Совместимость (механика)

В механике сплошной среды совместимым тензорное деформаций (или деформаций ) тензорным полем тела является то уникальное поле, которое получается, когда тело подвергается воздействию непрерывного , однозначного поля смещений . Совместимость – это исследование условий, при которых такое поле смещений может быть гарантировано. Условия совместимости являются частными случаями условий интегрируемости и были впервые выведены для линейной упругости Барре де Сен-Венаном в 1864 году и строго доказаны Бельтрами в 1886 году.

При континуальном описании твердого тела мы представляем, что тело состоит из набора бесконечно малых объемов или материальных точек. Предполагается, что каждый том соединен со своими соседями без каких-либо зазоров или перекрытий. Должны быть выполнены определенные математические условия, чтобы гарантировать, что при деформации сплошного тела не возникнут зазоры/перекрытия. Тело, которое деформируется без образования зазоров/перекрытий, называется совместимым телом. Условия совместимости — это математические условия, которые определяют, оставит ли конкретная деформация тело в совместимом состоянии.

В контексте теории бесконечно малых деформаций эти условия эквивалентны утверждению, что смещения в теле могут быть получены путем интегрирования деформаций . Такое интегрирование возможно, если тензор Сен-Венана (или тензор несовместимости) ${\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {\varepsilon }})$ исчезает в односвязном теле где ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ – тензор бесконечно малых деформаций и

${\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}~.$

При конечных деформациях условия совместности принимают вид

${\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}$

где ${\boldsymbol {F}}$ – градиент деформации .

Условия совместимости для бесконечно малых деформаций.

Условия совместимости в линейной упругости получены путем наблюдения за тем, что существует шесть соотношений деформации и смещения, которые являются функциями только трех неизвестных смещений. Это говорит о том, что три смещения можно исключить из системы уравнений без потери информации. Полученные выражения, выражающие только деформации, дают ограничения на возможные формы поля деформаций.

2-мерное

Для двумерных задач плоской деформации соотношения деформации-перемещения имеют вид

$\varepsilon _{11}={\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}~;~~\varepsilon _{12}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right]~;~~\varepsilon _{22}={\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}$

Повторное дифференцирование этих отношений с целью устранения смещений $u_{1}$ и $u_{2}$, дает нам двумерное условие совместимости для деформаций

${\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{11}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{22}}{\partial x_{1}^{2}}}=0$

Единственное поле смещений, которое допускается совместимым полем плоской деформации, - это поле плоских смещений , т. е. $\mathbf {u} =\mathbf {u} (x_{1},x_{2})$.

3-мерное

В трех измерениях, помимо еще двух уравнений вида, наблюдаемого для двух измерений, существуютеще три уравнения вида

${\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{33}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}={\cfrac {\partial }{\partial x_{3}}}\left[{\cfrac {\partial \varepsilon _{23}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial \varepsilon _{31}}{\partial x_{2}}}-{\cfrac {\partial \varepsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right]$

Следовательно, есть 3 ⁴ =81 уравнение в частных производных, однако из-за условий симметрии это число сокращается до шести различных условий совместимости. Мы можем записать эти условия в индексной записи как

$e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}=0$

где $e_{ijk}$ является символом перестановки . В прямой тензорной записи

${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}$

где оператор ротора может быть выражен в ортонормированной системе координат как ${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}\varepsilon _{rj,i}\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{r}$.

Тензор второго порядка

${\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}~;~~R_{rs}:=e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}$

известен как тензор несовместимости и эквивалентен тензору совместимости Сен-Венана.

Условия совместимости для конечных деформаций

Для твердых тел, в которых деформации не обязаны быть малыми, условия совместности принимают вид

${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}$

где ${\boldsymbol {F}}$ – градиент деформации . В терминах компонентов относительно декартовой системы координат мы можем записать эти отношения совместимости как

$e_{ABC}~{\cfrac {\partial F_{iB}}{\partial X_{A}}}=0$

Это условие необходимо , если деформация должна быть непрерывной и выводиться из отображения $\mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} ,t)$ (см. Теорию конечных деформаций ). Этого же условия достаточно и для обеспечения совместимости в односвязном теле.

