\sigma _{xx}+{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}dx\right)dy\,dz-\sigma _{xx}dy\,dz+\left(\sigma _{yx}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}dy\right)dx\,dz-\sigma _{yx}dx\,dz+\left(\sigma _{zx}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}dz\right)dx\,dy-\sigma _{zx}dx\,dy$

После заказа $F_{p}^{x}$ и выполняя аналогичные рассуждения для компонентов $F_{p}^{y},F_{p}^{z}$ (на рисунке они не показаны, но это будут векторы, параллельные осям Y и Z соответственно) получаем:

${\begin{aligned}F_{p}^{x}&={\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{y}&={\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{z}&={\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy{\vphantom {\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}}\end{aligned}}$

Затем мы можем записать это в символической операционной форме:

${\vec {F}}_{p}=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\,dx\,dy\,dz$

Внутри контрольного объема действуют массовые силы. Мы можем записать их, используя поле ускорения $\mathbf {f}$ (например, гравитационное ускорение): ${\vec {F}}_{m}=\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz$

Левая сторона

Рассчитаем импульс куба: ${\vec {p}}=\mathbf {u} m=\mathbf {u} \rho \,dx\,dy\,dz$

Поскольку мы предполагаем, что испытуемая масса (куб) $m=\rho \,dx\,dy\,dz$ постоянна во времени, поэтому ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz$

Сравнение левой и правой стороны

У нас есть

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}$

затем

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}$ затем ${\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})dx\,dy\,dz+\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz$

Разделите обе части на $\rho \,dx\,dy\,dz$ , и потому что ${\textstyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}$ мы получаем: ${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f}$

что завершает вывод.

Интегральный вывод

Применение второго закона Ньютона ( $i$ -й компонент) к контрольному объему в моделируемом континууме дает:

$ma_{i}=F_{i}$

Тогда, основываясь на транспортной теореме Рейнольдса и используя обозначения материальной производной , можно записать

${\begin{aligned}\int _{\Omega }\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}\,dV&=\int _{\Omega }\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}\,dV+\int _{\Omega }\rho f_{i}\,dV\\\int _{\Omega }\left(\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}\right)\,dV&=0\\\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}&=0\\{\frac {Du_{i}}{Dt}}-{\frac {\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}}{\rho }}-f_{i}&=0\end{aligned}}$

где $Ω$ представляет собой контрольный объем. Поскольку это уравнение должно выполняться для любого контрольного объема, должно быть верно, что подынтегральная функция равна нулю, из чего следует уравнение импульса Коши. Основным шагом (не выполненным выше) при выводе этого уравнения является установление того, что тензора напряжений является одной из сил, составляющих $Fi .$ производная ^[1]

Форма сохранения

Уравнение количества движения Коши также можно представить в следующем виде:

Уравнение импульса Коши (форма сохранения)

${\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s}$

просто определив:

${\begin{aligned}{\mathbf {j} }&=\rho \mathbf {u} \\{\mathbf {F} }&=\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -{\boldsymbol {\sigma }}\\{\mathbf {s} }&=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}$

где $j$ - плотность импульса в рассматриваемой точке континуума (для которой справедливо уравнение неразрывности ), $F$ - поток, связанный с плотностью импульса, а $s$ содержит все объемные силы на единицу объема. $u \otimes u$ — диада скорости.

Здесь $j$ и $s$ имеют то же число размерностей $N,$ что и скорость потока и ускорение тела, а $F$ , будучи тензором , имеет $N 2$ . ^{[примечание 1]}

В эйлеровых формах очевидно, что предположение об отсутствии девиаторного напряжения приводит уравнения Коши к уравнениям Эйлера .

Конвективное ускорение

Существенной особенностью уравнений Навье – Стокса является наличие конвективного ускорения: эффекта независимого от времени ускорения потока относительно пространства. Хотя отдельные частицы континуума действительно испытывают ускорение, зависящее от времени, конвективное ускорение поля потока представляет собой пространственный эффект, одним из примеров является ускорение жидкости в сопле.

