Неравенство Клаузиуса – Дюэма

Неравенство Клаузиуса –Дюэма. Это способ выражения второго закона термодинамики , который используется в механике сплошных сред . Это неравенство особенно полезно при определении того, является ли определяющее соотношение материала термодинамически допустимым.

Это неравенство является утверждением о необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о диссипации энергии. Он был назван в честь немецкого физика Рудольфа Клаузиуса и французского физика Пьера Дюэма .

Неравенство Клаузиуса – Дюэма в терминах удельной энтропии

Неравенство Клаузиуса – Дюэма можно выразить в интегральной форме как

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho \eta \,dV\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho \eta \left(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \right)dA-\int _{\partial \Omega }{\frac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~dA+\int _{\Omega }{\frac {\rho s}{T}}~dV.$

В этом уравнении $t$ это время, $\Omega$ представляет тело, и интегрирование ведется по объему тела, $\partial \Omega$ представляет собой поверхность тела, $\rho$ - массы плотность тела, $\eta$ - удельная энтропия (энтропия на единицу массы), $u_{n}$ это нормальная скорость $\partial \Omega$, $\mathbf {v}$ это скорость частиц внутри $\Omega$, $\mathbf {n}$ - единица измерения нормали к поверхности, $\mathbf {q}$ – вектор теплового потока , $s$ - источник энергии на единицу массы, и $T$ это абсолютная температура . Все переменные являются функциями материальной точки в точке $\mathbf {x}$ во время $t$.

В дифференциальной форме неравенство Клаузиуса – Дюгема можно записать как

$\rho {\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}$

где ${\dot {\eta }}$ является производной по времени $\eta$ и ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {a} )$ — дивергенция вектора ​ $\mathbf {a}$.

Доказательство

Предположим, что $\Omega$ – произвольный фиксированный контрольный объем . Затем $u_{n}=0$ и производную можно взять внутри интеграла, чтобы получить

$\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )~dV\geq -\int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~dA-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~dA+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~dV.$

Используя теорему о расходимости , получаем

$\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )~dV\geq -\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho ~\eta ~\mathbf {v} )~dV-\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)~dV+\int _{\Omega }{\frac {\rho s}{T}}~dV.$

С $\Omega$ произвольно, мы должны иметь

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho ~\eta ~\mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho s}{T}}.$

Расширение

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\eta +\rho ~{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}(\rho ~\eta )\cdot \mathbf {v} -\rho ~\eta ~({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}$

или,

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\eta +\rho ~{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\geq -\eta ~{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} -\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} -\rho ~\eta ~({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}$

или,

$\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} +\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~\eta +\rho ~\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} \right)\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.$

Теперь по времени материальные производные $\rho$ и $\eta$ даны

${\dot {\rho }}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} ~;~~{\dot {\eta }}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} .$

Поэтому,

$\left({\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~\eta +\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.$

Из сохранения массы ${\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =0$. Следовательно,

$\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.$

Неравенство Клаузиуса – Дюэма в терминах удельной внутренней энергии

Неравенство можно выразить через внутреннюю энергию как

$\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}$

где ${\dot {e}}$ - производная по времени удельной внутренней энергии $e$ (внутренняя энергия единицы массы), ${\boldsymbol {\sigma }}$ – напряжение Коши , а ${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v}$ – градиент скорости. Это неравенство включает баланс энергии , баланс линейного и углового момента в выражение неравенства Клаузиуса – Дюгема.

Доказательство

Использование личности ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\varphi ~\mathbf {v} )=\varphi ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi$ в неравенстве Клаузиуса–Дюэма получаем

$\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}\qquad {\text{or}}\qquad \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\frac {1}{T}}~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}.$

Теперь, используя индексную запись относительно декартовой системы координат $\mathbf {e} _{j}$,

${\boldsymbol {\nabla }}\left({\cfrac {1}{T}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(T^{-1}\right)~\mathbf {e} _{j}=-\left(T^{-2}\right)~{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{j}=-{\frac {1}{T^{2}}}~{\boldsymbol {\nabla }}T.$

Следовательно,

$\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\cfrac {1}{T}}~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} +{\cfrac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T+{\frac {\rho ~s}{T}}\qquad {\text{or}}\qquad \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\cfrac {1}{T}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s\right)+{\frac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T.$

Из баланса энергии

$\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s=0\qquad \implies \qquad \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s).$

Поэтому,

$\rho ~{\dot {\eta }}\geq {\frac {1}{T}}\left(\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)+{\frac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T\qquad \implies \qquad \rho ~{\dot {\eta }}~T\geq \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.$

Перестановка,

$\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}$

КЭД

Рассеяние

Количество

${\mathcal {D}}=\rho ~(T~{\dot {\eta }}-{\dot {e}})+{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}\geq 0$

называется диссипацией , которая определяется как скорость производства внутренней энтропии на единицу объема, умноженная на абсолютную температуру . Следовательно, неравенство Клаузиуса-Дюэма также называют неравенством диссипации . В реальном материале диссипация всегда больше нуля.

См. также

• Энтропия
• Второй закон термодинамики

Внешние ссылки

• Воспоминания о Клиффорде Трусделле Бернарда Д. Коулмана, Journal of Elasticity, 2003.
• Мысли о термомеханике Уолтера Нолла , 2008.