Условие совместимости правого тензора деформации Коши-Грина

Условие совместности правого тензора деформации Коши-Грина можно выразить как

$R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0$

где $\Gamma _{ij}^{k}$ — символ Кристоффеля второго рода . Количество $R_{ijk}^{m}$ представляет собой смешанные компоненты тензора кривизны Римана-Кристофеля .

Общая проблема совместимости

Задача совместности в механике сплошной среды заключается в определении допустимых однозначных непрерывных полей на односвязных телах. Более точно задачу можно сформулировать следующим образом.

Рис. 1. Движение сплошного тела.

Рассмотрим деформацию тела, показанную на рисунке 1. Если выразить все векторы через опорную систему координат $\{(\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2},\mathbf {E} _{3}),O\}$, перемещение точки тела определяется выражением

$\mathbf {u} =\mathbf {x} -\mathbf {X} ~;~~u_{i}=x_{i}-X_{i}$

Также

${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {X} }}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}$

Какие условия на данное тензорное поле второго порядка ${\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )$ на теле необходимы и достаточны для того, чтобы существовало единственное векторное поле $\mathbf {v} (\mathbf {X} )$ это удовлетворяет

${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} ={\boldsymbol {A}}\quad \equiv \quad v_{i,j}=A_{ij}$

Необходимые условия

Для необходимых условий полагаем, что поле $\mathbf {v}$ существует и удовлетворяет $v_{i,j}=A_{ij}$. Затем

$v_{i,jk}=A_{ij,k}~;~~v_{i,kj}=A_{ik,j}$

Поскольку изменение порядка дифференцирования не влияет на результат, который мы имеем

$v_{i,jk}=v_{i,kj}$

Следовательно

$A_{ij,k}=A_{ik,j}$

Из известного тождества для ротора тензора получаем необходимое условие

${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}$

Достаточные условия

Рисунок 2. Пути интеграции, использованные при доказательстве достаточных условий совместимости.

Чтобы доказать, что этого условия достаточно, чтобы гарантировать существование совместимого тензорного поля второго порядка, мы начнем с предположения, что поле ${\boldsymbol {A}}$ существует такое, что ${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}$. Мы проинтегрируем это поле, чтобы найти векторное поле $\mathbf {v}$ вдоль линии между точками $A$ и $B$ (см. рисунок 2), т.е.

$\mathbf {v} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {v} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot ~d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )\cdot d\mathbf {X}$

Если векторное поле $\mathbf {v}$ должно быть однозначным, то значение интеграла должно быть независимым от пути, пройденного для перехода от $A$ к $B$.

По теореме Стокса интеграл от тензора второго порядка по замкнутому пути определяется выражением

$\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =\int _{\Omega }\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})~da$

Используя предположение, что ротор ${\boldsymbol {A}}$ равен нулю, мы получаем

$\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =0\quad \implies \quad \int _{AB}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} +\int _{BA}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} =0$

Следовательно, интеграл не зависит от пути, и условие совместимости достаточно для обеспечения уникальности. $\mathbf {v}$ поле при условии, что тело односвязно.

Совместимость градиента деформации

Условие совместности градиента деформации получается непосредственно из приведенного выше доказательства, если учесть, что

${\boldsymbol {F}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {x}$

Тогда необходимые и достаточные условия существования совместимого ${\boldsymbol {F}}$ поле над односвязным телом

${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}$

Совместимость бесконечно малых штаммов

Проблему совместимости для малых штаммов можно сформулировать следующим образом.

