Уравнения Бернетта

В механике сплошной среды , разделе математики, уравнения Бернетта представляют собой набор уравнений сплошной среды высшего порядка для неравновесных потоков и переходных режимов, в которых уравнения Навье-Стокса не работают хорошо. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Их вывел английский математик Д. Бернетт. ^{[ 4 ]}

Расширение серии

Подход к расширению серии

Метод разложения в ряд, используемый для вывода уравнений Бернетта, включает расширение функции распределения. $f$ в уравнении Больцмана в виде степенного ряда по числу Кнудсена $Kn$ :

$f(r,c,t)=f^{(0)}(c|n,u,T)\left[1+K_{n}\phi ^{(1)}(c|n,u,T)+K_{n}^{2}\phi ^{(2)}(c|n,u,T)+\cdots \right]$

Здесь, $f^{(0)}(c|n,u,T)$ представляет собой равновесную функцию распределения Максвелла-Больцмана , зависящую от плотности числа $n$ , макроскопическая скорость $u$ и температура $T$ . Условия $\phi ^{(1)},\phi ^{(2)},$ и т. д. представляют собой поправки более высокого порядка, учитывающие неравновесные эффекты , причем каждый последующий член включает более высокие степени числа Кнудсена. $Kn$ .

Вывод

Член первого порядка $f^{(1)}$ в разложении дает уравнения Навье-Стокса , в которые входят члены для вязкости и теплопроводности. Чтобы получить уравнения Бернетта, необходимо сохранить члены до второго порядка, соответствующие $\phi ^{(2)}$ . Уравнения Бернетта включают дополнительные производные второго порядка скорости, температуры и плотности, представляющие более тонкие эффекты неравновесной газовой динамики.

Уравнения Бернетта можно выразить как:

$\mathbf {u} _{t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\nabla \cdot (\nu \nabla \mathbf {u} )+{\text{higher-order terms}}$

Здесь к « членам высшего порядка » относятся градиенты скорости и температуры второго порядка, которые отсутствуют в уравнениях Навье-Стокса. Эти члены становятся значимыми в ситуациях с высокими числами Кнудсена, когда предположения модели Навье-Стокса не работают.

Расширения

Уравнения Онзагера-Бернетта, обычно называемые О'Бернеттом, которые образуют надмножество уравнений Навье-Стокса и представляют собой второй порядок точности для числа Кнудсена . ^{[ 5 ]}

уравнение (1) ${\sqrt {\tau }}{\frac {du^{s}}{ds}}-{\frac {9}{8}}\alpha _{1}u^{*}({\frac {du^{*}}{ds}})^{2}={\frac {\tau }{u^{*}}}-\tau _{0}-1+u^{*}$

уравнение (2) ${\frac {45}{16}}{\sqrt {\tau }}{\frac {d\tau }{ds}}+{\frac {9}{4}}\gamma _{1}\tau ({\frac {du^{*}}{ds}})^{2}-{\frac {9}{4}}\Psi u^{*}{\frac {d\tau }{ds}}{\frac {du^{*}}{ds}}={\frac {3}{2}}(\tau -\tau _{0})-{\frac {1}{2}}(1-u^{*})^{2}-\tau _{0}(1-u^{*})$ ^{[ 6 ]}

Вывод

Начиная с уравнения Больцмана ${\frac {\partial {f}}{\partial {t}}}+c_{k}\partial {f}{x_{k}}+F_{k}\partial {f}{c_{k}}=J(f,f_{1})$

См. также

Ссылки

^ «Без текста — Большая Химическая Энциклопедия» .
^ Сингх, Нарендра; Агравал, Амит (2014). «Уравнения Бернетта в цилиндрических координатах и их решение для течения в микротрубке» . Журнал механики жидкости . 751 : 121–141. Бибкод : 2014JFM...751..121S . дои : 10.1017/jfm.2014.290 .
^ Агравал, Амит; Кушваха, Хари Мохан; Джадхав, Рави Судам (2020). «Уравнения Бернетта: вывод и анализ» . Микромасштабный поток и теплопередача . Серия «Машиностроение». стр. 125–188. дои : 10.1007/978-3-030-10662-1_5 . ISBN 978-3-030-10661-4 .
^ Бернетт, Д. (1936). «Распределение молекулярных скоростей и среднее движение в неоднородном газе». Труды Лондонского математического общества . с2-40(1): 382–435. дои : 10.1112/plms/s2-40.1.382 .
^ Джадхав, Рави Судам; Агравал, Амит (23 декабря 2021 г.). «Ударные структуры, использующие уравнения О'Бернетта в сочетании с гипотезой Холиана» . Жидкости . 6 (12): 427. Бибкод : 2021Жидкость...6..427J . дои : 10.3390/fluids6120427 .
^ Агарвал, Рамеш К.; Юн, Кеон-Янг; Балакришнан, Рамеш (1 октября 2001 г.). «Помимо Навье – Стокса: уравнения Бернетта для потоков в режиме континуум – переход» . Физика жидкостей . 13 (10): 3061–3085. Бибкод : 2001PhFl...13.3061A . дои : 10.1063/1.1397256 .

Дальнейшее чтение

Гарсиа-Колин, Л.С.; Веласко, РМ; Урибе, Ф.Дж. (август 2008 г.). «Помимо уравнений Навье – Стокса: гидродинамика Бернетта». Отчеты по физике . 465 (4): 149–189. Бибкод : 2008ФР...465..149Г . дои : 10.1016/j.physrep.2008.04.010 .

Эта математике статья по незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] «Без текста — Большая Химическая Энциклопедия» .

[2] Сингх, Нарендра; Агравал, Амит (2014). «Уравнения Бернетта в цилиндрических координатах и их решение для течения в микротрубке» . Журнал механики жидкости . 751 : 121–141. Бибкод : 2014JFM...751..121S . дои : 10.1017/jfm.2014.290 .

[3] Агравал, Амит; Кушваха, Хари Мохан; Джадхав, Рави Судам (2020). «Уравнения Бернетта: вывод и анализ» . Микромасштабный поток и теплопередача . Серия «Машиностроение». стр. 125–188. дои : 10.1007/978-3-030-10662-1_5 . ISBN 978-3-030-10661-4 .

[4] Бернетт, Д. (1936). «Распределение молекулярных скоростей и среднее движение в неоднородном газе». Труды Лондонского математического общества . с2-40(1): 382–435. дои : 10.1112/plms/s2-40.1.382 .

[5] Джадхав, Рави Судам; Агравал, Амит (23 декабря 2021 г.). «Ударные структуры, использующие уравнения О'Бернетта в сочетании с гипотезой Холиана» . Жидкости . 6 (12): 427. Бибкод : 2021Жидкость...6..427J . дои : 10.3390/fluids6120427 .

[6] Агарвал, Рамеш К.; Юн, Кеон-Янг; Балакришнан, Рамеш (1 октября 2001 г.). «Помимо Навье – Стокса: уравнения Бернетта для потоков в режиме континуум – переход» . Физика жидкостей . 13 (10): 3061–3085. Бибкод : 2001PhFl...13.3061A . дои : 10.1063/1.1397256 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]