Независимо от того, о каком континууме идет речь, конвективное ускорение является нелинейным эффектом. Конвективное ускорение присутствует в большинстве течений (исключение составляет одномерное несжимаемое течение), но его динамический эффект не учитывается в ползущем течении (также называемом течением Стокса). Конвективное ускорение представлено нелинейной величиной $u \cdot \nabla u$ , которую можно интерпретировать либо как $(u \cdot \nabla) u$ , либо как $u \cdot (\nabla u)$ , где $\nabla u -$ тензорная производная вектора скорости $u$ . Обе интерпретации дают один и тот же результат. ^[7]

Оператор адвекции против тензорной производной

Конвективное ускорение $(u \cdot \nabla) u$ можно рассматривать как оператор адвекции $u \cdot \nabla,$ действующий на поле скорости $u$ . ^[7] Это контрастирует с выражением через тензорную производную $\nabla u$ , которая является покомпонентной производной вектора скорости, определенного формулой $[\nabla u] mi = \partial m v i$ , так что $\left[\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)\right]_{i}=\sum _{m}v_{m}\partial _{m}v_{i}=\left[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right]_{i}\,.$

Форма ягненка

Тождество векторного исчисления векторного произведения ротора имеет место:

$\mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {a} \right)=\nabla _{a}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)-\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {a}$

где используется индекс Фейнмана $\nabla a$ , что означает, что индексированный градиент действует только с коэффициентом $a$ .

Лэмб в своей знаменитой классической книге «Гидродинамика» (1895 г.) ^[8] использовал это тождество для изменения конвективного члена скорости потока во вращательной форме, т.е. без тензорной производной: ^[9]^[10]

$\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u}$

где вектор $\mathbf {l} =\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u}$ называется вектором Лэмба . Уравнение импульса Коши принимает вид:

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f}$

Используя личность:

$\nabla \cdot \left({\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho$

уравнение Коши принимает вид:

$\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)-\mathbf {f} ={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$

Действительно, в случае внешнего консервативного поля , определив его потенциал $φ$ :

$\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$

В случае установившегося течения производная скорости потока по времени исчезает, поэтому уравнение количества движения принимает вид:

$\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )$

А при проектировании уравнения количества движения на направление потока, то есть вдоль линии тока , векторное произведение исчезает из-за идентичности векторного исчисления тройного скалярного произведения :

$\mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho )$

Если тензор напряжений изотропен, то в него входит только давление: ${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I}$ (где $I$ — единичный тензор), а уравнение количества движения Эйлера в стационарном несжимаемом случае принимает вид:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0$

В устойчивом несжимаемом случае уравнение массы имеет простой вид:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\,,$

то есть закон сохранения массы для стационарного несжимаемого потока утверждает, что плотность вдоль линии тока постоянна . Это приводит к значительному упрощению уравнения количества движения Эйлера:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0$

удобство определения полного напора Теперь очевидно для потока невязкой жидкости:

$b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\,,$

Фактически, приведенное выше уравнение можно просто записать как:

$\mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0$

То есть баланс импульсов для устойчивого невязкого и несжимаемого течения во внешнем консервативном поле утверждает, что общий напор вдоль линии тока постоянен .

Безвихревые потоки

Форма Лэмба также полезна в безвихревом потоке, где ротор скорости (называемый завихренностью ) $ω = \nabla \times u$ равен нулю. В этом случае конвекционный член в $D\mathbf {u} /Dt$ сводится к

$\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right).$

Стрессы

Влияние напряжения в сплошном потоке представлено членами $\nabla p$ и $\nabla \cdot τ$ ; это градиенты поверхностных сил, аналогичные напряжениям в твердом теле. Здесь $\nabla p$ — градиент давления, возникающий из изотропной части тензора напряжений Коши . Эта часть представлена нормальными напряжениями , возникающими практически во всех ситуациях. Анизотропная часть тензора напряжений приводит к возникновению $\nabla \cdot τ$ , которое обычно описывает вязкие силы; для несжимаемого течения это только эффект сдвига. Таким образом, $τ$ – тензор девиаторных напряжений , а тензор напряжений равен: ^[11]

${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}$

где $I$ — единичная матрица в рассматриваемом пространстве, а $τ —$ тензор сдвига.

Все нерелятивистские уравнения сохранения импульса, такие как уравнение Навье-Стокса , можно вывести, начав с уравнения импульса Коши и задав тензор напряжений через определяющее соотношение . Выражая тензор сдвига через вязкость жидкости и скорость и предполагая постоянные плотность и вязкость, уравнение количества движения Коши приведет к уравнениям Навье – Стокса . Предполагая невязкое течение , уравнения Навье-Стокса можно дополнительно упростить до уравнений Эйлера .

Дивергенцию тензора напряжений можно записать как

$\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}.$

Влияние градиента давления на поток заключается в ускорении потока в направлении от высокого давления к низкому давлению.