Учитывая симметричное тензорное поле второго порядка ${\boldsymbol {\epsilon }}$ когда можно построить векторное поле $\mathbf {u}$ такой, что

${\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]$

Необходимые условия

Предположим, что существует $\mathbf {u}$ такое, что выражение для ${\boldsymbol {\epsilon }}$ держит. Сейчас

${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }}$

где

${\boldsymbol {\omega }}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]$

Поэтому в индексной записи

${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\omega }}\equiv \omega _{ij,k}={\frac {1}{2}}(u_{i,jk}-u_{j,ik})={\frac {1}{2}}(u_{i,jk}+u_{k,ji}-u_{j,ik}-u_{k,ji})=\varepsilon _{ik,j}-\varepsilon _{jk,i}$

Если ${\boldsymbol {\omega }}$ непрерывно дифференцируемо, мы имеем $\omega _{ij,kl}=\omega _{ij,lk}$. Следовательно,

$\varepsilon _{ik,jl}-\varepsilon _{jk,il}-\varepsilon _{il,jk}+\varepsilon _{jl,ik}=0$

В прямой тензорной записи

${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}$

Вышеперечисленное является необходимым условием. Если $\mathbf {w}$ — бесконечно малый вектор вращения, тогда ${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T}$. Следовательно, необходимое условие можно также записать в виде ${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T})^{T}={\boldsymbol {0}}$.

Достаточные условия

Предположим теперь, что условие ${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}$ удовлетворяется в какой-то части тела. Достаточно ли этого условия, чтобы гарантировать существование непрерывного однозначного поля смещений? $\mathbf {u}$?

Первый шаг в этом процессе — показать, что из этого условия следует, что тензор бесконечно малого вращения ${\boldsymbol {\omega }}$ определяется однозначно. Для этого мы интегрируем ${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w}$ по пути $\mathbf {X} _{A}$ к $\mathbf {X} _{B}$, то есть,

$\mathbf {w} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X}$

Обратите внимание, что нам нужно знать ссылку $\mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})$ для фиксации вращения твердого тела. Поле $\mathbf {w} (\mathbf {X} )$ однозначно определяется только в том случае, если контурный интеграл по замкнутому контуру между $\mathbf {X} _{A}$ и $\mathbf {X} _{b}$ равен нулю, т.е.

$\oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} ={\boldsymbol {0}}$

Но из теоремы Стокса для односвязного тела и необходимого условия совместности

$\oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})~da={\boldsymbol {0}}$

Следовательно, поле $\mathbf {w}$ определяется однозначно, из чего следует, что тензор бесконечно малого вращения ${\boldsymbol {\omega }}$ также определяется однозначно, если тело односвязно.

На следующем этапе процесса мы рассмотрим уникальность поля смещений. $\mathbf {u}$. Как и раньше, мы интегрируем градиент смещения

$\mathbf {u} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {u} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X}$

Из теоремы Стокса и используя соотношения ${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} =-{\boldsymbol {\nabla }}\times \omega$ у нас есть

$\oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\omega }})~da={\boldsymbol {0}}$

Следовательно, поле смещений $\mathbf {u}$ также определяется однозначно. Следовательно, условия совместности достаточны, чтобы гарантировать существование единственного поля смещений. $\mathbf {u}$ в односвязном теле.

Совместимость с правым полем деформации Коши-Грина

Задачу совместности для правого поля деформации Коши-Грина можно поставить следующим образом.