Как записано в уравнении импульса Коши, члены напряжения $p$ и $τ$ еще неизвестны, поэтому само по себе это уравнение не может использоваться для решения проблем. Помимо уравнений движения — второго закона Ньютона — необходима силовая модель, связывающая напряжения с движением потока. ^[12] По этой причине для определения напряжений через другие переменные потока, такие как скорость и плотность, часто применяются предположения, основанные на естественных наблюдениях.

Внешние силы

Векторное поле $f$ представляет объемные силы на единицу массы. Обычно они состоят только из ускорения силы тяжести , но могут включать и другие, например, электромагнитные силы. В неинерциальных системах координат другие «инерционные ускорения», связанные с вращающимися координатами могут возникнуть .

Часто эти силы могут быть представлены как градиент некоторой скалярной величины $χ$ с $f = \nabla χ,$ и в этом случае их называют консервативными силами . Например, гравитация в $направлении z$ представляет собой градиент $- ρgz$ . Поскольку давление от такой гравитации возникает только в виде градиента, мы можем включить его в термин давления как объемную силу $h = p - χ$ . Члены давления и силы в правой части уравнения Навье – Стокса становятся

$-\nabla p+\mathbf {f} =-\nabla p+\nabla \chi =-\nabla \left(p-\chi \right)=-\nabla h.$

В понятие стресса также можно включить внешние воздействия. ${\boldsymbol {\sigma }}$ а не термин объемной силы. Сюда могут даже относиться антисимметричные напряжения (вклады углового момента), в отличие от обычно симметричных внутренних вкладов в тензор напряжений. ^[13]

Безразмерность

Чтобы сделать уравнения безразмерными, $характерную длину r 0$ и характеристическую скорость $u 0$ необходимо определить . Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом, получаются следующие безразмерные переменные:

${\begin{aligned}\rho ^{*}&\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}}&u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}}&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}}&t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t\\[6pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla &\mathbf {f} ^{*}&\equiv {\frac {\mathbf {f} }{f_{0}}}&p^{*}&\equiv {\frac {p}{p_{0}}}&{\boldsymbol {\tau }}^{*}&\equiv {\frac {\boldsymbol {\tau }}{\tau _{0}}}\end{aligned}}$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения движения Эйлера дает:

${\frac {\rho _{0}u_{0}^{2}}{r_{0}}}{\frac {\partial \rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\nabla ^{*}}{r_{0}}}\cdot \left(\rho _{0}u_{0}^{2}\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+p_{0}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{r_{0}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+f_{0}\mathbf {f} ^{*}$

и разделив на первый коэффициент:

${\frac {\partial \mathbf {\rho } ^{*}u^{*}}{\partial t^{*}}}+\nabla ^{*}\cdot \left(\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+{\frac {f_{0}r_{0}}{u_{0}^{2}}}\mathbf {f} ^{*}$

Теперь определяем число Фруда :

$\mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}^{2}}{f_{0}r_{0}}},$

число Эйлера :

$\mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},$

и коэффициент поверхностного трения или тот, который обычно называют « коэффициентом сопротивления » в области аэродинамики:

$C_{\mathrm {f} }={\frac {2\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},$

переходя соответственно к консервативным переменным , т.е. плотности импульса и плотности силы :

${\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\\mathbf {g} &=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}$

уравнения окончательно выражаются (теперь без индексов):

Уравнение импульса Коши ( безразмерная консервативная форма )

${\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+{\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {g}$

Уравнения Коши в пределе Фруда $Fr \to \infty$ (соответствующем пренебрежимо малому внешнему полю) называются свободными уравнениями Коши:

Свободное уравнение импульса Коши ( безразмерная консервативная форма )

${\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}$

и в конечном итоге могут быть уравнениями сохранения . Таким образом, предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле) примечателен для таких уравнений и изучается с помощью теории возмущений .

Наконец, в конвективной форме уравнения имеют вид:

Уравнение импульса Коши ( безразмерная конвективная форма )

${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} \,{\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {f}$

3D явные конвективные формы

Декартовы 3D координаты

Для асимметричных тензоров напряжений уравнения в общем случае принимают следующий вид: ^[2]^[3]^[4]^[14]

${\begin{aligned}x&:&{\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\right)+f_{x}\\[8pt]y&:&{\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\right)+f_{y}\\[8pt]z&:&{\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\right)+f_{z}\end{aligned}}$

Цилиндрические 3D координаты

Ниже мы запишем основное уравнение в форме давление-тау, полагая, что тензор напряжений симметричен ( $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\Longrightarrow \tau _{ij}=\tau _{ji}$ ):

${\begin{aligned}r&:&{\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {u_{\phi }^{2}}{r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \left(r\tau _{rr}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi r}}{\partial \phi }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{zr}}{\partial z}}-{\frac {\tau _{\phi \phi }}{r\rho }}+f_{r}\\[8pt]\phi &:&{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial z}}+{\frac {u_{r}u_{\phi }}{r}}&=-{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial P}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r^{2}\rho }}{\frac {\partial \left(r^{2}\tau _{r\phi }\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{z\phi }}{\partial z}}+f_{\phi }\\[8pt]z&:&{\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{z}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi z}}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \left(r\tau _{rz}\right)}{\partial r}}+f_{z}\end{aligned}}$

См. также

Примечания

^ Например, в 3D относительно некоторой системы координат вектор $j$ имеет 3 компонента, а тензоры $σ$ и $F$ имеют 9 (3×3), поэтому явные формы, записанные в виде матриц, будут такими: ${\begin{aligned}{\mathbf {j} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {s} }&={\begin{pmatrix}\rho g_{1}\\\rho g_{2}\\\rho g_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {F} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}^{2}+\sigma _{11}&\rho u_{1}u_{2}+\sigma _{12}&\rho u_{1}u_{3}+\sigma _{13}\\\rho u_{2}u_{1}+\sigma _{12}&\rho u_{2}^{2}+\sigma _{22}&\rho u_{2}u_{3}+\sigma _{23}\\\rho u_{3}u_{1}+\sigma _{13}&\rho u_{3}u_{2}+\sigma _{23}&\rho u_{3}^{2}+\sigma _{33}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ Однако обратите внимание, что если $F$ симметричен, он будет содержать только 6 степеней свободы . А $симметрия F$ эквивалентна $симметрии σ$ (которая будет присутствовать для наиболее распространенных тензоров напряжений Коши ), поскольку диады векторов сами с собой всегда симметричны.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета . п. 205. ИСБН 0-19-859679-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Бердал, CI; Стрэнг, WZ (октябрь 1986 г.). Поведение асимметричного тензора напряжений, находящегося под влиянием завихренности, в потоке жидкости (PDF) (Отчет). АВИАЦИОННЫЕ ЛАБОРАТОРИИ ВВС РАЙТА. п. 13 (Под основным уравнением авторы описывают $\sigma _{ki,k}=\partial \sigma _{ki}/\partial x_{k}=\nabla \cdot \sigma$ ).
^ Jump up to: ^а ^б Папанастасиу, Тасос К.; Георгиу, Георгиос К.; Александру, Андреас Н. (2000). Поток вязкой жидкости (PDF) . ЦРК Пресс. С. 66, 68, 143, 182 (авторы используют $\nabla \cdot \mathbb {\sigma } =\nabla \cdot (p\mathbf {I} +\mathbf {\tau } )$ ). ISBN 0-8493-1606-5 .
^ Jump up to: ^а ^б Дин, Уильям М. (2016). Введение в химическую механику жидкости . Издательство Кембриджского университета. стр. 133–136. ISBN 978-1-107-12377-9 .
^ Дэвид А. Кларк (2011). «Букварь по тензорному исчислению» (PDF) . п. 11 (pdf 15).
^ Андерсон, Джон Д. младший (1995). Вычислительная гидродинамика (PDF) . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 61–64. ISBN 0-07-001685-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Эмануэль, Г. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). ЦРК Пресс. стр. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8 .
^ Лэмб, Гораций (1932). «Гидродинамика» (6-е изд.). Дуврские публикации.
^ Бэтчелор, ГК (1967). «§3.5». Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. п. 160. ИСБН 0-521-66396-2 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Конвективная производная» . Математический мир .
^ Бэтчелор (1967) , стр. 142.
^ Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (1963), Лекции Фейнмана по физике , Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, Том. 1, §9–4 и §12–1, ISBN 0-201-02116-1
^ Далер, Дж.С.; Скривен, Л.Е. (1961). «Угловой момент континуума». Природа . 192 (4797): 36–37. Бибкод : 1961Natur.192...36D . дои : 10.1038/192036a0 . ISSN 0028-0836 . S2CID 11034749 .
^ Пауэлл, Адам (12 апреля 2010 г.). «Уравнения Навье-Стокса» (PDF) . п. 2 (Автор использует $\nabla \cdot \mathbb {\sigma } =\nabla \cdot (p\mathbf {I} +\mathbf {\tau } )$ ).