Проблема: Пусть ${\boldsymbol {C}}(\mathbf {X} )$ быть положительно определенным симметричным тензорным полем, определенным в эталонной конфигурации. При каких условиях на ${\boldsymbol {C}}$ существует ли деформированная конфигурация, отмеченная полем позиции $\mathbf {x} (\mathbf {X} )$ такой, что

$(1)\quad \left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\right)^{T}\left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\right)={\boldsymbol {C}}$

Необходимые условия

Предположим, что поле $\mathbf {x} (\mathbf {X} )$ существует такое, которое удовлетворяет условию (1). В терминах компонентов относительно прямоугольного декартова базиса

${\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }$

Из теории конечных деформаций мы знаем, что $C_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }$. Следовательно, мы можем написать

$\delta _{ij}~{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=g_{\alpha \beta }$

Для двух симметричных тензорных полей второго порядка, взаимно однозначно отображающихся, мы также имеем соотношение

$G_{ij}={\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~g_{\alpha \beta }$

Из отношения между $G_{ij}$ и $g_{\alpha \beta }$ что $\delta _{ij}=G_{ij}$, у нас есть

$_{(x)}\Gamma _{ij}^{k}=0$

Тогда из соотношения

${\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial X^{\alpha }\partial X^{\beta }}}={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\mu }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}$

у нас есть

${\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\qquad ;~~F_{~\alpha }^{i}:={\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}$

Из теории конечных деформаций мы также имеем

$_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)~;~~_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }=g^{\nu \gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }~;~~g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }~;~~g^{\alpha \beta }=C^{\alpha \beta }$

Поэтому,

$\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }={\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)$

и у нас есть

${\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}~{\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)$

Опять же, используя коммутативную природу порядка дифференцирования, мы имеем

${\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }\partial X^{\rho }}}={\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\rho }\partial X^{\beta }}}\implies {\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\rho }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }]={\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }]$

или

$F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }]=F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }]$

Собрав слагаемые, мы получаем

$F_{~\gamma }^{m}\left(\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]\right)=0$

Из определения $F_{\gamma }^{m}$ мы замечаем, что оно обратимо и, следовательно, не может быть равно нулю. Поэтому,

$R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0$

Мы можем показать, что это смешанные компоненты тензора кривизны Римана-Кристофеля . Поэтому необходимые условия для ${\boldsymbol {C}}$-совместимость заключается в том, что кривизна деформации Римана-Кристофеля равна нулю.

Достаточные условия

Доказательство достаточности немного сложнее. Начнем с предположения, что

$R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0~;~~g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }$

Мы должны показать, что существуют $\mathbf {x}$ и $\mathbf {X}$ такой, что

${\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }$

Из теоремы Т.И.Томаса мы знаем, что система уравнений

${\frac {\partial F_{~\alpha }^{i}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\gamma }^{i}~\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }$

имеет уникальные решения $F_{~\alpha }^{i}$ над односвязными областями, если

$_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=_{(X)}\Gamma _{\beta \alpha }^{\gamma }~;~~R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0$

Первое из них верно из определения $\Gamma _{jk}^{i}$ и предполагается второе. Следовательно, предполагаемое условие дает нам единственное $F_{~\alpha }^{i}$ то есть $C^{2}$ непрерывный.

Далее рассмотрим систему уравнений

${\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}=F_{~\alpha }^{i}$

С $F_{~\alpha }^{i}$ является $C^{2}$ и тело просто связано, существует какое-то решение $x^{i}(X^{\alpha })$ приведенным выше уравнениям. Мы можем показать, что $x^{i}$ также удовлетворить свойство, которое

$\det \left|{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}\right|\neq 0$

Мы также можем показать, что отношение

${\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~g^{\alpha \beta }~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=\delta ^{ij}$

подразумевает, что

$g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }={\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\beta }}}$

Если мы свяжем эти величины с тензорными полями, мы сможем показать, что ${\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}$ обратимо и построенное тензорное поле удовлетворяет выражению для ${\boldsymbol {C}}$.

См. также

• Условие совместимости Сен-Венана
• Линейная эластичность
• Деформация (механика)
• Теория бесконечно малых деформаций
• Теория конечной деформации
• Тензорная производная (механика сплошных сред)
• Криволинейные координаты

Внешние ссылки

• Заметки Амита Ачарьи о совместимости на iMechanica
• Пластичность по Я. Люблинеру, сек. 1.2.4 с. 35