[7] Например, в 3D относительно некоторой системы координат вектор $j$ имеет 3 компонента, а тензоры $σ$ и $F$ имеют 9 (3×3), поэтому явные формы, записанные в виде матриц, будут такими: ${\begin{aligned}{\mathbf {j} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {s} }&={\begin{pmatrix}\rho g_{1}\\\rho g_{2}\\\rho g_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {F} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}^{2}+\sigma _{11}&\rho u_{1}u_{2}+\sigma _{12}&\rho u_{1}u_{3}+\sigma _{13}\\\rho u_{2}u_{1}+\sigma _{12}&\rho u_{2}^{2}+\sigma _{22}&\rho u_{2}u_{3}+\sigma _{23}\\\rho u_{3}u_{1}+\sigma _{13}&\rho u_{3}u_{2}+\sigma _{23}&\rho u_{3}^{2}+\sigma _{33}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ Однако обратите внимание, что если $F$ симметричен, он будет содержать только 6 степеней свободы . А $симметрия F$ эквивалентна $симметрии σ$ (которая будет присутствовать для наиболее распространенных тензоров напряжений Коши ), поскольку диады векторов сами с собой всегда симметричны.

[Acheson-1] Jump up to: ^а ^б Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета . п. 205. ИСБН 0-19-859679-0 .

[Berdahl-2] Jump up to: ^а ^б Бердал, CI; Стрэнг, WZ (октябрь 1986 г.). Поведение асимметричного тензора напряжений, находящегося под влиянием завихренности, в потоке жидкости (PDF) (Отчет). АВИАЦИОННЫЕ ЛАБОРАТОРИИ ВВС РАЙТА. п. 13 (Под основным уравнением авторы описывают $\sigma _{ki,k}=\partial \sigma _{ki}/\partial x_{k}=\nabla \cdot \sigma$ ).

[Papanastasiou-3] Jump up to: ^а ^б Папанастасиу, Тасос К.; Георгиу, Георгиос К.; Александру, Андреас Н. (2000). Поток вязкой жидкости (PDF) . ЦРК Пресс. С. 66, 68, 143, 182 (авторы используют $\nabla \cdot \mathbb {\sigma } =\nabla \cdot (p\mathbf {I} +\mathbf {\tau } )$ ). ISBN 0-8493-1606-5 .

[William-4] Jump up to: ^а ^б Дин, Уильям М. (2016). Введение в химическую механику жидкости . Издательство Кембриджского университета. стр. 133–136. ISBN 978-1-107-12377-9 .

[Clarke2011-5] Дэвид А. Кларк (2011). «Букварь по тензорному исчислению» (PDF) . п. 11 (pdf 15).

[Anderson-6] Андерсон, Джон Д. младший (1995). Вычислительная гидродинамика (PDF) . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 61–64. ISBN 0-07-001685-2 .

[Emanuel-8] Jump up to: ^а ^б Эмануэль, Г. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). ЦРК Пресс. стр. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8 .

[9] Лэмб, Гораций (1932). «Гидродинамика» (6-е изд.). Дуврские публикации.

[10] Бэтчелор, ГК (1967). «§3.5». Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. п. 160. ИСБН 0-521-66396-2 .

[11] Вайсштейн, Эрик В. «Конвективная производная» . Математический мир .

[FOOTNOTEBatchelor1967142-12] Бэтчелор (1967) , стр. 142.

[13] Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (1963), Лекции Фейнмана по физике , Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, Том. 1, §9–4 и §12–1, ISBN 0-201-02116-1

[DahlerScriven1961-14] Далер, Дж.С.; Скривен, Л.Е. (1961). «Угловой момент континуума». Природа . 192 (4797): 36–37. Бибкод : 1961Natur.192...36D . дои : 10.1038/192036a0 . ISSN 0028-0836 . S2CID 11034749 .

[15] Пауэлл, Адам (12 апреля 2010 г.). «Уравнения Навье-Стокса» (PDF) . п. 2 (Автор использует $\nabla \cdot \mathbb {\sigma } =\nabla \cdot (p\mathbf {I} +\mathbf {\tau } )$ ).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[примечание 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]